自主招生講座-綜合

1、自主招生講座一、集合1、設(shè)集合，是的子集，且滿足，那么滿足條件的子集的個數(shù)為 185直接枚舉，間接排除。2、已知A與B是集合的兩個子集，滿足：A與B的元素個數(shù)相同，且為空集，若時總有，則集合的元素個數(shù)最多為 。66。A中的元素必小于50，考慮A最多可含中多少個數(shù)，將1，2，49分成如下33個集合：，共12個；共4個；共13個；共4個。若A中含34元，則必有二個數(shù)在同一個二元子集中，即存在，使得，不符合題意，故A中最多只能含33元，如取，即滿足條件。3、（第43屆美國中學數(shù)學競賽）設(shè)為集合的子集，并且中任意兩個元素之和不能被整除，那么中元素最多有多少個？中的元素最多有個。把中的元素按分類：，七類

2、，則中最大只能取一個，與中不能同時取，與中的數(shù)不能同時取，與中的數(shù)不能同時取，故最多可取個。4、（08浙大），求實數(shù)的取值范圍。解法一：注意到問題的結(jié)構(gòu)特點，可先換元化簡，令，則問題等價轉(zhuǎn)化為，求實數(shù)的取值范圍。注意到是封閉的點集，不但關(guān)于軸、軸對稱，而且關(guān)于坐標原點對稱，于是集中精力研究兩點集在第一象限的關(guān)系即可。通過畫圖（數(shù)形結(jié)合）容易發(fā)現(xiàn)，越大，越容易滿足要求，最小的正數(shù)恰好對應二者相切的情形，此時，到直線的距離等于半徑，于是，臨界的，所以的取值范圍是。解法二：的意思就是由，求實數(shù)的取值范圍，由于，所以原命題等價于恒成立。設(shè)，則，題設(shè)即求函數(shù)的最大值，則。5.（2007 華約） 對于集合

3、，稱為開集，當且僅當對任意的，存在，使.判斷集合與是否為開集，并證明你的結(jié)論.解：設(shè)，對任意的，記為到直線的距離.依題意，令，則，所以集合是一個開集.設(shè)，取點，對任意的，取，則，但，所以集合不是一個開集.6.（2009復旦自主招生）設(shè)是含個元素的集合，是中的兩個互不相交的子集，分別含有個元素，則中既不包含，也不包含的子集的個數(shù)是（ ） 解：設(shè)中包含的子集的集合為，包含的子集的集合為，則，故選。7.（2003復旦保送生）定義閉集合：若，則。（1）舉一例，真包含于的無限閉集合；（2）證明：對任意的兩個閉集合，存在，但。解：（1）整數(shù)集合；（2）反證法。假設(shè)存在兩個閉集合，使得。顯然，。否則，不妨設(shè)

4、，則，矛盾。因此，存在，使得，考慮，由假設(shè)知。若，則，矛盾；若，則，矛盾；綜上，即存在，但。8.（2010清華等五校聯(lián)考）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時單調(diào)遞增，設(shè)，集合，求。解析：因為或，所以或，于是。，故，二、函數(shù)與方程9、（2009浙大）已知，設(shè)二次函數(shù)，其中均為實數(shù)，證明：對于任意，均有成立的充要條件是。證明：因為，從而函數(shù)的對稱軸方程為，從而。故，即。10、（2009南京大學）解方程解析：如果，則方程右邊無意義，此時方程無解。如果，則，此時方程也無解。所以，如果方程有解，則必在區(qū)間中，令，則方程變?yōu)?。于是為一整?shù)），又因為，所以，。從而。因此方程的解為。11、（2009清華）證明當均

5、為奇數(shù)時，曲線與軸的交點橫坐標為無理數(shù)解析：曲線與軸交點橫坐標為。只要證明不是完全平方數(shù)。因為均為奇數(shù)，所以。所以不是完全平方數(shù)，是無理數(shù)。注：任何一個完全平方數(shù)模4余0或1。另外也可考慮用反證法。12、（2008復旦自主招生）設(shè)是方程的三個根，則行列式（ ） 公式：13求方程組的所有正整數(shù)解14、有關(guān)柯西（Cauchy）方程問題：形如的函數(shù)方程, 其解為（其中）。14-1（烏克蘭國立基輔大學數(shù)學競賽試題）求所有函數(shù)，它在點連續(xù)且對所有滿足關(guān)系式14-2變式：（2008上海交大聯(lián)讀班）若函數(shù)滿足，。求函數(shù)的解析式。化歸為柯西方程處理令，則原方程化為 由于，則在處連續(xù)，由此可知是一個柯西方程，其

6、解為（其中），所以，再由，知，所以。14-3（2006復旦大學自主招生試題）在上單調(diào)遞增，且對，都有成立。證明：存在常數(shù)，使在上成立。證明：對，有，故。故對有，。綜上，對，有。因為在上單調(diào)遞增，故中一定存在一列，有。從而，綜上，其中，在上成立。相關(guān)高考題：14-4（2008重慶）若定義在R上的函數(shù)滿足：對，有。下列說法一定正確的是（ ）CA. 為奇函數(shù) B. 為偶函數(shù) C. 為奇函數(shù) D. 為偶函數(shù)14-5(2008陜西) 定義在R上的函數(shù)滿足,，則（ ）CA.2 B.3 C.6 D.9代數(shù)基本定理法(將函數(shù)限定在多項式范圍)14-6設(shè)多項式函數(shù)滿足。則是任一常數(shù)。證：由題設(shè)可得，再用數(shù)學歸納

7、法可得于是多項式有無限多個不同的根，而一個多項式至多只有有限多個不同的根，所以，即，令即得結(jié)論。14-7（2012北大保送生試題）已知為一個二次函數(shù)，且成立等比數(shù)列，證明：。證明：設(shè)等比數(shù)列公比為，則，故方程有三個根。注意到是二次方程，最多能有兩個不同根，故中至少有兩個相等，從而可得，故。三、不等式與函數(shù)、數(shù)列15、（2008南開）已知實數(shù)滿足，則的最小值為 。答案：2。16、（2009中科大）求證：對恒成立。解法一：（配方法）解法二：（配方法）原不等式解法三：原不等式解法四：令，則原不等式，顯然成立。17、（2009清華）為實數(shù)，且，求證：對于任意正整數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的凹凸性。18、（

8、2002復旦自招）證明方程的任意整數(shù)解都滿足。證：由，且，故。所以，即。問題拓展1：已知，則；問題拓展2：已知，則，等號成立當且僅當。證：由已知，得。令，因為，等號成立當且僅當，故，等號成立當且僅當，從而。注意到，故，即，等號成立當且僅當。19、（2008北大）已知，解析：（增量法）設(shè)，則條件為，即證。令，則。即證，即證。又，將代入整理得，即證，即證。因為，即證，即證，這顯然成立。證法二：（反證法）若，構(gòu)造函數(shù)：，。由已知條件，有。一方面，故；另一方面，故；而，故，這與矛盾！因此，即注：函數(shù)與是兩個互相“平行”的三次函數(shù)。20、（2008浙大）已知。求證：。由柯西不等式，經(jīng)放縮裂項求和，可得

9、，所以原不等式成立。21、（2013華約）已知；（1）求證：當時；（2）數(shù)列滿足，求證：數(shù)列遞減且22（2012清華）。（1）求證：恒成立；（2）試求的單調(diào)區(qū)間；（3）求證：為遞減數(shù)列，且恒成立。23、（2010華約）設(shè)函數(shù)，且存在函數(shù)，滿足（）證明：存在函數(shù)滿足；（）設(shè)證明：解法一： （）令，代入化簡得 由于等式對所有成立，可知，解得， 令，代入，化簡得所以存在，使得 （）令，注意到，由（）知， ，化為可知，從而，統(tǒng)一寫為從而有 解法二：（）同解法一，可求出，取，則所以 （）由，得 （1） 把（1）式兩邊都加上2得： （2） 把（1）式兩邊都減去2得： （3） 若存在，使，由（3）可知與矛盾

10、 所以不存在，使 （2）式除以（3）式得 因為，所以，所以所以 所以 解法三：（）由解法一得，由 （1） 易看出（1）式中即得所以存在，即（）用數(shù)學歸納法（1）當時，顯然成立（2）易得，（）假設(shè)當時，命題成立，即則當時，當時，當時，只需證，即證，即證即證，即證即，而此式是假設(shè)成立的，所以（2）成立由（1），（2）可知，原命題成立24、(2010 華約) 設(shè)、是一元二次方程的兩個根,其中,令,.證明: .解:設(shè),.由數(shù)學歸納法得,.,由數(shù)學歸納法得.從而.由,知.四、數(shù)列與概率25、A,B兩人輪流擲一個骰子，第一次由A先擲，若A擲到點，下次仍由A擲，若A擲不到點，下次換B擲，對B同樣適用規(guī)則如此

11、依次投擲，記第次由A擲的概率為求解析：記第次由B擲的概率為，則，且時，取極限，即得26、有人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都為，棋盤上標有第0站、第1站、第2站、第3站、第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前跳動一次。若擲出正面，棋子向前跳一站，若擲出反面，棋子向前跳兩站，直到棋子向前跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時，此游戲結(jié)束。設(shè)棋子向前跳到第n站概率為，（1）求（2）求證：（3）求及分析：（1）棋子在第0站為必然事件，故概率為若擲一次出正面則，棋子可從第0站向前跳兩站直達第2站，也可先跳到第1站，再跳到第2站。故。（2）證明：棋子向前

12、跳到第n站的情況有兩種：第一種，棋子先向前跳到第n-2站,又擲出反面。其概率為第二種，棋子先向前跳到第n-1站,又擲出正面。其概率為。（3）解：由（2）知，是首項為公比為的等比數(shù)列。 ，以上各式相加得：。而第100站只能從第98站直達這一種情況。因為到第99站時此游戲已結(jié)束了。故。評析：平時的概率應用題大都是將概率與排列組合知識結(jié)合，此題將概率與數(shù)列知識結(jié)合起來，同時又有游戲背景，趣味性濃。第100站的概率要小心隱含的陷阱。27、型某種電路開關(guān)閉合后，會出現(xiàn)閃動的紅燈或綠燈。已知開關(guān)第一次閉和，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是，從開關(guān)第二次閉和起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈

13、的概率是；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是，記開關(guān)第次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為。（1）求；（2）求證：解 （1）第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率的大小決定于兩個互斥事件，即第一次紅燈后第二次又是紅燈，第一次綠燈后第二次才是紅燈。于是（2）研究開關(guān)第次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率，則要考慮第次閉合出現(xiàn)紅綠燈的情況。由待定系數(shù)法，令整理比較得：所以為等比數(shù)列，公比為。當時，28、型拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上（即國徽向上）得1分，反面向上得2分，記為得分為分的概率。（1）求證：；（2）求的表達式。解（1）得分為分是由兩個互斥事件構(gòu)成：事件“得分為分，再出現(xiàn)一次正面向上得1分”，此時得

14、分為的概率是；事件“得分為分，再出現(xiàn)一次反面向上得2分”，此時得分為的概率為（2）， 故的表達式為。五、幾何問題29.(2009南京大學)已知P為ABC內(nèi)一點，點P到三邊BC，CA，AB的距離分別為，S表示ABC的面積，求證：.解析：易知，由柯西不等式，所以，30、（2009南京大學）找出所有滿足的非直角三角形ABC.解析：在非直角三角形ABC中有：，所以，即都為整數(shù)。在中至少有兩個銳角，故中至少有兩個是正整數(shù)，不妨設(shè)，又由可知也是正整數(shù)。記，則問題等價于求方程的正整數(shù)解。不妨設(shè)，三角形最小內(nèi)角，故，即，顯然，只有時等號成立。所以符合條件的三角形的內(nèi)角按從小到大排列為。31、（2010北大）的

15、夾角為，在時取得最小值，若，求的取值范圍。解析：，。其對稱軸，因在上遞增，故。當時，由；當時，在上單調(diào)遞增，故，不合題意。所以的取值范圍是。32、（2008清華）（1）一個四面體，證明：至少存在一個頂點，從其出發(fā)的三條棱組成一個三角形；（2）四面體一個頂點處的三個角分別是，求的面和的面所成的二面角；解析：（1）假設(shè)任一頂點出發(fā)的三條棱都不能組成一個三角形，不妨設(shè)AB為最長棱，則，另一方面，在中，矛盾。所以，至少存在一個頂點，從其出發(fā)的三條棱組成一個三角形；（2）所求二面角的大小為33、（2012卓越聯(lián)盟）如圖，是的直徑，弦垂直于點，是延長線上一點，的切線，是切點，與相交于點，（）求線段的長；（

16、）連線，判斷是否平行于，并證明你的結(jié)論。（注：根據(jù)解題需要，須將圖形自行畫在大題卡上。）34、(2009清華)四面體中，求證：四面體每個面的三角形為銳角三角形；設(shè)三個面與底面所成的角分別為，求證：解析（1）易證，設(shè)，則。由三面角定理（三面角的任意兩個面角的和大于第三個面角），得，即，所以同理，所以，即每個面的三角形為銳角三角形另解：把四面體補成長方體，可證每個三角形的兩邊和大于第三邊。（2）設(shè)頂點A在底面BCD上的射影為H，由（1）知H在內(nèi)。由面積射影定理，得35、（2009南京大學）在x軸上方作圓與x軸相切，切點為，分別從點作該圓的切線BP和CP，并相交于P。設(shè)點C在BPC的角平分線上的投影

17、為Q。（1）求點P的軌跡方程，并求其橫坐標的取值范圍；（2）求點Q的軌跡方程，并求其橫坐標的取值范圍。36、（2012卓越聯(lián)盟）設(shè)拋物線的焦點是，是拋物線上互異的兩點，直線與軸不垂直，線段的垂直平分線交軸于點，記。（）證明是與的等差中項（）設(shè)，直線平行軸，且被以為直徑的動圓截得的弦長恒為定值，求直線方程。37、（201401海淀高三期末理）已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.（）求橢圓的方程；（）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關(guān)于直線對稱，并說明理由.解：（）由題意得, 由可得, 所以, 所以橢圓的方程為. （）由題意可得點,

18、所以由題意可設(shè)直線,. 設(shè)，由 得.由題意可得,即且. .因為， 所以直線關(guān)于直線對稱. 38、（201401東城高三期末理）已知橢圓上的點到其兩焦點距離之和為，且過點 （）求橢圓方程；（）為坐標原點，斜率為的直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點，若，求的面積.解（）依題意有， 故橢圓方程為 （）因為直線過右焦點，設(shè)直線的方程為 .聯(lián)立方程組消去并整理得 （*）故，又，即所以，可得，即 方程（*）可化為，由，可得 原點到直線的距離. 所以六、綜合創(chuàng)新問題39、（2013北約）已知，且 。證明：40、（201401海淀高三期末理）若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源

19、函數(shù).（）判斷下列函數(shù)：；中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）（）判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（）證明：，函數(shù)都是等比源函數(shù).解：（）都是等比源函數(shù). （）函數(shù)不是等比源函數(shù). 證明如下：假設(shè)存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，整理得， 等式兩邊同除以得.因為，所以等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，所以等式不可能成立，所以假設(shè)不成立，說明函數(shù)不是等比源函數(shù). （）法1：因為，都有，所以，數(shù)列都是以為首項公差為的等差數(shù)列.，成等比數(shù)列，因為，所以，所以，函數(shù)都是等比源函數(shù).（）法2：因為，都有，所以，數(shù)列都是以為首項公差為的等差數(shù)列.由，（其中）可得，整理得，令，則，所以，所以，數(shù)列中總存在

20、三項成等比數(shù)列.所以，函數(shù)都是等比源函數(shù).41、（201401朝陽高三期末理）已知是正數(shù)， ，(1)若成等差數(shù)列，比較與的大小；(2)若，則三個數(shù)中，哪個數(shù)最大，請說明理由；(3)若，（），且，的整數(shù)部分分別是求所有的值解：（1）由已知得=因為成等差數(shù)列，所以，則，因為，所以，即，則，即，當且僅當時等號成立（2）解法1：令，依題意，且，所以故，即；且，即所以且故三個數(shù)中，最大解法2：依題意，即因為，所以，于是，所以，因為在上為增函數(shù)，所以且故三個數(shù)中，最大 （3）依題意，的整數(shù)部分分別是，則，所以又，則的整數(shù)部分是或當時，；當時，當時，的整數(shù)部分分別是，所以，所以，解得又因為，所以此時當時，同理可得，所以，解得