第4章 張量分析(清華大學(xué)張量分析,你值得擁有)

1、第第4章章 曲線坐標(biāo)張量分析曲線坐標(biāo)張量分析2022年年3月月15日日主要內(nèi)容主要內(nèi)容基矢量基矢量的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)符號(hào)張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度積分定理積分定理Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）張量方程的曲線坐標(biāo)分量表示方法張量方程的曲線坐標(biāo)分量表示方法非完整系與物理分量非完整系與物理分量正交曲線坐標(biāo)系中的物理分量正交曲線坐標(biāo)系中的物理分量 基矢量的導(dǎo)數(shù)，基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)符號(hào)張量場(chǎng)函數(shù)：張

2、量場(chǎng)函數(shù)：T(r) T(r)之所以被稱為場(chǎng)函數(shù)，是因?yàn)樗鞘笍街员环Q為場(chǎng)函數(shù)，是因?yàn)樗鞘笍絩的函數(shù)。的函數(shù)。 在曲線坐標(biāo)系下，基矢量在曲線坐標(biāo)系下，基矢量gi并不是常矢量，如何描并不是常矢量，如何描述述gi隨坐標(biāo)的變化而變化？隨坐標(biāo)的變化而變化？Or rr()jixg()jjixx g基基矢量矢量 本身重要！本身重要！iixrg123(,)iix xxgg是坐標(biāo)的非線性函數(shù)是坐標(biāo)的非線性函數(shù) ixrr基矢量的導(dǎo)數(shù)，基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)符號(hào)基矢量的導(dǎo)數(shù)與基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號(hào)符號(hào) 協(xié)變基矢量的導(dǎo)數(shù)與第二類協(xié)變基矢量的導(dǎo)數(shù)與第二類Christoffel符

3、號(hào)符號(hào)jkijkix gg從定義式，可探討性質(zhì)：從定義式，可探討性質(zhì)： jkkijix ggkkijji 由于由于22jiiijijjijxxxx xxxx ggrrr定義式定義式可可證明，證明， 共有共有18個(gè)獨(dú)立的分量，且個(gè)獨(dú)立的分量，且 不是張量分量。不是張量分量。kijkij基矢量的導(dǎo)數(shù)，基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)符號(hào)基矢量的導(dǎo)數(shù)與基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號(hào)符號(hào) 第一類第一類Christoffel符號(hào)符號(hào),jklkkijkijlkij kigx gggg性質(zhì)：性質(zhì)：定義定義式：式：, llij kijlklkijgg ,jij kkixgg,ij kji k

4、 比較：比較：jkkijix gg Christoffel符號(hào)僅有定義式是不夠的，必須有計(jì)算式！符號(hào)僅有定義式是不夠的，必須有計(jì)算式！基矢量的導(dǎo)數(shù)，基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)符號(hào)基矢量的導(dǎo)數(shù)與基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號(hào)符號(hào)Christoffel的計(jì)算式：用的計(jì)算式：用gij來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算,12jkijikij kijkgggxxx,lklijij kg ijijg ggijjijikkkgxxxgggg,ijki jkj ikgx,jkij kik jigx,kijk iji kjgx基矢量的導(dǎo)數(shù)，基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號(hào)符號(hào)基矢量的導(dǎo)數(shù)與基矢量的導(dǎo)數(shù)

5、與Christoffel符號(hào)符號(hào) 逆變基矢量的導(dǎo)數(shù)逆變基矢量的導(dǎo)數(shù)iikjkjx gg 對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)， 的計(jì)算公式的計(jì)算公式j(luò)jigjjiiggx lnln12jjiiiigggxxg x123123,g g ggggg張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度 標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)f (r)的梯度的梯度iijjiiffdfdxdxxxgg其中，其中， 定義為定義為f (r)的的梯度梯度 ； 即即 。iifxgjjdxgdrf因此，因此，dff d rkkkkfffxx gg ixrr梯度的幾何意義！梯度的幾何意義！取弧元取弧元ds，有方向?qū)?shù)：有方向?qū)?shù)：dfdf

6、ffdsds rtt張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度張量場(chǎng)函數(shù)對(duì)矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度( )iiddxTTT rgr 張（矢）量場(chǎng)函數(shù)張（矢）量場(chǎng)函數(shù)T(r)的梯度，借助的梯度，借助有限微分有限微分，得，得從而可得右梯度和左梯度：從而可得右梯度和左梯度：( )iix TTT rgiixTTg由此由此可得：可得：()()ddd TTrrT張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 為了為了計(jì)算計(jì)算 ，則必須引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù)，則必須引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù) 矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度ixT() iiiiiijjjjiikiijkjikiikjijikikjijFFFxxxxFFxFFxFFxggFgggggg;

7、ijiFg矢量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)矢量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度引入新符號(hào)引入新符號(hào) 來(lái)表示矢量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)來(lái)表示矢量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)則右梯度：則右梯度：;jijijjii jjFFx FFgg gg g左梯度：左梯度：;jijjijii jjFFxFFgg gg g;jj ;jijjijii jjijjijijiFFxFF FFgg gg gg gg g張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度矢量場(chǎng)函數(shù)的梯度注：只有在笛卡爾坐標(biāo)系下才有注：只有在笛卡爾坐標(biāo)系下才有 rrG特殊特殊矢量：矢徑矢量：矢徑r，有，

8、有;,iijjFF張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張張量場(chǎng)函數(shù)的梯度量場(chǎng)函數(shù)的梯度ijjiijijijijjiijTTTTTg gg gg gg g右梯度：右梯度： ; ; kijkjikkijikjkijkijkj kiij kTTxTT TTgg g gg g gg g gg g g左梯度：左梯度： ; ; kijkjkikijikjkikjkijj kiij kTTxTTTTgg g gg g gg g gg g g張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張張量場(chǎng)函數(shù)的梯度量場(chǎng)函數(shù)的梯度其中其中 ;ijijimjmjikmkmkkTTTTx四者之間滿足指標(biāo)升降關(guān)系

9、。四者之間滿足指標(biāo)升降關(guān)系。;ijimiimj kjmkmjkkTTTTx;jjjmmjii kmikimkkTTTTx ;ijmmij kimjkmjikkTTTTx張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對(duì)坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張張量場(chǎng)函數(shù)的梯度量場(chǎng)函數(shù)的梯度特殊張量特殊張量1：度量張量：度量張量G ;0 ijkg 0GG但是一般來(lái)說(shuō)，但是一般來(lái)說(shuō)，;ijijijklmklkl mmA BABA B特殊張量特殊張量2：置換張量：置換張量 0 兩個(gè)兩個(gè)張量的并張量的并AB的協(xié)變導(dǎo)數(shù)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) ABA B+ AB張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度 從梯度開(kāi)始理解散度和旋度從梯度開(kāi)始理解散度和旋度梯度

10、梯度(gradient)矢量場(chǎng)函數(shù)矢量場(chǎng)函數(shù)F(r)的的散散度度()()kkxg散度散度(divergence)()()kkxg旋度旋度(curl)()()kkxg;kiiiikdivFFx FFFFg張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)張量場(chǎng)函數(shù)T(r)的的散散度度;kijkijkijkijkijjikTTTx TTgg gggg;kkijkijijkijikjijkTTTxTTggg gggTT張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度;1 1 imimimiimimmmmmmgFFFFFxxxggFFxg F矢量場(chǎng)函數(shù)矢量場(chǎng)函數(shù)巨漂亮巨漂亮的結(jié)果的結(jié)果 場(chǎng)論中的有勢(shì)場(chǎng)

11、滿足場(chǎng)論中的有勢(shì)場(chǎng)滿足 ，其中，其中U為勢(shì)函數(shù)。為勢(shì)函數(shù)。20U定義定義Laplace算子：算子：2()() 即先求梯度，再計(jì)算散度。即先求梯度，再計(jì)算散度。張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度21iigxg 若矢量若矢量 ，為標(biāo)量，則為標(biāo)量，則 F而而 ，可推導(dǎo)出，可推導(dǎo)出iiFiijjFgx因此，可得因此，可得21ijijggxxg張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度因此，因此，Laplace算子的計(jì)算式：算子的計(jì)算式：21()()ijijggxxg Euclid空間，只有一個(gè)最基本的一階矢量微分算子，空間，只有一個(gè)最基本的一階矢量微分算子，即梯度算子。即梯度算子。Eucl

12、id空間，只有一個(gè)最基本的二階標(biāo)量微分算子，空間，只有一個(gè)最基本的二階標(biāo)量微分算子，即即Laplace算子。算子。張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度矢量場(chǎng)函數(shù)矢量場(chǎng)函數(shù)F(r)的旋度的旋度123123123 1 kkikimkimkikmkimkiFFxFgFFF FFgggggggg張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度矢量場(chǎng)函數(shù)矢量場(chǎng)函數(shù)F(r)的旋度的旋度 1 kkikimkimkikmkimkimkimkiFFxFeFg FFggggggmkimkijmkimkijkikijkikijkimkikieFeFFeFeFeF12312312311mkimkieFggFFFg

13、ggFg張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)的散度和旋度張量場(chǎng)函數(shù)張量場(chǎng)函數(shù)T(r)的旋度的旋度; kijkikjmj kij kimkTTx TTgg ggg g; kkjikimji kji kmjkTTxTTggg gg g :()TT(): TT協(xié)變導(dǎo)數(shù)符號(hào)的靈活運(yùn)用協(xié)變導(dǎo)數(shù)符號(hào)的靈活運(yùn)用;kijkij kkTx TTgg g gkkijkijkijkijkkmijkijmkmijmijkijmijmTTxTggTT TTggg gg g gg g gg g gg g g21()()()()ijijmmmmggxxg 積分定理積分定理從牛頓從牛頓-萊布尼茲公式說(shuō)起萊布尼茲公式說(shuō)起( )(

14、)( )badF xdxF aF bdx微分階微分階次降了一階次降了一階域域內(nèi)轉(zhuǎn)換到邊界內(nèi)轉(zhuǎn)換到邊界向二維向二維擴(kuò)展：擴(kuò)展：Green定理定理1x2xAl12121211121212122221(,)(,)(,)(,)AlAlXx xdx dxXx xdxxXx xdx dxXx xdxx 積分定理積分定理向二維向二維擴(kuò)展：擴(kuò)展：Green定理定理1212211212AlXXdx dxX dxX dxxx 若若 ，則，則12XXvij1212llX dxX dxdvr環(huán)量環(huán)量若一個(gè)場(chǎng)無(wú)旋（有勢(shì)，積分與路徑無(wú)關(guān)），則若一個(gè)場(chǎng)無(wú)旋（有勢(shì)，積分與路徑無(wú)關(guān)），則滿足滿足Cauchy條件：條件：2112

15、0XXxx一個(gè)定理之所以稱為定一個(gè)定理之所以稱為定理，一定與理，一定與坐標(biāo)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。積分定理積分定理奧高定理（閉合曲面）奧高定理（閉合曲面）123312123123123cos( ,)cos( ,)cos( ,)VSXXXdx dx dxxxxXxXxXxdS nnn123XXXvijkVSSdVdSdvv nvS奧高定理雖然是數(shù)學(xué)上的結(jié)論，但是對(duì)與力學(xué)奧高定理雖然是數(shù)學(xué)上的結(jié)論，但是對(duì)與力學(xué)和物理學(xué)來(lái)說(shuō)，就是和物理學(xué)來(lái)說(shuō)，就是守恒律守恒律。1x2xVSn3x123cos,cos,cos,xxxnninjnk積分定理積分定理Stokes定理定理123123123321233132112c

16、os( ,)cos( ,)cos( ,)lSX dxX dxX dxXXXXxxxxxxdSXXxxx nnn若若 ，則，則123XXXvijkSldd vSvr有旋運(yùn)動(dòng)（渦通量）有旋運(yùn)動(dòng)（渦通量）守恒于邊界線上的環(huán)守恒于邊界線上的環(huán)量。量。nSl積分定理積分定理奧高定理（奧高定理（從從矢量向張量推廣）矢量向張量推廣）VSdVd S 散度定理是一切積分定理的基礎(chǔ)！散度定理是一切積分定理的基礎(chǔ)！1x2xVSn3xVSdVd S為任意張量為任意張量證明其它定理時(shí)，假設(shè)證明其它定理時(shí)，假設(shè) ， 為標(biāo)量，有為標(biāo)量，有C CCC再假設(shè)再假設(shè)C為常張量，有為常張量，有 C積分定理積分定理奧高定理（奧高定理

17、（從從矢量向張量推廣）矢量向張量推廣）因此，有因此，有VSSdVddCSCSCVSdVd S標(biāo)量形式的梯度定理標(biāo)量形式的梯度定理VSdVd TST張張量形式的梯度定理量形式的梯度定理VSdVd TST張張量形式的旋度定理量形式的旋度定理積分定理積分定理奧高定理（奧高定理（從從矢量向張量推廣）矢量向張量推廣）羅列如下：羅列如下：VSdVd SVSdVd TSTVSdVd TSTVSdVd TS T積分定理積分定理Stokes定理（定理（從從矢量向張量推廣）矢量向張量推廣）Sldd Sr 為任意張量為任意張量nSl積分定理積分定理整體化數(shù)理分析整體化數(shù)理分析相較于局部化數(shù)理分析，即微元相較于局部化

18、數(shù)理分析，即微元法，整體化數(shù)理法，整體化數(shù)理分析分析不不涉及坐標(biāo)，并且可描述全域。涉及坐標(biāo)，并且可描述全域。p = nSVVdSdVdVpfu平衡方程平衡方程（積分形式）（積分形式）由于由于 ，則，則0VfdVu 0f u f u 平衡方程平衡方程（微分形式）（微分形式）例例1：固體受力平衡固體受力平衡SVdSdVn積分定理積分定理0dSvS積分形式積分形式0VdVv0 v例例2：流體定常運(yùn)動(dòng)流體定常運(yùn)動(dòng)nSVv：定常流場(chǎng)：定常流場(chǎng)流體定常運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程流體定常運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程微微分形式分形式力學(xué)的基本方程從笛卡爾坐標(biāo)系中向曲線坐標(biāo)系的擴(kuò)展力學(xué)的基本方程從笛卡爾坐標(biāo)系中向曲線坐標(biāo)系的擴(kuò)展,i

19、j jiifufu ;ij jiifuRiemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）R-C張量的起源猜想張量的起源猜想22ffx yy x 笛卡笛卡爾坐標(biāo)系下，二元函數(shù)爾坐標(biāo)系下，二元函數(shù)f (x, y)的的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)具有求導(dǎo)順序的無(wú)關(guān)性。那么到了曲線坐標(biāo)系以及高階具有求導(dǎo)順序的無(wú)關(guān)性。那么到了曲線坐標(biāo)系以及高階流形上，求導(dǎo)流形上，求導(dǎo)（協(xié)變導(dǎo)數(shù)）（協(xié)變導(dǎo)數(shù)）順序的順序的無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)性還存在嗎？性還存在嗎？基本沒(méi)有！基本沒(méi)有！Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）Riemann其人其人 愛(ài)因斯坦愛(ài)因斯坦 （1879-1955）黎曼黎曼（

20、1826-1866）拉格朗日拉格朗日（1736-1813）高斯高斯Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）R-C張量的起源猜想張量的起源猜想若有，空間形式為若有，空間形式為歐氏歐氏空間；反之，為空間；反之，為黎曼黎曼空間?？臻g。若能在一個(gè)空間中找到一笛卡爾坐標(biāo)系，并且能找若能在一個(gè)空間中找到一笛卡爾坐標(biāo)系，并且能找到一坐標(biāo)變換，使得變換后滿足到一坐標(biāo)變換，使得變換后滿足 ， 。那么這個(gè)空間就是歐氏的。那么這個(gè)空間就是歐氏的。如何知道空間形式是歐氏的還是黎曼的？如何知道空間形式是歐氏的還是黎曼的？i jijg 0ki j 若若 ， 0kij ?kijmddxRRie

21、mann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）R-C張量的張量的定義定義llijllmmlikijkmjikijmkjkRxx ;r ijr jiaa再來(lái)看矢量再來(lái)看矢量a，對(duì)于，對(duì)于 ，有，有 ；對(duì)于；對(duì)于 與與 ， ?首先來(lái)看標(biāo)量首先來(lái)看標(biāo)量，對(duì)于，對(duì)于 ，有，有 ；對(duì)于；對(duì)于 ，有有 。 ;,ii ;ijjia; r ia a aT a;li jki kjlijkaaa RR-C張量的張量的定義定義llijlmlmlikijkikmjijmkjkRxx llijllmmlikijkmjikijmkjkRxx 本人的建議：本人的建議：形式上的拓展，比較：形式上的拓展，比較

22、：jiijijijFF Fg gg gjjmjimiiFFFxjmijmijiFFFxllijllmmlikijkmjikijmkjkllijmllmikijmkmjikjkllijlmlmikmkijmjikjkllijlmlmlmlmikkmijimjkjmikimjkjkljikRxxxxxxxx lkij lllijkjikkijlljkikijR Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）R-C張量的張量的定義定義,jl ijk immijkljkil mjlik mklRxx rijklirjklRg R,jl ijk immijkljlik mjkil

23、 mklRxx 本人的建議：本人的建議：請(qǐng)驗(yàn)證是否一致：請(qǐng)驗(yàn)證是否一致：,jl ijk immijkljkil mjlik mklRxx mmmijkjikkijR ,mmmijkllmijklmjikkijmmmmlmjiklmkijjlmikklmijjik lkij lRg Rggggg 又有：又有：用度量張量計(jì)算用度量張量計(jì)算R由此推測(cè)：黎曼張量必然取決于度量張量！由此推測(cè)：黎曼張量必然取決于度量張量！,12jkijikij kijkgggxxx,jl ijk immijkljkil mjlik mklRxx ,12ijklil jkjk ilik jljl ikrsil rjk si

24、k rjl sRggggg,1212sijklil jkjk ililjk ssik jljl ikikjl sRgggg 用度量張量計(jì)算用度量張量計(jì)算R本人的建議：本人的建議：R-C張量的張量的性質(zhì)性質(zhì)R的對(duì)稱性（的對(duì)稱性（R = Rijkl gigjgkgl）I.對(duì)于前兩個(gè)指標(biāo)反對(duì)稱對(duì)于前兩個(gè)指標(biāo)反對(duì)稱 ijkljiklRRij II.對(duì)于后兩個(gè)指標(biāo)反對(duì)稱對(duì)于后兩個(gè)指標(biāo)反對(duì)稱 ijklijlkRRkl 可構(gòu)造可構(gòu)造二階張量二階張量 mnmijnklijklLR即即： : :LR,jl ijk immijkljkil mjlik mklRxx Riemann-Christoffel張量（曲率

25、張量）張量（曲率張量）R-C張量的張量的性質(zhì)性質(zhì)R的對(duì)稱性（的對(duì)稱性（R = Rijkl gigjgkgl）III.對(duì)于前兩個(gè)指標(biāo)和后兩個(gè)指標(biāo)可交換對(duì)于前兩個(gè)指標(biāo)和后兩個(gè)指標(biāo)可交換ijklklijRR綜合上述三方面的對(duì)稱性：綜合上述三方面的對(duì)稱性：0ijkljkilkijlRRR0lllijkjkikijRRRRiemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）R（R = Rijkl gigjgkgl）獨(dú)立分量的計(jì)算：）獨(dú)立分量的計(jì)算：81個(gè)分量個(gè)分量ijkljiklRR （i,j）中，）中，3個(gè)個(gè)0分量，分量，3個(gè)獨(dú)立分量，可能的、獨(dú)立的非個(gè)獨(dú)立分量，可能的、獨(dú)立的非0組合

26、組合為為3個(gè)，即（個(gè)，即（1，2），（），（2，3），（），（3，1）。）。ijklijlkRR （k,l）中，）中，3個(gè)個(gè)0分量，分量，3個(gè)獨(dú)立分量，可能的、獨(dú)立的非個(gè)獨(dú)立分量，可能的、獨(dú)立的非0組合組合也為也為3個(gè)，即（個(gè)，即（1，2），（），（2，3），（），（3，1）。）。于是（于是（ i,j ,k,l）中，可能的、獨(dú)立的非）中，可能的、獨(dú)立的非0組合為組合為9個(gè)，即個(gè)，即（1，2，1，2），（），（1，2，2，3），（），（1，2，3，1）（2，3，1，2），（），（2，3，2，3），（），（2，3，3，1）（3，1，1，2），（），（3，1，2，3），（），（3，1，3，1）Rie

27、mann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）最終，最終，R的獨(dú)立分量只有的獨(dú)立分量只有6個(gè)，分別為：個(gè)，分別為：121212231231233123233131 RRRRRRijklklijRR于是（于是（ i,j ,k,l）中，可能的、獨(dú)立的非）中，可能的、獨(dú)立的非0組合為組合為9個(gè)，即個(gè)，即（1，2，1，2），（），（1，2，2，3），（），（1，2，3，1）（2，3，1，2），（），（2，3，2，3），（），（2，3，3，1）（3，1，1，2），（），（3，1，2，3），（），（3，1，3，1）Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）Ri

28、cci公式公式;ijji;li jki kjlijkaaa R標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)矢矢量場(chǎng)函數(shù)量場(chǎng)函數(shù)張量場(chǎng)函數(shù)張量場(chǎng)函數(shù);rrij klij lkrjiklirjklTTT RT R（二階）（二階）;ijijijrrjiirjk pqk qprkpqkrpqkrpqTTT RT RT R（三階）（三階）Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）Bianchi恒等恒等式式令令 ，代入，代入; ( )rrpi jkpi kjripjkprijkTTT RT R;pip iTa;rrp ijkp ikjr ipjkp rijkaaa RaR( );rrp jkip ji

29、kr jpkip rjkiaaaRaR;rrp kijp kjir kpijp rkijaaaRaR對(duì)對(duì)i, j, k做輪換做輪換對(duì)對(duì)i, j, k做輪換做輪換再再?gòu)膹?出發(fā)，對(duì)出發(fā)，對(duì)xk求協(xié)變導(dǎo)數(shù)求協(xié)變導(dǎo)數(shù);rp ijp jirpijaaa R;rrp ijkp jikr kpijrpij kaaaRa R;rrp jkip kjir ipjkrpjk iaaa Ra R;rrp kijp ikjr jpkirpki jaaaRa RRiemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）Bianchi恒等恒等式式;rrp ijkp jikr kpijrpij kaaaRa

30、R;rrp jkip kjir ipjkrpjk iaaa Ra R;rrp kijp ikjr jpkirpki jaaaRa R;rrrrrrp rijkjkikijrpij kpjk ipki jaRRRaRRR由于由于0rrrijkjkikijRRR;0rrrpij kpjk ipki jRRR;rrp ijkp ikjr ipjkp rijkaaa RaR;rrp jkip jikr jpkip rjkiaaaRaR;rrp kijp kjir kpijp rkijaaaRaR對(duì)比兩組式子對(duì)比兩組式子Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量（曲率張量）Bianchi恒等恒等式式降指標(biāo)后，得到降指標(biāo)后，得到;0rpij krpjk irpki jRRR從而得到從而得到