微分幾何-曲線論

1、習(xí)題課1.1.主要內(nèi)容回顧主要內(nèi)容回顧2.2. 課后習(xí)題選講課后習(xí)題選講二、課后習(xí)題選講二、課后習(xí)題選講1 . 268習(xí)題習(xí)題P. 1解解：)(0常數(shù)常數(shù)曲線為曲線為 vvu,sin,cos000bvvuvur 0 ,sin,cos, 0 , 0000vvubv 軸軸垂垂直直相相交交的的直直線線它它是是與與z)., 0 , 0(0bv過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))(0常數(shù)常數(shù)曲線為曲線為 uuv,sin,cos00bvvuvur 軸；軸；時(shí)，它表示時(shí)，它表示當(dāng)當(dāng)zu00 .00時(shí)，它表示圓柱螺線時(shí)，它表示圓柱螺線當(dāng)當(dāng) u. 2解解：坐標(biāo)曲線為坐標(biāo)曲線為 u2),(),(000uvvubvuar 2 ,0 ,000

2、vbaubvav 坐標(biāo)曲線為坐標(biāo)曲線為 v2),(),(000vuvubvuar 2 ,0 ,000ubavbuau 顯然它們都是直線族，顯然它們都是直線族，.它們都在雙曲拋物面上它們都在雙曲拋物面上屬于兩直母線族之一，屬于兩直母線族之一，雙曲拋物面上的直線必雙曲拋物面上的直線必.直母線直母線它的坐標(biāo)曲線就是它的它的坐標(biāo)曲線就是它的解：解：,sin,sincos,coscos aaar 為為：在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的切切平平面面方方程程, 0cossinsincossin0coscossincossinsincoscoscos aaaaaazayax. 0sin)sin(cos)cos(cos a

3、zyx 即即. 3,0 ,coscos,sincos aar ,cos,sinsin,cossin aaar 法法線線方方程程為為：,sinsincossincoscossincossincossincossincos0sincoscossinsin0coscoscoscos aaaaazaaaayaaaax .sinsinsincossincoscoscoscoscos azayax 即即解：解：. 4：橢橢圓圓柱柱面面的的參參數(shù)數(shù)表表示示為為,sin,costbar ,0 ,cos,sin bar ,1 , 0 , 0 tr為為：在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的切切平平面面方方程程, 01000cos

4、sinsincos batzayax. 0)sin()cos( abyaxb 即即, 固固定定由由于于沿沿每每一一條條直直母母線線 有有關(guān)關(guān)，而而切切平平面面方方程程只只與與 .平面只有一個(gè)平面只有一個(gè)故沿同一條直母線的切故沿同一條直母線的切. 5解解：,3uvavur 切切平平面面方方程程為為：, 0100123233 uvavuauvazvyux. 0332323 uvazyuvaxvua即即, 0 , 123vuaru , 1 , 023uvarv ,3,3 ,33uvavu分分別別為為它它在在三三坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上的的截截距距四四面面體體的的體體積積為為：uvavuV33332131 .

5、293常常數(shù)數(shù) a812.2P習(xí)習(xí)題題3.解解：0,-0(0,0),uvu vP兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為(0,0)P在在點(diǎn)點(diǎn)處處, ,2(0,0)1,0,(0,0),EFGa 0,-0(0,0)uvu vP兩兩曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切方方向向分分別別為為：:1:( 1),:1:1,du dvuv(0,0)2222()cos22Edu uF du vdv uGdv vEduFdudvGdvE uF u vG v 2222222du ua dv vdua dvuav 22(1)(1)a du uaduu 2211aa 兩兩曲曲線線的的交交角角為為：222211arccosarccos.11

6、aaaa 或或8.證證：,duv 設(shè)設(shè)分分別別表表示示曲曲線線, ,曲曲線線及及其其二二等等分分角角軌軌線線的的切切方方向向，0,0;uuv沿沿曲曲線線, ,0,0;vuv沿沿曲曲線線, ,由由交交角角公公式式得得：222222+=22Edu u Fdv uFdvu GdvvEduFdudv GdvE uEduFdudv GdvG v 2222()(+)=Edu u Fdv uFdvu GdvvE uG v 即即2222()=G()E EG F duEG F dv 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得20,EG F 22=EduGdv二二等等分分角角軌軌線線的的微微分分方方程程是是9.解解：uv三三曲曲線線在在平平面

7、面上上圍圍成成的的圖圖形形如如圖圖所所示示：ouav uav 1v 三三曲曲線線相相交交所所成成的的圖圖形形面面積積為為：2=DEGF dudv 22=Dua dudv 1Dvu122=2Dua dudv 12200=2avdvua du 222=ln(12).3a 3 . 2113習(xí)題習(xí)題P. 1解解：,1 ,sinsinh,cossinhvuvuru ,0 ,coscosh,sincoshvuvurv ,0 ,sincosh,coscoshvuvuruu ,0 ,cossinh,sinsinhvuvuruv ,0 ,sincosh,coscoshvuvurvv 所以有所以有2urE 1si

8、nh2 uu2cosh vurrF , 0 2vrG u2cosh 又又因因?yàn)闉関uvurrrrn ,sinh,sin,coscosh1uvv 所以所以nrLuu 11sinhcosh2 uu, 0 nrMuv. 1 nrNvv. 2解解：下下向向量量形形式式：拋拋物物面面的的方方程程可可表表為為如如,225,22212121xxxxxxr 所以所以,25 , 0 , 1211xxrx ,22 , 1 , 0212xxrx ,5 , 0 , 011 xxr,2 , 0 , 021 xxr,2 , 0 , 022 xxr在原點(diǎn)處有：在原點(diǎn)處有：,0 , 0 , 1)0,0(1 xr,0 , 1

9、, 0)0,0(2 xr,5 , 0 , 0)0,0(11 xxr,2 , 0 , 0)0,0(21 xxr,2 , 0 , 0)0,0(22 xxr從而有從而有，1 E，0 F；1 G，5 L，2 M. 2 N基本形式為：基本形式為：在原點(diǎn)處拋物面的第一在原點(diǎn)處拋物面的第一2221dxdxI 第二基本形式為：第二基本形式為：.245222121dxdxdxdxII 5.解：解：( )( )SC 設(shè)設(shè)平平面面 與與球球面面的的交交線線為為，OdC12( )1,Cd 則則的的半半徑徑為為21( )1Ckd 的的曲曲率率為為； n 2( )cos1Cnd 曲曲線線的的主主法法向向量量 與與球球面面

10、的的法法向向量量 的的夾夾角角的的余余弦弦， 由由梅梅尼尼埃埃定定理理：( )C 的的法法曲曲率率cosnkk 22111.1dd 12.解：解：,zpayx ,zqaxy 220,zrx 2,zsax y 220,zty 22211,Epa y 2,Fpqa xy 22211,Gqa x 220,1rLpq 222222,11saMpqa xa y 220,1tNpq 曲曲率率線線的的微微分分方方程程為為：22222222222110,001dydxdydxa ya xya xaa xa y 222222(1)(1),a ydxa xdy 即即222211,a y dxa x dy 分分離離

11、變變量量得得：2222,11dxdya xa y 兩兩邊邊積積分分得得：2222ln(1)ln(1).axa xaya yC ()C其其中中 是是任任意意常常數(shù)數(shù)15.證證：( )LS設(shè)設(shè)曲曲線線 是是曲曲面面上上的的曲曲率率線線，由由已已知知，( )( ).sn s 常常數(shù)數(shù)兩兩邊邊微微分分得得：0.nn L曲曲線線 是是曲曲率率線線， 由由羅羅德德里里格格定定理理，ndnk dr ，nnk ，由由伏伏雷雷內(nèi)內(nèi)公公式式，=, ( ) ( ) 代代入入式式得得：()0.nnk ()0.n 即即0 若若，.L則則曲曲線線 為為平平面面曲曲線線0n 若若，0.nn 兩兩邊邊再再微微分分得得：由由伏

12、伏雷雷內(nèi)內(nèi)公公式式，()()0.nknk ()0.n 即即0.n 但但(/ / ,)n 否否則則這這是是不不可可能能的的0 ，.L總總之之，曲曲線線 為為平平面面曲曲線線19.證證：沿沿漸漸近近曲曲線線有有：2212cossin0,nkkk 12(,)urk k 其其中中 是是漸漸近近曲曲線線的的切切方方向向與與 的的夾夾角角是是主主曲曲率率212tan,kk 111222tan,tan,kkarcarckk 12()ur 其其中中, ,是是兩兩條條漸漸近近曲曲線線的的切切方方向向與與 的的夾夾角角兩兩族族漸漸近近曲曲線線交交于于固固定定角角，11222tan.karck 常常數(shù)數(shù)12=.kk

13、常常數(shù)數(shù)22.證證：由由已已知知，120,2kkH 120kk 120.kk 或或120kk 若若，則則沿沿任任意意方方向向有有：2212cossin0,nkkk :du dv即即對(duì)對(duì)任任意意方方向向，222220,2nLduMdudvNdvkEduFdudvGdv 0,LMN .即即曲曲面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為平平點(diǎn)點(diǎn)120kk 若若，120,Kk k 則則20,LNM 即即.曲曲面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為雙雙曲曲點(diǎn)點(diǎn)23.證證：如如果果曲曲面面的的平平均均曲曲率率為為零零， 由由上上題題的的結(jié)結(jié)論論可可知知，.曲曲面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為平平點(diǎn)點(diǎn)或或雙雙曲曲點(diǎn)點(diǎn)若若曲曲面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)均均為為平平點(diǎn)點(diǎn)，

14、 則則任任意意方方向向?yàn)闉闈u漸近近方方向向，任任意意曲曲線線為為漸漸近近曲曲線線，.必必存存在在正正交交的的漸漸近近曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)若若曲曲面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)均均為為雙雙曲曲點(diǎn)點(diǎn)，.則則曲曲面面上上存存在在漸漸近近曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)沿沿漸漸近近曲曲線線有有：2212cossin0,nkkk 212tan1.kk 由由上上題題的的結(jié)結(jié)論論可可知知，.44 即即或或2 即即兩兩漸漸近近曲曲線線的的夾夾角角為為，.漸漸近近曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)構(gòu)構(gòu)成成正正交交網(wǎng)網(wǎng)24.解解：經(jīng)經(jīng)計(jì)計(jì)算算，22=,0,(cos ) ;E aFGba = ,0,cos (cos );L a MNba 2cos (cos ),LNMaba 0

15、,ba cos0,ba 2cosLNM 故故的的符符號(hào)號(hào)與與的的符符號(hào)號(hào)一一致致. .30222 當(dāng)當(dāng)和和時(shí)時(shí)，20LNM ，圓圓環(huán)環(huán)面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為橢橢圓圓點(diǎn)點(diǎn)， 即即圓圓環(huán)環(huán)面面外外側(cè)側(cè)的的點(diǎn)點(diǎn)為為橢橢圓圓點(diǎn)點(diǎn)；322 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，20LNM ，圓圓環(huán)環(huán)面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為雙雙曲曲點(diǎn)點(diǎn)， 即即圓圓環(huán)環(huán)面面內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè)的的點(diǎn)點(diǎn)為為雙雙曲曲點(diǎn)點(diǎn)；322 當(dāng)當(dāng)或或時(shí)時(shí)，20LNM ， 圓圓環(huán)環(huán)面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為拋拋物物點(diǎn)點(diǎn)，即即圓圓環(huán)環(huán)面面上上、下下兩兩個(gè)個(gè)緯緯圓圓上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為拋拋物物點(diǎn)點(diǎn). .25.證證：旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的第第一一基基本本形形式式為為222222( )().gfIgtdt

16、dg 22,.gfudt vg 作作參參數(shù)數(shù)變變換換：在在新新參參數(shù)數(shù)下下，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的第第一一基基本本形形式式變變?yōu)闉?22 ( )().Ig t ududv 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面上上存存在在等等溫溫網(wǎng)網(wǎng). .26.證證：1212,n nS S 設(shè)設(shè), ,分分別別是是曲曲面面的的法法向向量量，1212,( )S SCnn 曲曲面面沿沿曲曲線線成成固固定定角角= =常常數(shù)數(shù). .12()0.d nn 21210.ndnndn 1( )CS曲曲線線是是曲曲面面 的的曲曲率率線線，1/ /,dndr 120.dnn 即即2( )CS曲曲線線是是曲曲面面 的的曲曲率率線線210dnn 即即212

17、10.ndnndn 12()0.d nn 12nn = =常常數(shù)數(shù). .12,( )S SC曲曲面面沿沿曲曲線線成成固固定定角角. .2/ /dndr 27.證證：沿沿漸漸近近曲曲線線有有證證：cos0,nkk ( )SP曲曲面面在在雙雙曲曲點(diǎn)點(diǎn) 處處的的兩兩條條漸漸近近曲曲線線不不是是直直線線，0,k cos0, 故故,n 即即=.n =.dnd 從從而而0,II 又又沿沿漸漸近近曲曲線線有有22=dndIII 2HIIKIKI 22.dKds 即即2.dKds 22.K .KK 或或1702.6P習(xí)習(xí)題題2.證證：222,0,cos.EaFGau 易易求求出出：1ln1lnGcossin22gdEkdsvuGE 221ln(cos)sin2daudsau 2221 2cos sinsin2cosdauudsaau sinsincosdudsau sinsin=,cosdvdsauG 而而sin.gdudvkdsds 故故OaCR n 3.解解：sin ,gkk 1,ka 而而22sin =,RaR 22.gRakaR 5.證證：( )( )( ),SCrr s 設(shè)設(shè)曲曲面面上上的的曲曲率率線線的的方方程程為為( )( ),Cnn s 則則它它的的球球面面像像的的方方程程為為( )