(完整word版)六年級(jí)舉一反三(18-20)面積計(jì)算

1、面積計(jì)算（一）專題簡(jiǎn)析：計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問(wèn)題乍一看，在已知條件與所求問(wèn)題之間找不到任何聯(lián) 系，會(huì)使你感到無(wú)從下手。這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以 深化，再運(yùn)用我們已有的基本幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問(wèn)題的小“橋”，就會(huì)使你順利達(dá)到目的。 有些平面圖形的面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特征， 添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過(guò)分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。例題1:已知圖181中，三角形 ABC的面積為8平方厘米，AE=ED, BD=| BC,求陰3影部分的面積。18- 1【思路導(dǎo)航】 陰影部分為

2、兩個(gè)三角形，但三角形AEF的面積無(wú)法直接計(jì)算。由于 AE=ED,連接DF,可知S“ef=S&df （等底等高），采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影部分 轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。因?yàn)?BD二鼻 BC ,所以 SBDF= 2SDCF ° 又因?yàn)?AE = ED , 所以 SABF = SABDF = 2Sa DCF。 3因止匕，SaABC = 5 SaDCF° 由于$ abc=8平方厘米，所以S»cf=8+5=1.6（平方厘米）， 則陰影部分的面積為1.6X 2=3.2 （平方厘米）。練習(xí)11、 如圖182所示，AE = ED, BC=3BD , S*bc = 3

3、0平方厘米。求陰影部分的面積。2、 如圖183所示，AE=ED , DC=1 BD , Ssbc = 21平方厘米。求陰影部分的面積。3.13、如圖184所小，DE = 2 AE , BD = 2DC, S叱bd = 5平萬(wàn)厘米。求二角形 ABC的面18318-4C例題2:兩條對(duì)角線把梯形 ABCD分割成四個(gè)三角形, 面積，求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？18-5【思路導(dǎo)航】已知Saboc是Sadoc的2倍，且高相等，可知： BO= 2DO;從Sbd與Saacd 相等（等底等局）可知：SABO等于6,而ABO與AOD的圖相等，底是 AOD 的2倍。所以 AOD的面積為6+ 2= 3。因?yàn)镾a A

4、BD與SaACD等底等局所以SaABO = 6因?yàn)镾a bOC是Sa DOC的2倍所以 ABO是 AOD的2倍所以 AOD = 6 + 2=3。答： AOD 的面積是3。練習(xí)21、 兩條對(duì)角線把梯形 ABCD分割成四個(gè)三角形，（如圖18 6所示），已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積是多少？2、 已知AO = 1 OC,求梯形 ABCD的面積（如圖18 7所示）。33、 已知三角形 AOB的面積為15平方厘米，線段OB的長(zhǎng)度為OD的3倍。求梯形ABCD的面積。（如圖188所示）。例題3:四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F兩點(diǎn)三等分，且四邊形 AECF的面積為15平 方厘米。求四邊形 AB

5、CD的面積（如圖189所示）。18 9【思路導(dǎo)航】 由于E、F三等分BD,所以三角形 ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形， 它們的面積相等。同理，三角形 BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知， 三角形ABD的面積是三角形 AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形 CEF面積的3倍，從而得出四邊形 ABCD的面積是四邊形 AECF面積的3倍。15X 3 = 45 （平方厘米）答：四邊形 ABCD的面積為45平方厘米。練習(xí)31、 四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F、G三點(diǎn)四等分，且四邊形 AECG的面積為15平 方厘米。求四邊形 ABCD的面積（如圖1810）。2、 已知四邊形A

6、BCD的對(duì)角線被E、F、G三點(diǎn)四等分，且陰影部分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖1811所示）。3、 如圖1812所示，求陰影部分的面積（ABCD為正方形）。18-1018-1118-12例題4:如圖1813所示，BO = 2DO,陰影部分的面積是 4平方厘米。那么，梯形 ABCD的面積是多少平方厘米?18-2018-18【思路導(dǎo)航】因?yàn)锽O = 2DO,取BO中點(diǎn)E,連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性 質(zhì)，可知SaDBC = SCDA ； SA COB = SADOA = 4,類推可得每個(gè)二角形的面積。所 以，Scdo = 4+2= 2 （平方厘米）S4dab = 4

7、X 3= 12 平方厘米S梯形ABCD = 12+4+2 = 18 （平方厘米）答：形ABCD的面積是18平方厘米。練習(xí)4 例5:如圖1817所示，長(zhǎng)方形ADEF的面積是16,三角形ADB的面積是3,三角形ACF1、2、如圖已知1814所示，陰影部分面積是 4平方厘米，OC = 2AO。求梯形面積。OC=2AO, SA BOC=14平方厘米。求梯形的面積（如圖OC = 3AO ,求梯形的面積（如圖BA18- 15DO1815 所示）。1816 所示）。的面積是4,求三角形 ABC的面積。【思路導(dǎo)航】連接AE。仔細(xì)觀察添加輔助線 AE后，使問(wèn)題可有如下解法。由圖上看出：三角形 ADE的面積等于長(zhǎng)

8、方形面積的一半（16 + 2） = 8。用8減去3得到 三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形 AEC的面積也為4。 因此可知三角形 AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點(diǎn)，而三角形ABE 與三角形BEC等底，高是三角形 BEC的2倍，三角形BEC的面積為5+2 = 2.5,所以，三角形 ABC的面積為16 34 2.5 = 6.5。練習(xí)51、 如圖1818所示，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是20平方厘米，三角形 ADF的面積為5平 方厘米，三角形 ABE的面積為7平方厘米，求三角形 AEF的面積。2、 如圖1819所示，長(zhǎng)方形 ABCD的面積為20平方厘米，Sbe = 4平方厘米

9、，Saafd =6平方厘米，求三角形 AEF的面積。3、 如圖1820所示，長(zhǎng)方形 ABCD的面積為24平方厘米，三角形 ABE、AFD的面積 均為4平方厘米，求三角形 AEF的面積。18答案:練11、2、3、練21、2、3、 練31、2、3、練41、2、3、練51、2、3、30- 5X 2= 12平方厘米21+ 7X3= 9平方厘米215X3- =22-平方厘米ON4+2=28+2=48X2= 1616+8X 2+4 = 3615X 3=4515+5+15+45 = 8015X 2= 30平方厘米15X 4= 60平方厘米6X6 + 26X4+2=6平方厘米6X2-4= 3平方厘米(6+3)

10、 X 6+2 = 27平方厘米4X 2= 8平方厘米 8X 2= 16平方厘米16+8+8+4 = 36平方厘米14-2= 7平方厘米7+ 2= 3.5平方厘米14+7+7+3.5 = 31.5 平方厘米6X ( 3+1 ) = 24 6+3 = 224+6+2=321 20+27=33X- = 1.520-7-5-1.5=6,510-622320-2= 10(10-4) X -=2-20-6-4- 2 =石24+2= 12平方厘米41(12-4) X ( 1- ) = 5-平方厘米1224-4-4-5- = 10-平方厘米 0O面積計(jì)算（二）專題簡(jiǎn)析：在進(jìn)行組合圖形的面積計(jì)算時(shí)，要仔細(xì)觀察，

11、認(rèn)真思考，看清組合圖形是由幾個(gè)基本 單位組成的，還要找出圖中的隱蔽條件與已知條件和要求的問(wèn)題間的關(guān)系。例題1:求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）19 1【思路導(dǎo)航】如圖* 1所示的特點(diǎn)，陰影部分的面積可以拼成4圓的面積。216 X 3.14* 4 =28.26 （平萬(wàn)厘米）答：陰影部分的面積是 28.26平方厘米。練習(xí)1求下面各個(gè)圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）19-219-319-4例題2:求圖195中陰影部分的面積（單位：厘米）19519 6【思路導(dǎo)航】 陰影部分通過(guò)翻折移動(dòng)位置后，構(gòu)成了一個(gè)新的圖形（如圖 196所示），從 圖中可以看出陰影部分的面積等于大扇形的面積減去大三角形面積的一

12、半。-2、，13.14X42X 二4X4+2+2=8.56 （平萬(wàn)厘米） 4答：陰影部分的面積是 8.56平方厘米。練習(xí)2計(jì)算下面圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）19-719-819-9例題3:如圖1910所示，兩圓半徑都是 1厘米，且圖中兩個(gè)陰影部分的面積相等。 長(zhǎng)方形ABO iO的面積?！舅悸穼?dǎo)航】因?yàn)閮蓤A的半徑相等，所以兩個(gè)扇形中的空白部分相等。又因?yàn)閳D中兩個(gè)陰影部分的面積相等，所以扇形的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半（如圖 1910右圖 所示）。所以2 13.14><12 3*4 X 2= 1.57 （平萬(wàn)厘米）答：長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形 ABO1O的面積是1.57平方厘米。練習(xí)31、如

13、圖1911所示，圓的周長(zhǎng)為12.56厘米，AC兩點(diǎn)把圓分成相等的兩段弧，陰影部分（1）的面積與陰影部分（2）的面積相等，求平行四邊形例題4:如圖1914所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）19- 18【思路導(dǎo)航】我們可以把三角形 ABC看成是長(zhǎng)方形的一部分，把它還原成長(zhǎng)方形后（如右圖所示），因?yàn)樵笕切蔚拿娣e與后加上的三角形面積相等，并且空白部分的兩組三角形面積分別相等，所以I和II的面積相等。6X 4=24 （平方厘米）答：陰影部分的面積是 24平方厘米。練習(xí)41、 如圖1915所示，求四邊形 ABCD的面積。2、 如圖1916所示，BE長(zhǎng)5厘米，長(zhǎng)方形 AEFD面積是38平方厘米。求 C

14、D的長(zhǎng)度。3、 圖19-17是兩個(gè)完全一樣的直角三角形重疊在一起，按照?qǐng)D中的已知條件求陰影部分的面積（單位：厘米）19-15D120例題5:如圖1918所示，圖中圓的直徑 AB是4厘米，平行四邊形 ABCD的面積是7平 方厘米，/ ABC = 30度，求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位小數(shù)）。AOC的面積，再減去三角形【思路導(dǎo)航】陰影部分的面積等于平行四邊形的面積減去扇形BOC的面積。半徑：4+2 = 2 （厘米）扇形的圓心角：180 （ 18030X 2） = 60 （度）扇形的面積：2*2*3.14*黑 =2.09 （平方厘米）360三角形BOC的面積：7+2 + 2=1.75 （平方厘米）7

15、 （2.09+1.75） = 3.16 （平方厘米）答：陰影部分的面積是 3.16平方厘米。練習(xí)51、 如圖1919所示，Z 1= 15度，圓的周長(zhǎng)位62.8厘米，平行四邊形的面積為100平方厘米。求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位小數(shù)）。1921+j2、 如圖19 20所示，三角形 ABC的面積是31.2平方厘米，圓的直徑 AC =6厘米, BD: DC=3: 1。求陰影部分的面積。19203、 如圖19 21所示，求陰影部分的面積（單位：厘米。得數(shù)保留兩位小數(shù)）19答案：練11一、,1、 圖答191陰影部分的面積為：6X6X- =18平萬(wàn)厘米2、 圖答192陰影部分的面積為：6X6=36平方厘

16、米1一3、 圖答193陰影部分的面積為：10 X (10+2) X 2 X 2= 50平萬(wàn)厘米練21、 圖答194中陰影部分的面積為：(2+2) X 2=8平方厘米1 一一，2、 圖答一5陰影部分的面積為：4X4X2 =8平萬(wàn)厘米2113、 圖答196陰影部分的面積為：42X 3.14X- -4X 4* 2 = 4.56平方厘米練31、 圖答197中，陰影部分(1)的面積與陰影部分(2)的面積相等。所以，平行四邊 形的面積和圓的面積相等。因此，平行四邊形 ABCD的面積是：(12.56 + 3.14+2) 2X3.14= 12.56 平方厘米12、 (8 + 2) 2X3.14X1 =12.5

17、6 平萬(wàn)厘米4211一、-3、 (8 + 2) X 3.14X4 + (8+2) X 2 =20.56 平萬(wàn)厘米第二題和第三題，陰影部分的面積通過(guò)等積變形后可知。如圖答19-7和圖答19-8所示。練41、 如圖答199所示：延長(zhǎng)BC和AD相距與E,四邊形ABCD的面積是：_ _ 1_ 1_ 7X7X2 3X3X2 =20 平萬(wàn)厘米2、 如圖答19-10所示，因?yàn)?S1 = S2,所以CD = 38+5 = 7.6厘米3、 如圖答1911所示：陰影部分面積等于梯形的面積，其面積為：(120+120 40) X30+ 2= 3000平方厘米練51、 如圖答1912所示圓心角 AOB的度數(shù)為180

18、( 180 15X 2) = 30度平行四邊形內(nèi)一個(gè)小弓形的面積為(62.8+3.14+2) 2X3.14X；30- 100+4=1.17 平方厘米360陰影部分的面積為 100+21.17=48.83平方厘米2、 如圖答19-13所示：圓心角 AOD的度數(shù)為180 ( 18060X2) = 120度扇形AOD的面積為(6+2) 2X 3.14X120 = 9.42平方厘米36011陰影部分的面積為 9.42-31.2X3+1 x2 =5.52平方厘米3、 如圖答19-14 (1)所示：圓心角 AOC的度數(shù)為180 30X2= 120度扇形AOC的面積（ 12 + 2） 2X 3.14X -2

19、0 =37.68平方厘米360三角形AOC的面積為（12 + 2） X 5.2X- =15.6平方厘米陰影部分的面積 37.68- 15.6= 22.08平方厘米如圖答1914 （2）所示圓心角BOC的讀書(shū)180 （ 180 30X 2） = 60度扇形ABD的面積602X 3.14X0- = 942平方厘米3601二角形AOC的面積（60+ 2） X 26X2 =390平方厘米扇形BOC的面積（60 + 2） X 3.14x10- =471平方厘米360陰影部分的面積 942-390-471 =81平方厘米面積計(jì)算（三）專題簡(jiǎn)析：對(duì)于一些比較復(fù)雜的組合圖形，有時(shí)直接分解有一定的困難，這時(shí)，可

20、以通過(guò)把其中 的部分圖形進(jìn)行平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，化難為易。有些圖形可以根據(jù)“容斥問(wèn)題”的原理來(lái)解 答。在圓的半徑r用小學(xué)知識(shí)無(wú)法求出時(shí)，可以把“r2”整體地代入面積公式求面積。例題1。如圖20-1所示，求圖中陰影部分的面積。20- 120 220-7【思路導(dǎo)航】解法一：陰影部分的一半，可以看做是扇形中減去一個(gè)等腰直角三角形（如圖202）,等腰直角三角形的斜邊等于圓的半徑，斜邊上的高等于斜邊的一半，圓的半徑為20+ 2= 10厘米2、，13.14X102><4 10X (10 + 2)】X 2=107 (平萬(wàn)厘米)答：陰影部分的面積是 107平方厘米。解法二：以等腰三角形底的中點(diǎn)為中心

21、點(diǎn)。把圖的右半部分向下旋轉(zhuǎn)90度后，陰影部分的面積就變?yōu)閺陌霃綖?10厘米的半圓面積中，減去兩直角邊為10厘米的等腰直角三 角形的面積所得的差。(20 + 2) 2X2 (20+ 2) 2X2 = 107 (平方厘米)答：陰影部分的面積是 107平方厘米。練習(xí)11、 如圖204所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）20-42、 如圖20 5所示，用一張斜邊為 29厘米的紅色直角三角形紙片，一張斜邊為 49厘米的藍(lán)色直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼成一個(gè)直角三角形。求紅藍(lán)兩張三角形紙片面積之和是多少？4W2批 4%'20-54例題2:如圖206所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米

22、）620-6【思路導(dǎo)航】解法一：先用長(zhǎng)方形的面積減去小扇形的面積，得空白部分（ a）的面積，再用大扇形的面 積減去空白部分（a）的面積。如圖207所示。減去(6X43.14X 42*4 ) = 16.82 (平方厘米)解法二：把陰影部分看作（1）和（2）兩部分如圖208所示。把大、小兩個(gè)扇形面積相加,剛好多計(jì)算了空白部分和陰影（1）的面積，即長(zhǎng)方形的面積。20 83.14X42X1 +3.14X 62x4 4X6= 16.28 （平方厘米）答：陰影部分的面積是16.82平方厘米。1、如圖209所示， ABC是等腰直角三角形，求陰影部分的面積（單位：厘米）2、 如圖2010所示，三角形 ABC是

23、直角三角形，AC長(zhǎng)4厘米，BC長(zhǎng)2厘米。以AC、BC為直徑畫(huà)半圓，兩個(gè)半圓的交點(diǎn)在AB邊上。求圖中陰影部分的面積。d201 皿3、 如圖2011所示，圖中平行四邊形的一個(gè)角為60°,兩條邊的長(zhǎng)分別為 6厘米和8厘米，高為5.2厘米。求圖中陰影部分的面積20-11*1例題3。在圖2012中，正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，求圖中陰影部分的面積。20- 14【思路導(dǎo)航】（如圖20-13所示），再（平方厘米）解法一：先用正方形的面積減去一個(gè)整圓的面積，得空部分的一半用正方形的面積減去全部空白部分?？瞻撞糠值囊话耄?0X10 （10+2） 2X3.14=21.5陰影部分的面積：10X1021.5X2

24、=57 （平方厘米）（如圖20-14所示），而解法二：把圖中8個(gè)扇形的面積加在一起，正好多算了一個(gè)正方形8個(gè)扇形的面積又正好等于兩個(gè)整圓的面積。（10+2） 2X3.14X210X10=57 （平方厘米）答：陰影部分的面積是 57平方厘米。練習(xí)3 求下面各圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）20- 1510201620- 17例題4。21-2420-2520-26【思路導(dǎo)航】這道題的難點(diǎn)在于正方形的邊長(zhǎng)未知，這樣扇形的半徑也就不知道。但我們可以看出，AC是等腰直角三角形 ACD的斜邊。根據(jù)等腰直角三角形的對(duì)稱性 可知，斜邊上的高等于斜邊的一半（如圖2018所示），我們可以求出等腰直角三角形ACD

25、的面積，進(jìn)而求出正方形 ABCD的面積，即扇形半徑的平方。 這樣雖然半徑未求出，但可以求出半徑的平方，也可以把半徑的平方直接代入 圓面積公式計(jì)算。既是正方形的面積，又是半徑的平方為：6X （6+2） X2=18 （平方厘米）陰影部分的面積為：1818X3.14 + 4=3.87 （平方厘米）答：陰影部分的面積是 3.87平方厘米。練習(xí)41、 如圖2019、20 20所示，圖形中正方形的面積都是50平方厘米，分別求出每個(gè)圖形中陰影部分的面積。2、 如圖20-21所示，正方形中對(duì)角線長(zhǎng) 10厘米，過(guò)正方形兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)以其邊長(zhǎng)為半徑分別做弧。求圖形中陰影部分的面積（試一試，你能想出幾種辦法）。例題

26、5。在圖2022的扇形中，正方形的面積是 30平方厘米。求陰影部分的面積。【思路導(dǎo)航】陰影部分的面積等于扇形的面積減去正方形的面積?？墒巧刃蔚陌霃轿粗?，又無(wú)法求出，所以我們尋求正方形的面積與扇形面積的半徑之間的關(guān)系。我們以扇形的半徑為邊長(zhǎng)做一個(gè)新的正方形（如圖2023所示），從圖中可以看出，新正方形的面積是 30X2=60平方厘米，即扇形半徑的平方等于60。這樣雖然半徑未求出，但能求出半徑的平方，再把半徑的平等直接代入公式計(jì)算。13.14X （30X2） X 4 30=17.1 （平萬(wàn)厘米）答：陰影部分的面積是 17.1平方厘米。練習(xí)51、 如圖2024所示，平行四邊形的面積是 100平方厘米

27、，求陰影部分的面積。2、 如圖2025所示，。是小圓的圓心，CO垂直于AB,三角形ABC的面積是45平方厘 米，求陰影部分的面積。答案：練11、 如圖答201所示，因三角形BCD中BC邊上高等于BC的一半，所以陰影部分的面 積是：62*3.14><念-6X (6+2) X 1 =5.13 平方厘米36022、 如圖答20-2所示，將紅色直角三角形紙片旋轉(zhuǎn)900,紅色和藍(lán)色的兩個(gè)直角三角形就拼成了一個(gè)直角邊分別是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面積為：149X29X2 =710.5 平萬(wàn)厘米練21、 如圖答20-3所示，可以看做兩個(gè)半圓重疊在一起，從中減去一個(gè)三角形的面積就得 到陰影部分的面積。(2+2) 2X3.14X2 X2 2X2*1 =1.14 平方厘米2、 思路與第一題相同21211(4+2) X 3.14X2 + (2+2) X 3.14X2 4X2X2 = 3.85 平萬(wàn)厘米3、 如圖答204所示，用大小兩個(gè)扇形面積和減去一個(gè)平行四邊形的面積，即得到陰影部分的一半，因此陰影部分的面積是：【(82+62) X 3.14X 瞿8X5.2X 2 = 21:7 平方厘米 36015練31、 如圖答205所示，陰影部分的面積等于四個(gè)半圓的面積減去一個(gè)正方形的面積，即:21(10 + 2