線性規(guī)劃靈敏度分析

1、淮北師范大學(xué) 2011屆學(xué)士學(xué)位論文 線性規(guī)劃靈敏度分析 學(xué) 院、專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 研 究 方 向 運(yùn)籌學(xué) 學(xué) 生 姓 名 陳 紅 學(xué) 號(hào) 20071101008 指導(dǎo)教師姓名 張發(fā)明 指導(dǎo)教師職稱 副教授 2011年4月10日線性規(guī)劃的靈敏度分析 陳 紅（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，淮北，235000）摘 要本文主要從價(jià)值系數(shù)的變化，技術(shù)系數(shù)的變化，右端常數(shù)的變化以及增加新的約束條件和增加一個(gè)新變量的靈敏度這幾個(gè)方面來(lái)進(jìn)行研究；資源條件是線性規(guī)劃靈敏度分析中的主要應(yīng)用內(nèi)容，而對(duì)于資源條件的一個(gè)重要應(yīng)用是：“影子價(jià)格問(wèn)題”的實(shí)際應(yīng)用，最后簡(jiǎn)述了線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)及管理問(wèn)題上的典型

2、應(yīng)用和從求解例題的圖解法揭示了最優(yōu)解的一些重要特征。關(guān)鍵詞 單純形法，靈敏度分析，最優(yōu)解，資源條件，價(jià)值系數(shù)Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient , the variety of technology coefficient , the vari

3、ety of the resources conditionand increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical so

4、lution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources conditionin the economic management shadow price problem. Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution， re

5、sources condition，cost coefficient 目 錄 引言 1 一、價(jià)值系數(shù)的變化分析 2 二、技術(shù)系數(shù)的變化分析 5 三、右端常數(shù)的變化分析 6 四、增加新約束條件的靈敏度分析 8 五、增加一個(gè)新變量的靈敏度分析 9 六、線性規(guī)劃靈敏度分析的應(yīng)用 9 七、線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)及管理問(wèn)題上的典型應(yīng)用14 八、從求解例題的圖解法揭示了最優(yōu)解的一些重要特征16 結(jié)論17 參考文獻(xiàn)18 致謝19引言靈敏度分析是運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)比較重要的問(wèn)題，在現(xiàn)實(shí)生活中，尤其是在經(jīng)濟(jì)管理與投資中有著廣泛的應(yīng)用.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，已有不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究，本文基于已有的研究上進(jìn)行歸納總結(jié)，并在對(duì)其研究理論

6、的基礎(chǔ)上，對(duì)靈敏度分析的應(yīng)用進(jìn)行分析.在研究線性規(guī)劃的靈敏度分析之前，先了解幾個(gè)定義：定義 線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形： （） 其中為行向量，均為列向量，為矩陣；，并假設(shè)的秩為，在問(wèn)題（）中，約束方程（1.2）的系數(shù)矩陣的任意一個(gè)階滿秩子矩陣（）稱為線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基解或基.這就是說(shuō)，基矩陣是由矩陣中個(gè)線形無(wú)關(guān)的列向量組成的，不失一般性，可假設(shè)并稱為基向量，與基向量相對(duì)應(yīng)的變量稱為基變量不在中的列向量稱為非基向量，與非基變量相對(duì)應(yīng)的變量稱為非基變量，并記，則系數(shù)矩陣可以寫(xiě)成分塊形式，不失一般性 ， （1.4）將基變量和非基變量組成的向量分別記為，則向量X相應(yīng)的寫(xiě)成分塊形式 （1.5）再將（1.5）代入

7、約束方程組（1.2）中，得，由矩陣的乘法可得，又因?yàn)槭欠瞧娈惙疥?，所以存在，將上式兩邊乘以，移?xiàng)后，得現(xiàn)在可以把看作一組自由變量（又稱獨(dú)立變量），給他們?nèi)我庖唤M值，則相應(yīng)的的一組值，于是 便是約束方程組（1.2）的一個(gè)解.特別令時(shí)，則，現(xiàn)把約束方程組的這種特殊形式的解 ，稱為基本解.滿足變量非負(fù)約束條件（1.3）的基本解稱為基本可行解. 現(xiàn)在來(lái)研究線性規(guī)劃的靈敏度分析.靈敏度分析的含義是指對(duì)系統(tǒng)或事物因?yàn)橹車(chē)鷹l件變化顯示出來(lái)的敏感度.具體說(shuō)來(lái)就是要研究初始單純形表上的系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響，研究這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)原最優(yōu)基仍然是最優(yōu)的.若原最優(yōu)基不是最優(yōu)的，如何用簡(jiǎn)便的方法找到新的最優(yōu)解

8、.現(xiàn)考慮標(biāo)準(zhǔn)形線性規(guī)劃問(wèn)題：（） 當(dāng)線性規(guī)劃問(wèn)題中的一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)變化時(shí)，可以用單純形法從頭計(jì)算，看最優(yōu)解有沒(méi)有變化.但這樣做即麻煩又沒(méi)有必要，因?yàn)閱渭冃畏ǖ牡^(guò)程是從一組基向量變換為另一種基向量，每次迭代都和基變量的系數(shù)矩陣有關(guān)，表中每次迭代得到的數(shù)據(jù)只隨基向量的不同選擇而改變，因此可以把個(gè)別參數(shù)的變化直接在計(jì)算得到的最優(yōu)解的單純形表上反映出來(lái).這樣就不需要從頭計(jì)算，而直接在最優(yōu)性單純形表進(jìn)行審查，看一些數(shù)字變化后，是否仍滿足最優(yōu)性的條件，如果不滿足的話再?gòu)倪@個(gè)表開(kāi)始進(jìn)行迭代計(jì)算，求得最優(yōu)解.可按下表中的幾種情況進(jìn)行處理：原問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題結(jié)論或繼續(xù)計(jì)算的步驟可行解可行解表中的解仍是最優(yōu)解可行

9、解非可行解用單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解非可行解可行解用對(duì)偶單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解非可行解非可行解引進(jìn)人工變量，編制新的單純形表求最優(yōu)解下面就各個(gè)參數(shù)改變后的情況進(jìn)行討論：一、 價(jià)值系數(shù)的變化分析（一）非基變量的價(jià)值系數(shù)的變化若非基變量的價(jià)值系數(shù)的改變?yōu)椋瑒t變化后的檢驗(yàn)數(shù)為，0要保持原最優(yōu)基不變，即當(dāng)變化為后，最終單純形表中這個(gè)檢驗(yàn)數(shù)小于或等于零，即，因此 ，這就確定里在保持最優(yōu)解不變時(shí)非基變量的目標(biāo)函數(shù)，的變化范圍，當(dāng)超出這個(gè)范圍時(shí)，原最優(yōu)解將不是最優(yōu)解了.為了求新的最優(yōu)解，必須在原最優(yōu)單純形表的基礎(chǔ)上，繼續(xù)進(jìn)行迭代以求得新的最優(yōu)解.例1 已知線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)單純形表如下所示：（表1.1）

10、153400001001/40-13/4011/4-1420020-2101-15100-3/4111/4003/411300-13/40-11/400-1/4-1（）為保持原最優(yōu)解不變，分別求非基變量的系數(shù)的變化范圍（）當(dāng)變?yōu)?時(shí)，求新的最優(yōu)解.解 （i）由圖表可知：，于是由公式知，保持原最優(yōu)解不變，則有 ，當(dāng)，時(shí)，原最優(yōu)解不變.（ii）當(dāng)時(shí)，已經(jīng)超出了的變化范圍，最優(yōu)解發(fā)生了變化，下面來(lái)求新的最優(yōu)解.首先求出的檢驗(yàn)數(shù)：故為換入基，用新的檢驗(yàn)數(shù)代替原來(lái)的檢驗(yàn)數(shù)，其余數(shù)據(jù)不變，得到新的單純形表，并繼續(xù)迭代得：序號(hào) 5534000b 01001/40-13/4011/4-1420020-2101

11、-15100-1/4111/400-3/41 3/40-11/400-1/4-107500-31/811/8-7/8510010-1201/2-1/251750123/80-3/85/8 00-2-3/80-5/8-5/8 表（1.2）由表中可看出已得到新的最優(yōu)解及新的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值 .（二）基變量的價(jià)值系數(shù)的變化若是基變量的價(jià)值系數(shù)，因?yàn)?，?dāng)變?yōu)闀r(shí)，就引起的變化，則其中 是矩陣的第行.于是，變化后的檢驗(yàn)數(shù)為 （j = 1，2，n）若要求最優(yōu)解不變，則必須滿足 （j = 1，2，n）由此可以導(dǎo)出 當(dāng)時(shí)，有 ； 當(dāng)時(shí)，有.因此，的允許范圍是使用此公式時(shí)，首先要在最優(yōu)表上查出基變量所在行中的元素，

12、而且只取與非基變量所在列相對(duì)應(yīng)的元素，將其中的正元素放在不等式的左邊，負(fù)元素放在不等式右邊，分別求出的上下界.例2 為保持現(xiàn)有最優(yōu)解不變，分別求出例1 中基變量的變化范圍.若當(dāng)由（0，4，5）改變?yōu)椋?，6，2）時(shí)，原最優(yōu)解是否保持最優(yōu)，如果不是，該怎么辦？解 根據(jù)上述公式，利用表（1.1），為使最優(yōu)基變量不變，的變化范圍是即故當(dāng)時(shí)，原最優(yōu)解不變， 現(xiàn)在變?yōu)?，已超出了的允許變化范圍.同樣的，的允許范圍是，即故當(dāng)時(shí)，原最優(yōu)解不變，現(xiàn)在變?yōu)?，也不在的允許變化范圍內(nèi)，當(dāng)由（0，4，5）變?yōu)椋?，6，2）即變?yōu)?，變?yōu)?，都超過(guò)了它們的允許變化范圍，需要求新的最優(yōu)解.為此用變換后的代替，將表（1.

13、2）改成表1.3（I），在繼續(xù)進(jìn)行迭代求得新的最優(yōu)解，由該表知，已求得最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值.序號(hào) 1236000 0100 1/40-13/401-1/20620020-2101/402100-3/4111/400-3/41-1400-19/2019/200-3/200200-1/21-1/201-1/2063005/413/4101/400100-3/4111/400-3/41-1800-13/2-4-3/200-3/20 從價(jià)值系數(shù)的變化的分析中，現(xiàn)可以得到一個(gè)特征：最優(yōu)解對(duì)目標(biāo)函數(shù)中的價(jià)值系數(shù)的改變不十分靈敏，而對(duì)價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析的應(yīng)用意義是：企業(yè)可以在不改變資源優(yōu)化分配的前提下，

14、在一定幅度內(nèi)改變價(jià)值系數(shù)的值，來(lái)積極應(yīng)對(duì)市場(chǎng)挑戰(zhàn).二、 技術(shù)系數(shù)的變化分析由于對(duì)價(jià)值系數(shù)的分析分為基變量?jī)r(jià)值系數(shù)和非基變量?jī)r(jià)值系數(shù)，現(xiàn)也可以按這種方法把對(duì)技術(shù)系數(shù)的分析分為兩類(lèi)：（一）、非基向量列改變?yōu)?這種情況指初始表中的到數(shù)據(jù)改變?yōu)?，而第個(gè)列向量在原最終表上是非基向量.這一改變直接影響最優(yōu)單純形表上的第列數(shù)據(jù)與第個(gè)檢驗(yàn)數(shù).最終單純形表上的第j列數(shù)據(jù)變?yōu)椋碌臋z驗(yàn)數(shù)，若，則原最優(yōu)解仍是新問(wèn)題的最優(yōu)解.若，則最優(yōu)基在非退化情況下不再是最優(yōu)基.這是，應(yīng)在原來(lái)最優(yōu)單純形表的基礎(chǔ)上，換上改變后的第j列數(shù)據(jù)和，把作為換入變量，用單純形法繼續(xù)迭代.（二）、基向量列改變?yōu)檫@種情況指初始表中的列數(shù)據(jù)改變?yōu)?/p>

15、，而第個(gè)列向量在原最終表上是基向量，此時(shí)，原最優(yōu)解的可行性和最優(yōu)性都可能遭到破壞，需要重新計(jì)算.三、 右端常數(shù)的變化分析右端常數(shù)的變化在實(shí)際問(wèn)題中表明可用資源的數(shù)量發(fā)生變化.當(dāng)?shù)趥€(gè)約束方程的右端常數(shù)由原來(lái)的變?yōu)椋渌禂?shù)都不變，即初始表上新的限定向量，其中設(shè)原最優(yōu)解為，則新的最優(yōu)解為若原最優(yōu)基仍是最優(yōu)的，則新的最優(yōu)解，即其中是的第列，即故 因此，的允許變化范圍是：如果超出上述范圍，則新的解不是可行解.但由于的變化不影響檢驗(yàn)數(shù)，故仍保持檢驗(yàn)數(shù)，即 滿足對(duì)偶可行性，這時(shí)可在原最終表的基礎(chǔ)上，用對(duì)偶單純形法繼續(xù)迭代，以求出新的最優(yōu)解.一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，也可以直接計(jì)算，若有，則原最優(yōu)基仍是最優(yōu)基，但

16、最優(yōu)解和最優(yōu)值要重新計(jì)算.若不恒大于零，則原最優(yōu)基對(duì)于新問(wèn)題來(lái)說(shuō)不再是可行基，但由于所有檢驗(yàn)數(shù)，現(xiàn)行的基本解仍是對(duì)偶可行的，因此，只要把原最終表的右端列改為，就可用對(duì)偶單純形法求解新問(wèn)題.例3 線性規(guī)劃問(wèn)題分別分析在什么范圍內(nèi)變化，問(wèn)題的最優(yōu)基不變.解 先分析的變化，由公式知，使問(wèn)題最優(yōu)基不變的條件是由此推得 同理由 得，從而. 四、 增加新約束條件的靈敏度分析若在線性規(guī)劃問(wèn)題中再增加一個(gè)新的約束條件，即有，即 （4.1）其中 ，由于增加一個(gè)約束，則可行域有可能減小，但不會(huì)使可行域增大，因此，若原問(wèn)題的最優(yōu)解滿足這個(gè)新的約束，則在新問(wèn)題中仍是最優(yōu)解；若原來(lái)的最優(yōu)解不滿足這個(gè)新約束，那么現(xiàn)再來(lái)求

17、新的最優(yōu)解.設(shè)原來(lái)的最優(yōu)基為，各基向量集中于的前列，最優(yōu)解為對(duì)新增加的約束（4.1），引進(jìn)松弛變量，又因?yàn)?，則（4.1）式變成 （4.2）顯然，是約束（4.2）的基變量.增加約束后，新的基、及右端向量如下：，對(duì)于新增加約束后的新問(wèn)題，在現(xiàn)行基下對(duì)應(yīng)變量，的檢驗(yàn)數(shù)是：它與不增加約束時(shí)相同.又因?yàn)槭腔兞?，?因此，現(xiàn)行的基本解是對(duì)偶可行的，現(xiàn)行基本解是：，若，則現(xiàn)行的對(duì)偶可行的基本解是新問(wèn)題的可行解，即最優(yōu)解.若，則在原來(lái)最終解的基礎(chǔ)上增加新約束（4.2）的數(shù)據(jù)，通過(guò)矩陣的初等行變換，把原最終表上的各基向量列及新增列化為單位陣，再用對(duì)偶單純形法繼續(xù)求解.五、 增加一個(gè)新變量的靈敏度分析假設(shè)要增加

18、一個(gè)非負(fù)的新變量，其相應(yīng)的系數(shù)列向量為，價(jià)值系數(shù)為.又知原問(wèn)題的最優(yōu)解是，顯然，增加這個(gè)新變量，對(duì)原最優(yōu)解的可行性沒(méi)有影響.現(xiàn)計(jì)算新的檢驗(yàn)數(shù)若，則原最優(yōu)解是新問(wèn)題的最優(yōu)解；若則原最優(yōu)解不再是最優(yōu)解.這時(shí)，把加入到原最終表內(nèi)，并以新變量作為換入變量，按單純形法繼續(xù)迭代，即可得到新的最優(yōu)解.六、線性規(guī)劃靈敏度分析的應(yīng)用線性規(guī)劃靈敏度分析的應(yīng)用主要是資源條件的應(yīng)用，而對(duì)資源條件的分析的一個(gè)重要應(yīng)用是：“影子價(jià)格問(wèn)題”定義 設(shè)線性規(guī)劃對(duì)偶問(wèn)題 （） （） 右端常數(shù)表示第種資源的現(xiàn)有量下面討論增加個(gè)單位時(shí)所引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的變化.設(shè)是問(wèn)題（）的最優(yōu)基，則，當(dāng)變?yōu)闀r(shí)（其余右端常數(shù)不變，并假設(shè)這種變化不

19、影響最優(yōu)基）目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值變?yōu)?，于是目?biāo)函數(shù)最優(yōu)值的改變量為，由上式可以看出的意義，它表示當(dāng)右端常數(shù)增加個(gè)單位時(shí)所引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的改變量，也可以寫(xiě)成，即表示對(duì)的變化率.在一對(duì)對(duì)偶問(wèn)題（）和（）中，若（）的某個(gè)約束條件的右端常數(shù)增加個(gè)單位時(shí)所引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的改變量稱為第個(gè)約束條件的影子價(jià)格，又稱邊際價(jià)格.由定義可知，影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義是在其它條件不變的情況下，單位資源變化所引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的變化，即對(duì)偶變量就是第個(gè)約束條件的影子價(jià)格.影子價(jià)格是針對(duì)某一具體的約束條件而言的.而問(wèn)題中所有其它數(shù)據(jù)保持不變，因此影子價(jià)格也可以理解為目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值對(duì)資源的一階偏導(dǎo)數(shù).影子價(jià)格又稱靈敏度系

20、數(shù)，通常指線性規(guī)劃對(duì)偶模型中對(duì)偶變量的最優(yōu)解.如果原規(guī)劃模型屬于一定資源約束條件下，按一定的生產(chǎn)消耗生產(chǎn)一組產(chǎn)品并需求總體效益目標(biāo)最大化問(wèn)題，那么其對(duì)偶模型屬于對(duì)本問(wèn)題中每一資源以某種方式進(jìn)行估價(jià)，以便得出與最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃相一致的一個(gè)企業(yè)最低總價(jià)值.該對(duì)偶模型中資源的估價(jià)表現(xiàn)為相應(yīng)資源的影子價(jià)格.影子價(jià)格在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用很多，下面就下面這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析：影子價(jià)格指示企業(yè)內(nèi)部挖掘潛力的方向.設(shè)線性規(guī)劃模型（）：存在最優(yōu)解.對(duì)（）標(biāo)準(zhǔn)化后，得： 其中，0是m維行向量， 為單位陣.因?yàn)樵O(shè)（）有最優(yōu)解，故由線性規(guī)劃單純形法求解，可得最優(yōu)基，最優(yōu)解為： ，并可設(shè)所以可令，即 因此，有 （6.1）再令，由

21、單純形法最優(yōu)原則可知： （6.2）即因此，有 （6.3）而由（6.2），（6.3）及線性規(guī)劃的對(duì)偶結(jié)構(gòu)可知：是對(duì)偶問(wèn)題的可行解.再由（6.1）及對(duì)偶定理可知：是對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解.可見(jiàn)，最優(yōu)解的不起作用約束的影子價(jià)格為零.反之就是，若影子價(jià)格，則對(duì)應(yīng)的是的起作用約束.因此，影子價(jià)格表示第種資源未得到充分利用；而則表示第種資源已得到充分利用.影子價(jià)格直接應(yīng)用到企業(yè)資源最有效的部門(mén)中去.當(dāng)影子價(jià)格大于資源的市場(chǎng)價(jià)格時(shí)，企業(yè)應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種產(chǎn)品，使利潤(rùn)增加；當(dāng)當(dāng)影子價(jià)格小于資源的市場(chǎng)價(jià)格時(shí)出現(xiàn)多做多賠的情形，應(yīng)出售這種資源.大公司還可借助資源的影子價(jià)格確定一些內(nèi)部結(jié)算價(jià)格，以便控制有限資源的使用和考核下屬企

22、業(yè)經(jīng)營(yíng)的好壞.又如在社會(huì)上對(duì)一些緊缺資源，借助影子價(jià)格規(guī)定使用這種資源企業(yè)必須上繳的利潤(rùn)額，以控制企業(yè)自覺(jué)地節(jié)約使用緊缺資源，使有限資源發(fā)揮更大經(jīng)濟(jì)效益.“影子價(jià)格問(wèn)題”：影子價(jià)格 設(shè)線性規(guī)劃模型（） 有最優(yōu)解，最優(yōu)解為則可令則必有和 存在最優(yōu)解.對(duì)（）標(biāo)準(zhǔn)化后，得 其中（為松弛變量，是維列變量），,這里是維行向量，而為單位陣.因?yàn)樵O(shè)（）有最優(yōu)解，故由線性規(guī)劃單純形法求解，可得最優(yōu)基可行解，最優(yōu)解為： 并可設(shè) ，所以可令 ，即，因此有 （6.4）再令 由單純形法最優(yōu)準(zhǔn)則可知      （6.5）即 因此有 (6.6)而由(6.5)和(6.6)，由線性規(guī)劃

23、的對(duì)偶規(guī)劃結(jié)構(gòu)可知：是對(duì)偶規(guī)劃的可行解，再由(6.4)，以及對(duì)偶定理可知：是對(duì)偶規(guī)劃的最優(yōu)解.）稱為第種資源的影子價(jià)格，為影子價(jià)格向量.表示，第種資源對(duì)最優(yōu)值的邊際貢獻(xiàn). 從線性規(guī)劃對(duì)偶理論易見(jiàn)，影子價(jià)格就是對(duì)偶規(guī)劃的最優(yōu)解.而由前述對(duì)資源條件的靈敏度分析可知，對(duì)于最優(yōu)解 的不起作用約束而言，若此約束的資源條件在靈敏度范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，則最優(yōu)值不變，所以可見(jiàn)，最優(yōu)解的不起作用約束的影子價(jià)格為零。反之而言就是，若影子價(jià)格，則對(duì)應(yīng)的是的起作用約束。因此，影子價(jià)格表示第種資源未得到充分利用；而則表示第種資源已得到完全利用影子價(jià)格直接應(yīng)用到企業(yè)資源的最有效利用中去.當(dāng)影子價(jià)格大于資源的市場(chǎng)價(jià)格時(shí)，企業(yè)應(yīng)購(gòu)

24、進(jìn)這種產(chǎn)品，使利潤(rùn)增加；當(dāng)影子價(jià)格小于市場(chǎng)價(jià)格時(shí)，出現(xiàn)多做多賠的情形，應(yīng)出售這種資源.大公司還可借助資源的影子價(jià)格確定一些內(nèi)部結(jié)算價(jià)格，以便控制有限資源的使用和考核下屬企業(yè)經(jīng)營(yíng)的好壞.又如在社會(huì)上對(duì)一些緊缺資源，借助影子價(jià)格規(guī)定使用這種資源單位必須上繳的利潤(rùn)額，以控制企業(yè)自覺(jué)地節(jié)約使用緊缺資源，使有限資源發(fā)揮更大經(jīng)濟(jì)效益.七、線性規(guī)劃靈敏度分析在經(jīng)濟(jì)與管理問(wèn)題上的典型應(yīng)用一般應(yīng)用問(wèn)題的線性規(guī)劃模型為：                   

25、;     其中 ,    線性規(guī)劃的靈敏度分析有兩個(gè)主要方面：     第一、對(duì)價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析 在資源條件不變的前提下，問(wèn)最優(yōu)解保持不變時(shí)，每個(gè)價(jià)值系數(shù)可以變動(dòng)的范圍.    第二、對(duì)資源條件的靈敏度分析 在價(jià)值系數(shù)不變的前提下，問(wèn)最優(yōu)解保持不變時(shí)，每個(gè)資源條件可以變動(dòng)的范圍.線性規(guī)劃的靈敏度分析有重要的經(jīng)濟(jì)與管理的應(yīng)用背景，現(xiàn)通過(guò)一個(gè)例子來(lái)了解有關(guān)的概念.現(xiàn)來(lái)考慮公司的例子. 公司在一周內(nèi)只生產(chǎn)兩種產(chǎn)品：產(chǎn)品和.產(chǎn)品和產(chǎn)品由多種材料混合生成，這些

26、材料都從倉(cāng)庫(kù)中提取.可供一周使用的三種原料數(shù)量如下： 原料1        原料2 原料3     產(chǎn)品由的原料1和的原料2制成,產(chǎn)品由的原料1，的原料2和的原料3制成. 產(chǎn)品的邊際貢獻(xiàn)率為每公斤25元，產(chǎn)品的邊際貢獻(xiàn)率為每公斤10元.管理部門(mén)必須決定每種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少公斤，使得在原料供應(yīng)計(jì)劃下產(chǎn)品的總貢獻(xiàn)最大.這個(gè)決策問(wèn)題的線性規(guī)劃模型為：           貢獻(xiàn)=25+10  &#

27、160;         其中 ，    應(yīng)用圖解法解此線性規(guī)劃問(wèn)題，可見(jiàn)下圖 ：                    (圖1.0)本例的最優(yōu)解為：，八、從求解例題的圖解法揭示了最優(yōu)解的一些重要特征特征1 最優(yōu)解對(duì)目標(biāo)函數(shù)中的價(jià)值系數(shù)（）的改變不是十分靈敏以上例來(lái)說(shuō)，對(duì)于公司，在保持（，）仍為最優(yōu)解的前提下

28、，如果現(xiàn)增加產(chǎn)品的貢獻(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)的斜率會(huì)變得越來(lái)越?。繕?biāo)函數(shù)線變得更加垂直）.（圖1.0）表明，最終目標(biāo)函數(shù)將會(huì)達(dá)到一個(gè)與約束條件2平行的斜率.那時(shí)，最優(yōu)解即是包括從當(dāng)前頂點(diǎn)到頂點(diǎn)（，）的線段上的所有點(diǎn).運(yùn)用下面的代數(shù)方法，現(xiàn)能計(jì)算出這時(shí)的單位貢獻(xiàn)為每公斤40元 (元)現(xiàn)可得到結(jié)論：若的單位貢獻(xiàn)為美元到美元之間（B的單位貢獻(xiàn)保持10美元不變），產(chǎn)生最大貢獻(xiàn)的最優(yōu)解始終是生產(chǎn)的產(chǎn)品和產(chǎn)品.注意如果產(chǎn)品的單位貢獻(xiàn)恰好增加至美元，不僅頂點(diǎn)（，）和（，）為最優(yōu)解，在約束條件2上連接這兩點(diǎn)的線段上的所有點(diǎn)也都為最優(yōu)解，即：有無(wú)窮多最優(yōu)解.(圖1.0)說(shuō)明系數(shù)的靈敏度分析的應(yīng)用意義是：企業(yè)可以在不改變資源優(yōu)化分配的前提下，在一定的幅度內(nèi)改變價(jià)值系數(shù)的值，來(lái)積極對(duì)市場(chǎng)挑戰(zhàn).特征2 對(duì)于一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，最優(yōu)解有兩種類(lèi)型的約束條件：起作用約束和不起作用約束最優(yōu)解的起作用的約束是指線性規(guī)劃的約束方程中，使最優(yōu)解以等式方式滿足的約束方程，也稱為最優(yōu)解的緊約束.在圖形上，