定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、章節(jié)名稱5-6 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用授課方式講授法授課時(shí)數(shù)4授課方法和手段啟發(fā)法和師生互動(dòng)法教學(xué)目的及要求教學(xué)目的；掌握用元素法計(jì)算平面圖形的面積、計(jì)算體積、計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)、計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)。教學(xué)要求；.理解用元素法計(jì)算平面圖形意義；熟記平面圖形面積的計(jì)算公式教學(xué)基本內(nèi)容綱要教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn) 直角坐標(biāo)系下 參數(shù)方程 極坐標(biāo)系下求弧長(zhǎng)的公式教學(xué)難點(diǎn)：參數(shù)方程 極坐標(biāo)系下求弧長(zhǎng)的公式教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、定積分的元素法1、能用定積分計(jì)算的量，應(yīng)滿足下列三個(gè)條件(1)、U與變量的變化區(qū)間有關(guān)；(2)、U對(duì)于區(qū)間具有可加性；(3)、U部分量可近似地表示成。2、寫出計(jì)算U的定積分表達(dá)式步驟 (1

2、)、根據(jù)問(wèn)題，選取一個(gè)變量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間；(2)、設(shè)想將區(qū)間分成若干小區(qū)間，取其中的任一小區(qū)間，求出它所對(duì)應(yīng)的部分量的近似值 (為上一連續(xù)函數(shù))則稱為量的元素，且記作。= (3)、以U的元素作被積表達(dá)式，以為積分區(qū)間，得這個(gè)方法叫做元素法，其實(shí)質(zhì)是找出U的元素的微分表達(dá)式 因此，也稱此法為微元法。二、平面圖形面積的計(jì)算1直角坐標(biāo)的情形由曲線 及直線 與 ( ) 與 軸 所圍成的曲邊梯形面積。 其中：為面積元素。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)與及直線，( ) 線且所圍成的圖形面積。其中： 為面積元素。例1 計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形面積。解：1、先畫(huà)所圍的圖形簡(jiǎn)圖解方程, 得交點(diǎn)：和。2、選擇積

3、分變量并定區(qū)間選取為積分變量，則3、給出面積元素在上， 在上， 4、列定積分表達(dá)式2極坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形是由曲線及射線，所圍成的曲邊扇形。取極角為積分變量，則,在平面圖形中任意截取一典型的面積元素，它是極角變化區(qū)間為的窄曲邊扇形。的面積可近似地用半徑為， 中心角為的窄圓邊扇形的面積來(lái)代替，即從而得到了曲邊梯形的面積元素教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)從而例2 計(jì)算心臟線所圍成的圖形面積。由于心臟線關(guān)于極軸對(duì)稱，2平行截面面積為已知的立體的體積( 截面法 )由旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)：如果知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么這個(gè)立體的體積也可以用定積分來(lái)計(jì)算。取定軸為軸， 且設(shè)該立體在過(guò)點(diǎn)，且垂直于軸

4、的兩個(gè)平面之內(nèi)， 以表示過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的截面面積。取為積分變量，它的變化區(qū)間為。立體中相應(yīng)于上任一小區(qū)間的一薄片的體積近似于底面積為，高為的扁圓柱體的體積。即：體積元素為于是，該立體的體積為三、平面曲線的弧長(zhǎng)1直角坐標(biāo)情形設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算曲線的長(zhǎng)度。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1直角坐標(biāo)情形設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算曲線的長(zhǎng)度。取為積分變量，則,在上任取一小區(qū)間，那么這一小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲線弧段的長(zhǎng)度可以用它的弧微分來(lái)近似。于是，弧長(zhǎng)元素為.弧長(zhǎng)例3計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)。解：2參數(shù)方程的情形若曲線由參數(shù)方程給出，計(jì)算它的弧長(zhǎng)時(shí)，只需要將弧微分寫成的形式，從而有例4計(jì)算半徑為的圓周長(zhǎng)度。解： 圓的參數(shù)方程為3極坐標(biāo)情形若曲線由極坐標(biāo)方程給出，要導(dǎo)出它的弧長(zhǎng)計(jì)算公式，只需要將極坐標(biāo)方程化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程下的弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)若曲線由極坐標(biāo)方程給出，要導(dǎo)出它的弧長(zhǎng)計(jì)算公式，只需要將極坐標(biāo)方程化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程下的弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可。曲線的參數(shù)方程為此時(shí)變成了參數(shù)，且弧長(zhǎng)元素為從而有例5計(jì)算心臟線的弧長(zhǎng)。 解：作業(yè)討論輔導(dǎo)P-193第一題 第六題參考資料課后小結(jié)求在直角