非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

1、 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性分析分析非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(1/4)非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析q 在線性系統(tǒng)中,如果平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的,則系統(tǒng)的平衡態(tài)是唯一的,且系統(tǒng)在狀態(tài)空間中是大范圍漸近穩(wěn)定的。 對(duì)非線性系統(tǒng)則不然。 非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)局部漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)(吸引子),同時(shí)還存在不穩(wěn)定的平衡態(tài)(孤立子),穩(wěn)定性的情況遠(yuǎn)比線性系統(tǒng)來(lái)得復(fù)雜。 與線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析相比,由于非線性系統(tǒng)的多樣性和復(fù)雜性,所以非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析也要復(fù)雜得多。非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(2/4)q 本節(jié)主要研究Lyapunov方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。 由于非線性系統(tǒng)千差萬(wàn)別,沒有統(tǒng)一

2、的描述,目前也不存在統(tǒng)一的動(dòng)力學(xué)分析方法,因此對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析是困難的。 對(duì)于非線性系統(tǒng),李雅普諾夫第二法雖然可應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定,但其只是一個(gè)充分條件,并沒有給出建立李雅普諾夫函數(shù)的一般方法。 而只能針對(duì)具體的非線性系統(tǒng)進(jìn)行具體分析。非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(3/4)q 對(duì)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問(wèn)題,目前切實(shí)可行的途徑為: 針對(duì)各類非線性系統(tǒng)的特性,分門別類地構(gòu)造適宜的Lyapunov函數(shù)。如, 通過(guò)特殊函數(shù)來(lái)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩陣法) 針對(duì)特殊函數(shù)的變量梯度構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的變量梯度法(也叫舒爾茨-吉布生法) 針對(duì)特殊非線性系統(tǒng)進(jìn)行線

3、性近似處理的阿依捷爾曼法(也叫線性近似法)、魯立葉法等。非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(4/4)q 由于非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性具有局部的性質(zhì),因此在尋找Lyapunov函數(shù)時(shí),須通過(guò)將系統(tǒng)的坐標(biāo)軸平移,將系統(tǒng)的所討論的平衡態(tài)移至原點(diǎn)。 在討論穩(wěn)定性時(shí),通常還要確定該局部漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)的范圍。q 下面分別討論如下3種非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法 變量梯度法變量梯度法 阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法克拉索夫斯基法(1/7)5.4.1 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法q 設(shè)非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 對(duì)該系統(tǒng)有如下假設(shè):1) 所討論的平衡態(tài)xe=0;2) f(x

4、)對(duì)狀態(tài)變量x是連續(xù)可微的,即存在雅可比矩陣 對(duì)上述非線性系統(tǒng),有如下判別漸近穩(wěn)定性的克拉索夫斯基定理。)()(xfxtxxfx/ )()(J克拉索夫斯基法(2/7)q 定理定理5-11 非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充分條件為 為負(fù)定的矩陣函數(shù),且為該系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。 更進(jìn)一步,當(dāng)|x|時(shí),有|f(x)|,則該平衡態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ( )( )( )JJJxxx( )( ) ( )Vxx xfx f x )()(xfxtq 證明證明 當(dāng)非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為 則其導(dǎo)數(shù)為 ( )( ) ( )Vxx xfx f x 克拉索夫斯基法(3/7) 由于 為系統(tǒng)的

5、一個(gè)李雅普諾夫函數(shù),即 正定。 因此,若 負(fù)定,則 必為負(fù)定。 所以,由定理5-4知,該非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。 )()(xfxt( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )VJJJxfx f xf xf xxf xfxxxxfxx f xfxx f xfxx f x( )( ) ( )Vxfx f x( ) ( )fx f x)(xJ)()()(),(xfxxfxJtV( )( ) ( )Vxx xfx f x 克拉索夫斯基法(4/7)q 在應(yīng)用克拉索夫斯基定理時(shí),還應(yīng)注意下面幾點(diǎn)。 克拉索夫斯基定理只是漸近穩(wěn)定

6、的一個(gè)充分條件,不是必要條件。 如對(duì)于漸近穩(wěn)定的線性定常連續(xù)系統(tǒng) 由于不是負(fù)定矩陣,故由克拉索夫斯基定理判別不出該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。 可見,該定理僅是一個(gè)充分條件判別定理。11220127xxxx01( )( )( )114JJJxxx克拉索夫斯基法(5/7) 若V(x)=f(x)f(x)正定,為L(zhǎng)yapunov函數(shù),則說(shuō)明只有當(dāng)x=0時(shí),才有V(x)=0,即原點(diǎn)是唯一的平衡態(tài)。 因此,只有原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),才能用克拉索夫斯基定理判別漸近穩(wěn)定性,并且由該定理判別出的漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。 由克拉索夫斯基定理可知,系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的條件是J(x)+J(x)為

7、負(fù)定矩陣函數(shù)。 由負(fù)定矩陣的性質(zhì)知,此時(shí)雅可比矩陣J(x)的對(duì)角線元素恒取負(fù)值,因此向量函數(shù)f(x)的第i個(gè)分量必須包含變量xi,否則,就不能應(yīng)用克拉索夫斯基定理判別該系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。 將克拉索夫斯基定理推廣到線性定常連續(xù)系統(tǒng)可知:對(duì)稱矩陣A+A負(fù)定,則系統(tǒng)的原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。克拉索夫斯基法(6/7)q 例例4-12 試確定如下非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)的穩(wěn)定性:q 解解 由于f(x)連續(xù)可導(dǎo)且q 可取作李雅普諾夫函數(shù),因此,有3221213)(xxxxxxfx 0)()3()()(23221221xxxxxxfxf2231113)()(xJxxfx2262226)()()(xJJJxxx克拉

8、索夫斯基法(7/7) 由塞爾維斯特準(zhǔn)則有 故矩陣函數(shù) 負(fù)定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。2122226260,3680226xx ( )J x變量梯度法 (1/10)5.4.2 變量梯度法變量梯度法 q 舒爾茨和吉布生在1962年提出的變量梯度法,為構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)提供了一種比較實(shí)用的方法。 該方法的思想是設(shè)法構(gòu)造出Lyapunov函數(shù)的梯度來(lái)分析Lyapunov函數(shù)的定號(hào)性。q 設(shè)非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為且所討論的平衡態(tài)為原點(diǎn),即xe=0。)()(xfxt變量梯度法 (2/10)q 設(shè)所找到的非線性系統(tǒng)的判定平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的李雅普諾夫函數(shù)為V(x

9、),它是x的顯函數(shù),而不是時(shí)間t的顯函數(shù),則V(x)的單值梯度gradV存在。 梯度gradV是如下定義的n維向量: 舒爾茨和吉布生建議,先假設(shè)gradV具有某種形式,并由此求出符合要求的V(x)和V(x)。11dgrad ( )dnnVxVVVVVxxx變量梯度法 (3/10)q 由可知,V(x)可由gradV的線積分求取,即 式中,積分上限x是狀態(tài)空間的一點(diǎn)(x1,x2,xn)。 由場(chǎng)論知識(shí)可知,若梯度gradV的n維旋度等于零,即rot(gradV)=0,則V可視為保守場(chǎng),且上式所示的線積分與路徑無(wú)關(guān)。11( )(grad )nnVVVxxVxxxx xxxx010dd)grad()(n

10、iiixVVV變量梯度法 (4/10) 而rot(gradV)=0的充分必要條件是: gradV的雅可比矩陣是對(duì)稱矩陣,即 當(dāng)上述條件滿足時(shí),式(5-29)的積分路徑可以任意選擇,故可以選擇一條簡(jiǎn)單的路徑,即依各個(gè)坐標(biāo)軸xi的方向積分grad ( )ijn nVVxxx,1,2,jijiVVi jnxx001( )(grad ) dd(529)niiiVVV xxxxx12112121122(,0,0)(,0,0)(,)000( )dddnnxxxnnxx xx xxVVxVxVxx變量梯度法 (5/10)q 按變量梯度法構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)方法的步驟如下。1) 將李雅普諾夫函數(shù)V(x)的梯度假

11、設(shè)為式中,aij(i,j=1,2,n)為待定系數(shù),它們可以是常數(shù),也可以是t的函數(shù)或x1,x2,xn的函數(shù)。 通常將aij選擇為常數(shù)或t的函數(shù)。11 1122121 122221 122gradnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xVa xa xa x變量梯度法 (6/10)2) 由 定義 。 由平衡態(tài)漸近穩(wěn)定時(shí) 為負(fù)定的條件,可以決定部分待定參數(shù)aij。3) 由限制條件 式中決定其余待定參數(shù)aij。4) 按式(5-31)求線積分,獲得V(x)。 驗(yàn)證V(x)的正定性,若不正定則需要重新選擇待定參數(shù)aij,直至V(x)正定為止。5) 確定平衡態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定的范圍。( )V

12、x,1,2,jijiVVi jnxx( )(grad )VVxx( )V x12112121122(,0,0)(,0,0)(,)000( )ddd(531)nnxxxnnxx xx xxVVxVxVxx變量梯度法 (7/10)例5-14q 由上述構(gòu)造過(guò)程可知,變量梯度法只是建立非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的充分性方法。 用這種方法沒有找到適宜的李雅普諾夫函數(shù),并不意味著平衡態(tài)就不是漸近穩(wěn)定的。q 例例5-14 試確定如下非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)的穩(wěn)定性。q 解解 顯然xe=0是系統(tǒng)的平衡態(tài)。 可設(shè)李雅普諾夫函數(shù)V(x)的梯度為123221xxxxx 22212121211121gradxaxaxaxa

13、VVV變量梯度法 (8/10) 由gradV可得如下V(x)的導(dǎo)數(shù) 當(dāng)時(shí),V(x)為負(fù)定。 即上述aij所滿足的條件是V(x)負(fù)定的一個(gè)充分條件。211 112221 12223212241211212212122221 1( )(grad )()()VVxa xa xa xa xxxx x aaa xxaaa xxx21121221122221000aaa xaaa變量梯度法 (9/10) 由限制條件(5-30),并設(shè)a12和a21為常數(shù),有 綜上所述,有,1,2,(530)jijiVVi jnxx12122121VVaaxx1221222112122100aaaaaa x變量梯度法 (10

14、/10) 計(jì)算線積分式(5-31),得 由于0a12a22,故V(x)是正定的。 因此,該系統(tǒng)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。 當(dāng)|x|時(shí),有V(x),所以該系統(tǒng)原點(diǎn)是系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的。1211212121122(,0)(,)0011 1121 12222002212211121 12222004221212212( )dddddd11142xxxx xxxxxVVxVxa x xa xa xxaa xx xa xa xxaaxaaxxx12112121122(,0,0)(,0,0)(,)000( )ddd(531)nnxxxnnxx xx xxVVxVxVxx阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法(1/10)5.4

15、.3 阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法q 假設(shè)系統(tǒng)中出現(xiàn)的非線性關(guān)系為如圖5-8所示的靜態(tài)非線性關(guān)系,即它是一個(gè)單值的非線性函數(shù),且滿足,1,2(0)0( )0iiiiiiiff xkkxx fi(xi) xi ki,2xi ki,1xi fi(xi) 圖圖5-8 一類靜態(tài)非線性特性一類靜態(tài)非線性特性 上述非線性函數(shù)fi(xi)為通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且介于直線ki,1xi和ki,2xi之間的任意形狀的曲線函數(shù),因此具有一定的代表性,可用來(lái)描述一大類非線性系統(tǒng)。阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法(2/10)q 考慮具有上述非線性函數(shù)關(guān)系的如下非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程:( )(533)ABxxf x式中,x為n維狀態(tài)變量向量

16、; A和B為適宜維數(shù)的常數(shù)矩陣; f(x)=f1(x1) f2(x2) fn(xn)T為n維關(guān)于狀態(tài)向量x的向量函數(shù)。 由式(5-32)和式(5-33)可知,原點(diǎn)x=0是狀態(tài)空間的平衡態(tài)。,1,2(0)0(532)( )0iiiiiiiff xkkxx阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法(3/10)q 對(duì)于上述系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,阿依捷爾曼法的思想是先用線性關(guān)系ixi取代非線性關(guān)系fi(xi),即令ixi=fi(xi)。 因而對(duì)于該非線性系統(tǒng),其線性化后的系統(tǒng)同樣可以建立正定的李雅普諾夫函數(shù),并判定漸近穩(wěn)定性; 若線性化后的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,則由使李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定的漸近穩(wěn)定的充分條件來(lái)確

17、定原非線性系統(tǒng)在ki,1fi(xi)/xi ki,2xi內(nèi)是否漸近穩(wěn)定的。q 因此,應(yīng)用阿依捷爾曼法判定非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的步驟如下。1) 系統(tǒng)中的非線性函數(shù)fi (xi)用線性關(guān)系ixi代替。阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法(4/10)2) 對(duì)線性化后的系統(tǒng),找出其相應(yīng)的判定漸近穩(wěn)定的二次型李雅普諾夫函數(shù),即V(x)=xPx,其中矩陣P為正定的,并滿足同時(shí)有V(x)=-xQx;3) 將求取的V(x)作為原非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù),再求出它對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù),即將非線性狀態(tài)方程(5-33)代入,得到非線性系統(tǒng)的V(x)。 最后根據(jù)V(x)應(yīng)是負(fù)定的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,確定非線性關(guān)系漸近穩(wěn)定時(shí)的ki

18、,1和ki,2的取值范圍。0QQPAPA( )(533)ABxxf x阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法(5/10)例5-15q 阿依捷爾曼法判定非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性只是一個(gè)充分性的方法。 當(dāng)非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí),非線性關(guān)系中的ki,1和ki,2的實(shí)際取值范圍可能要比用阿依捷爾曼法確定的大。 而且,對(duì)線性化系統(tǒng)得到的李雅普諾夫函數(shù)不同,則與其相應(yīng)的ki,1和ki,2的取值范圍也不同。q 例例5-15 設(shè)非線性控制系統(tǒng)如圖5-9所示,試用阿依捷爾曼法判定該系統(tǒng)在給定輸入r(t)=0時(shí)的漸近穩(wěn)定性。 s121sy m e r(t)=0 + - 阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法(6/10)q 解解 圖5-9所示的非線性控制系統(tǒng)在給定輸入r(t)=0時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，f(e)為單值非線性函數(shù)。 如果選擇狀態(tài)變量x1=e,x2=e,則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)(02efmmee )(212221xfxxxx阿依捷爾曼法阿依捷爾曼法(7/10) 設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性如圖5-10所示,那么它可以用一條直線近似,即f(x1)2x1,于是線性化狀態(tài)方程為 1222122xxxxx圖圖5-10 非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性 由李雅普諾夫代數(shù)方程PA+AP=-I,解出故線性化系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。03221081P阿依捷爾曼