微積分課件上第三章

1、一、邊際的概念一、邊際的概念二、經(jīng)濟學(xué)中常見的邊際函數(shù)二、經(jīng)濟學(xué)中常見的邊際函數(shù)五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題三、彈性的概念三、彈性的概念 第六節(jié)第六節(jié) 邊際與彈性邊際與彈性四、經(jīng)濟學(xué)中常見的彈性函數(shù)四、經(jīng)濟學(xué)中常見的彈性函數(shù) 一、 邊際的概念如如果果函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在),(00 xxx內(nèi)內(nèi)的的平平均均變變化化率率為為xy；在在0 xx 處處的的瞬瞬時時變變化化率率為為 )()()(lim0000 xfxxfxxfx ， 經(jīng)經(jīng)濟濟學(xué)學(xué)中中稱稱它它為為)(xf在在0 xx 處處的的邊邊際際函函數(shù)數(shù)值值. 定義定義1例例1解解1. 邊際成本邊際成本QQCQQCL

2、imQCLimQCQCQQ )()()()(00的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總成成本本函函數(shù)數(shù)1)邊際成本邊際成本二、 經(jīng)濟學(xué)中常見的邊際函數(shù)2)邊際平均成本：邊際平均成本：.)()()()()(2稱稱為為平平均均邊邊際際成成本本的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)平平均均成成本本QQCQCQQQCQCQC )()()()(1010QCCQCQCCQC 即即：之之和和，與與可可變變成成本本等等于于固固定定成成本本總總成成本本例例 2 2 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品生生產(chǎn)產(chǎn)Q單單位位的的總總成成本本為為12001100)(2QQC ， 求求：( (1 1) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00 0 個個單單位位的的總總成成本本和和平平均均成成本本； (

3、 (2 2) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00 0 個個單單位位到到 1 10 00 00 0 個個單單位位時時的的總總成成本本的的平平均均變變化化率率； ( (3 3) )生生產(chǎn)產(chǎn) 9 90 00 0 個個單單位位的的邊邊際際成成本本，并并解解釋釋其其經(jīng)經(jīng)濟濟意意義義. . 解解(1)生產(chǎn)生產(chǎn)900個單位時的總成本為個單位時的總成本為177512009001100)(2900 QQC平均成本為平均成本為99. 19001775)(900 QQC（2）生產(chǎn)）生產(chǎn)900個單位到個單位到1000個單位時總成本的個單位時總成本的 平均變化率為平均變化率為58. 1100177519939001000)90

4、0()1000()( CCQQC5 . 1)(900,60012002)()3(900 QQCQQQQC時時的的邊邊際際成成本本當(dāng)當(dāng)邊邊際際成成本本函函數(shù)數(shù)2. 邊際收益邊際收益定義：定義：.)()()()(00稱稱為為邊邊際際收收益益函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總收收益益函函數(shù)數(shù)QQRQQRLimQRLimQRQRQQ )()()()()()(QPQQPQRQPQPQQRQPPP ，因因此此為為價價格格，設(shè)設(shè)例例 3 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為520QP ， 其其中中P為為價價格格，Q為為銷銷售售量量，求求銷銷售售量量為為 15 個個單單位位時時的的總總收收益益，平平均均收收益益與與

5、邊邊際際收收益益并并求求銷銷售售量量從從 15 個個單單位位增增加加到到 20 個個單單位位時時收收益益的的平平均均變變化化率率 解解520)(2QQQQPR 總總收收益益為為1715255)(1515 QQQQRR平平均均收收益益255)520(1515215 QQQQR總總收收益益?zhèn)€個單單位位時時銷銷售售14)5220()(1515 QQQQR邊邊際際收收益益1352553201520)15()20(2015 RRQR化化率率為為個個單單位位時時收收益益的的平平均均變變個個單單位位增增加加到到當(dāng)當(dāng)銷銷售售量量從從解解)60(10)(2 QQePQQRQ收收益益函函數(shù)數(shù))60()2(5)(2

6、 QeQQRQ邊邊際際收收益益函函數(shù)數(shù)3. 邊際利潤邊際利潤定義：定義：.)()()()(00稱稱為為邊邊際際利利潤潤的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總利利潤潤函函數(shù)數(shù)QQLQQLLimQLLimQLQLQQ 邊際利潤表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了邊際利潤表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了Q單位產(chǎn)單位產(chǎn)品，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總利潤品，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總利潤 000)(,)()()()(,)()()(),()()(QLQCQCQCQRQCQRQLQCQRQL時時與與邊邊際際成成本本決決定定邊邊際際利利潤潤可可由由邊邊際際收收入入顯顯然然則則邊邊際際利利潤潤為為之之差差即即與與總總成成本本函函數(shù)數(shù)等等于于總總收收益益函函數(shù)數(shù)

7、數(shù)數(shù)一一般般情情況況下下，總總利利潤潤函函)()()(QCQRQL則則邊邊際際利利潤潤為為,10250)(QQL 50)20()(20 LQLQ0)25()(25 LQLQ100)35()(35 LQLQ上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月2020噸時，再增加一噸，利潤將增加噸時，再增加一噸，利潤將增加5050元，當(dāng)產(chǎn)量為每月元，當(dāng)產(chǎn)量為每月2525噸時，再增加一噸，利潤不變；當(dāng)產(chǎn)量為噸時，再增加一噸，利潤不變；當(dāng)產(chǎn)量為3535噸噸時，再增加一噸，利潤將減少時，再增加一噸，利潤將減少100100此處說明，對廠家來說，并非此處說明，對廠家來說，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤越高生產(chǎn)的產(chǎn)

8、品越多，利潤越高. .解解4. 邊際需求邊際需求定義定義( )( ).Qf PQPdPf PdQ 若是需求函數(shù)，則需求量 對價格的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù) )(1)(1QfPf顯顯然然，解解8)(4,2)(4 PPQPPdQdPPQ時時的的邊邊際際需需求求為為當(dāng)當(dāng)它的經(jīng)濟意義時價格為它的經(jīng)濟意義時價格為4時，價格上漲（或時，價格上漲（或下降）下降）1個單位，需求量將減少（或增加）個單位，需求量將減少（或增加）8個單個單位位.例例 6 6 某商品的需求函數(shù)為某商品的需求函數(shù)為275)(PPQQ ，求，求4 P 時的邊際需求，并說明經(jīng)濟意義時的邊際需求，并說明經(jīng)濟意義 1. 1. 彈性的定義彈性的定義

9、三、彈性的概念定義定義)()(limlim0000000000 xfxxfxyxyxxyyxEyExxxx 即即 .彈性函數(shù)的定義彈性函數(shù)的定義.),()(lim/lim0)(),()(00彈彈性性函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的點點彈彈性性函函數(shù)數(shù)，簡簡稱稱在在區(qū)區(qū)間間為為函函數(shù)數(shù)，則則稱稱且且可可導(dǎo)導(dǎo)，在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)一一般般的的，若若函函數(shù)數(shù)baxfyyxyyxxyxxyyExEyxfbaxfyxx 2 常見函數(shù)的彈性（常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）為常數(shù)）xxExxExxExxEaxxExaxbEaxbxfaxExbaEbaxfExaxEaxxfbaxaxExbaxEbaxxfExEcCxfxx

10、tan)(cos,cot)(sin)6(ln)ln(ln)()5(ln)()()4()()()3()()()2(0)()1( 三三角角函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性冪冪函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性線線性性函函數(shù)數(shù)的的彈彈性性常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) 3 彈性的四則運算彈性的四則運算 ExxEfExxEfExxfxfEExxEfExxEfExxfxfExfxfExxEfxfExxEfxfExxfxfE)()()()()3()()()()()2()()()()()()()()()1(2121212121221121 4 函數(shù)彈性的圖解方案函數(shù)彈性的圖解方案)22(ta

11、n)tan()( 圖圖即即上上各各點點的的切切線線斜斜率率，的的幾幾何何意意義義為為所所示示曲曲線線邊邊際際函函數(shù)數(shù)mmxfy .)(tantantantantan)(,ExEyOAABAAxfyExEyExEyxxfmmm進(jìn)進(jìn)而而就就可可得得，和和，就就可可得得夾夾角角的的切切線線和和線線段段曲曲線線作作處處對對應(yīng)應(yīng)的的彈彈性性，通通過過則則在在曲曲線線上上任任一一點點所所示示的的曲曲線線，數(shù)數(shù)如如果果我我們們知知道道了了一一條條函函則則若若考考慮慮彈彈性性的的絕絕對對值值，因因而而又又平平均均函函數(shù)數(shù)為為 m 圖圖 2 - 2)(,(xfxA)(xfy yyOxx1. 1. 需求彈性需求彈

12、性1)需求的價格彈性需求的價格彈性 需求的價格彈性是指當(dāng)價格變化一定的百分比以后引起需求的價格彈性是指當(dāng)價格變化一定的百分比以后引起的需求量的反應(yīng)程度的需求量的反應(yīng)程度.用公式表示為用公式表示為.0QPdPdQQPPQLimEpP 四、 經(jīng)濟學(xué)中常見的彈性函數(shù)注注因為需求量與價格的變化總沿著相反的方向，因為需求量與價格的變化總沿著相反的方向，需求的價格彈性算出來總是負(fù)值，為了討論方需求的價格彈性算出來總是負(fù)值，為了討論方便，取其絕對值。另外，在實際應(yīng)用中，也常便，取其絕對值。另外，在實際應(yīng)用中，也常用符號用符號 表示。表示。例例1 1解解100 dPdQ100020 QP時時，當(dāng)當(dāng).21000

13、20100 PE所所以以時時的的彈彈性性當(dāng)當(dāng)，求求某某需需求求曲曲線線為為：203000100 PPQ(一一)幾種特殊的價格彈性幾種特殊的價格彈性從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：).32(0)1(a 圖圖線線的的直直曲曲線線的的圖圖形形是是一一條條垂垂直直變變化化這這種種商商品品的的需需求求發(fā)發(fā)生生何何變變化化，其其需需求求量量都都不不沒沒有有彈彈性性，不不管管價價格格如如完完全全也也就就是是說說，這這種種商商品品需需求求的的價價格格彈彈性性等等于于).32)2(b 條條水水平平的的直直線線（圖圖種種商商品品的的需需求求曲曲線線為為一一這這就就可

14、可能能一一個個也也買買不不掉掉價價格格稍稍微微提提高高一一點點點點，把把可可以以賣賣掉掉多多少少；然然而而想想價價格格條條件件下下，有有的的少少就就大大它它表表明明商商品品在在一一定定需需求求的的價價格格彈彈性性為為無無窮窮圖圖條條雙雙曲曲線線種種商商品品的的需需求求曲曲線線是是一一同同樣樣的的百百分分比比變變化化這這百百分分比比時時，需需求求量量均均按按水水平平下下，價價格格變變動動一一個個也也就就是是說說，在在任任何何價價格格，上上各各點點的的彈彈性性均均為為單單元元彈彈性性即即需需求求曲曲線線)32(1)3(c 稱稱之之為為非非彈彈性性需需求求部部分分，需需求求曲曲線線的的稱稱之之為為彈

15、彈性性需需求求；部部分分，需需求求曲曲線線的的；，需需求求曲曲線線的的中中點點；，在在其其下下端端點點；，在在其其上上端端點點圖圖直直線線需需求求曲曲線線是是一一條條傾傾斜斜的的111)(0)()()32()4( EPMBEPAMEPMEPBEPAdPPPPOOOOQQQQMAB)(a)(b)(c)(dDDD(二二)需求彈性與總收益（市場銷售總額）的關(guān)系需求彈性與總收益（市場銷售總額）的關(guān)系 當(dāng)需求價格彈性大于當(dāng)需求價格彈性大于1時，降價增加銷售收入；時，降價增加銷售收入；當(dāng)需求價格彈性小于當(dāng)需求價格彈性小于1時，降價反而會減少銷時，降價反而會減少銷售收入售收入 此時，需求變動的幅度大與價格變

16、動的幅度，此時，需求變動的幅度大與價格變動的幅度，邊際收益小于邊際收益小于0 0，即價格上漲，總收益減少，價格，即價格上漲，總收益減少，價格下跌，總收益增加；下跌，總收益增加； 此時，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，此時，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，邊際收益大于邊際收益大于0 0，即價格上漲，總收益增加，價格，即價格上漲，總收益增加，價格下跌，總收益減少；下跌，總收益減少；當(dāng)需求價格彈性等與當(dāng)需求價格彈性等與1時，當(dāng)價格的變化時，時，當(dāng)價格的變化時，總收益不變總收益不變3. 供給彈性供給彈性定義：定義：，則則供供給給彈彈性性彈彈性性設(shè)設(shè)價價格格曲曲線線通通常常指指的的是是供供給給的的價

17、價格格)(PfQ 供給的價格彈性供給的價格彈性，式中：，式中： PPEQPdPdQE例例 8 8 觀觀察察下下列列供供給給函函數(shù)數(shù)： QPcQPbQPa43)( ;52)( ,3)( 試試判判斷斷其其供供給給彈彈性性PE大大于于，等等于于或或小小于于 1 1. . 解：解：1, 0)(PEaa故其縱軸截距1)0()(PEab，故此函數(shù)與橫軸相交1)0()(PEac，故此函數(shù)與縱軸相交解：解：PPQPdQdPEPdPdQ323, 3 故故時時當(dāng)當(dāng)3 P11933233 PE.3,327時時的的供供給給彈彈性性及及當(dāng)當(dāng)求求供供給給彈彈性性函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的供供給給函函數(shù)數(shù)例例 PPQ.收

18、收益益的的銷銷售售彈彈性性EQER4. 收益彈性收益彈性RPdPdREPER RQdQdREPER 收收益益的的價價格格彈彈性性；式式中中： EPER例例 9 9 設(shè)設(shè) P、Q、R 分別為銷售總收益，商品價格，分別為銷售總收益，商品價格，銷售量，銷售量， (1)(1)試分別找出收益的價格彈性試分別找出收益的價格彈性EPER，受益的銷售，受益的銷售彈性彈性EQER與需求的價格彈性與需求的價格彈性 的關(guān)系的關(guān)系 (2)(2)試分別解出關(guān)于價格試分別解出關(guān)于價格 P 的邊際收益的邊際收益dPdR，關(guān)于，關(guān)于需求需求 Q 的邊際收益的邊際收益dQdR與需求價格彈性與需求價格彈性 的關(guān)系的關(guān)系 EPER

19、解解故故，設(shè)設(shè),)()1(PQRPfQ )(1)()(dPdQPQQdPPQdPQPEPPQEEPER 1)(11dPdQQPdPdQQPdQPQdPdQPQdPQQEQPQEEQER)(1)()( 1111)(1 dPdQQPdQdPQPP，故故知知由由 1)1()2(EPER得得,1 dPdRPQPdPdRRPEPER)1)()1( PfQdPdR，故故又又由由 1)1(EQER得得 11 dQdRPQQdQdRRQEQER)11( PdQdR例例 9 9 假設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)假設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)XP100 ，其中，其中X X 為產(chǎn)量為產(chǎn)量( (假定等于需求量假定等于需求量) )，P P

20、為價格，求收益為價格，求收益的價格彈性的價格彈性 解：解：PPXPRPX/10)(,/100422 11010/10)/10(244244 PPPPdPPdEPER例例 10 10 某商品的需求量某商品的需求量 Q Q 關(guān)于價格關(guān)于價格 P P 的函數(shù)為的函數(shù)為275PQ (1)(1)求求 P=4P=4 時的需求的價格彈性， 并說明其經(jīng)濟意義。時的需求的價格彈性， 并說明其經(jīng)濟意義。 (2)P=4(2)P=4 時， 若價格提高時， 若價格提高 1%1%， 總收益是增加還是減少， 總收益是增加還是減少，變化百分之幾？變化百分之幾？ 解解22275275)2()1(PPPPPQPdPdQ 54.

21、04 時，時，P%54. 0)(%1 )(4增加增加，需求量減少，需求量減少下降下降價格上漲價格上漲時，時，其經(jīng)濟意義是其經(jīng)濟意義是 P解法二解法二)1()1()1( PRPQPQdPdR由由 1dPdRRPEPER即即46. 0)4(14 PEPER故故%46. 0%1時時，總總收收益益增增加加即即當(dāng)當(dāng)價價格格上上漲漲解法三解法三)11()11()11( QRQPQPdQdR由由 11 dQdRRQEQER即即)%54. 011(4 PEQER故故%46. 0)%54. 011(54. 0,%1 總總收收益益增增加加時時則則當(dāng)當(dāng)價價格格上上漲漲五小結(jié)思考題邊際的基本概念邊際的基本概念1 邊際

22、成本邊際成本2 邊際收益邊際收益3 邊際利潤邊際利潤4 邊際需求邊際需求彈性的基本概念彈性的基本概念1 需求彈性需求彈性2 供給彈性供給彈性3 收益彈性收益彈性邊際函數(shù)的計算邊際函數(shù)的計算彈性函數(shù)的計算彈性函數(shù)的計算思考題思考題解法一解法一定定義義，分分別別將將按按照照需需求求對對價價格格的的彈彈性性的函數(shù)得到的函數(shù)得到表為表為dPdQQPdPdRdQdR , dPdQQPPPdQdPQPPQdQddQdR)()11()11(bPP abpbPdQdRQQQQ )11()11(00010 babP故故)1 ()( QQdPdQQPQdPdQPQdPdR又又)1(bQ cbQbQdPdRppPP )1()1(000bcQ 10故故解法二解法二的的