阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用

1、阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用數(shù)學(xué)理論1.“阿波羅尼斯圓”PA:在平面上給定兩點(diǎn) A,B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)PB0且 1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓。（1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段 AB的中垂線）2阿波羅尼斯圓的證明及相關(guān)性質(zhì)定理：A,B為兩已知點(diǎn)，P,Q分別為線段 AB的定比為 （1）的內(nèi)外分點(diǎn)，則以 PQ為直徑的圓0上任意點(diǎn)到 A,B兩點(diǎn)的距離之比為證（以1為例）設(shè)ABAP a，PBAQQB，則a AP -1 1由相交弦定理及勾股定理知,PB,AQ22a 2BC2 PB BQ 二,AC22 12AB BCACa21 BC而P,Q,C同時(shí)在到A, B兩點(diǎn)距離之比等于的曲線（圓）上，不共線

2、的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，因此，圓 0上任意一點(diǎn)到 A,B兩點(diǎn)的距離之比恒為性質(zhì)1.當(dāng) 1時(shí)，點(diǎn)B在圓O內(nèi)，點(diǎn)A在圓O外；當(dāng)01時(shí)，點(diǎn)A在圓O內(nèi)，點(diǎn)B在圓O夕卜。性質(zhì)2.因AC2 AP AQ，過AC是圓O的一條切線。若已知圓O及圓O外一點(diǎn)A，可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn) B,反之亦然。性質(zhì)3.所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為PQ2a面積為ACB的內(nèi)、外角平分線。性質(zhì)4.過點(diǎn)A作圓O的切線AC（C為切點(diǎn)），則CP,CQ分別為性質(zhì)5.過點(diǎn)B作圓0不與CD重合的弦EF,則AB平分 EAF.數(shù)學(xué)應(yīng)用1. (03北京春季)設(shè)A( c,0), B(c,O)(c 0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距 離之比為定

3、值a(a 0),求點(diǎn)P的軌跡.2. ( 05江蘇)圓和圓02的半徑都是1，02 4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓和圓02的切線PM ,PN(M ,N分別為切點(diǎn))，使得PM .2PN，試建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程3. ( 06四川)已知兩定點(diǎn) A( 2,0), B(1,0).如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA 2PB，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積是.4. (08江蘇)滿足條件AB 2, AC <2BC的 ABC面積的最大值是 .5在等腰 ABC中，AB AC,BD是腰AC上的中線，且BD 3,則 ABC面積的最大值是2 26已知A( 2,0), P是圓C:(x 4) y16上任意一點(diǎn)，問在平面上是否存在一點(diǎn)B，使PA 1得H 1?若存在，求出點(diǎn)PB :B坐標(biāo)；若不存在，說明理由變式：已知圓C ： (x 4)22y 16，問在x軸上是否存在點(diǎn) A和點(diǎn)B，使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)P，都有PAPB?若存在，求出A,B坐標(biāo)；若不存在，說明理由7在 ABC中，AB 2AC, AD是