第三章抽樣分布

1、12組成元素組成元素具體對象具體對象組成元素組成元素變量的具體變量的具體取值取值研究的標(biāo)志研究的標(biāo)志例：例：1000個零件的直徑個零件的直徑1000個零件的集合個零件的集合組成元素：每個零件組成元素：每個零件零件直徑的集合零件直徑的集合組成元素：直徑觀測值組成元素：直徑觀測值統(tǒng)計統(tǒng)計推斷推斷中的中的總體總體及總及總體分體分布布第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本3對一個總體而言，個體的取值是按一定規(guī)律分布的。任取一個零件，其直徑取值是按一定概率分布的。 對某個總體而言，總對應(yīng)著一個隨機(jī)變量X X，總體分布就是指隨機(jī)變量的概率分布。 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中“總體”這個基本概念從本質(zhì)上講：總體就是一個隨機(jī)變量X

2、X。對總體的研究, ,就是對相應(yīng)的隨機(jī)變量X X的研究。4例：質(zhì)量檢查，例：質(zhì)量檢查，0 0表示正品，表示正品，1 1表示次品，出現(xiàn)次表示次品，出現(xiàn)次品的概率為品的概率為p p，則總體由，則總體由0 0，1 1構(gòu)成，這一總體對應(yīng)構(gòu)成，這一總體對應(yīng)一個參數(shù)為一個參數(shù)為p p的（的（0-10-1）分布的隨機(jī)變量，即）分布的隨機(jī)變量，即1()(1)xxP Xxpp0,1x 5總體：總體：研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)值的全體。研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)值的全體。個體：個體：組成總體的每一個基本元素。組成總體的每一個基本元素。例如例如: 某工廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命的全體是一個總體某工廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命的全體是

3、一個總體。每一個燈泡的使用壽命是一個個體。每一個燈泡的使用壽命是一個個體。每個男生的身高是一個個體。每個男生的身高是一個個體。 我校男生的身高的全體是一個總體。我校男生的身高的全體是一個總體?？傮w所含個體的數(shù)目稱為總體容量總體所含個體的數(shù)目稱為總體容量.總體總體6 樣本：樣本：通過隨機(jī)觀測或試驗的方法，獲得的總體中一部分通過隨機(jī)觀測或試驗的方法，獲得的總體中一部分個體，稱為樣本，每個個體稱為樣本單位。個體，稱為樣本，每個個體稱為樣本單位。就是從總體中抽取有限個個體對總體進(jìn)行觀測的過就是從總體中抽取有限個個體對總體進(jìn)行觀測的過程。程。隨機(jī)變量確定的數(shù)值樣本樣本7在相同的條件下對總體在相同的條件下

4、對總體X進(jìn)行進(jìn)行n次重復(fù)獨立的觀察。將次重復(fù)獨立的觀察。將n次觀次觀察結(jié)果按試驗的次序記為察結(jié)果按試驗的次序記為X1， X2， Xn 。 由于由于X1， X2， Xn 是對隨機(jī)變量是對隨機(jī)變量X觀察的結(jié)果，且各次觀觀察的結(jié)果，且各次觀察是在相同的條件下獨立進(jìn)行的，所以有理由認(rèn)為察是在相同的條件下獨立進(jìn)行的，所以有理由認(rèn)為X1， X2， Xn是是相互獨立的相互獨立的，且都是與總體，且都是與總體X具有具有相同分布的相同分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量。 這樣得到的這樣得到的X1， X2， Xn 稱為來自總體稱為來自總體X的一個簡單隨機(jī)的一個簡單隨機(jī)樣本，樣本，n為這個樣本的容量。為這個樣本的容量。8第一、

5、樣本點與總體同分布（第一、樣本點與總體同分布（“樣本與總體同分布樣本與總體同分布”） 第二、樣本點之間相互獨立（簡稱第二、樣本點之間相互獨立（簡稱“樣本獨立樣本獨立”） 兩個性質(zhì)常常合稱為兩個性質(zhì)常常合稱為 “ “樣本獨立同分布”。滿。滿足上述性質(zhì)的樣本為簡單隨機(jī)樣本。足上述性質(zhì)的樣本為簡單隨機(jī)樣本。樣本的兩個重要性質(zhì)樣本的兩個重要性質(zhì)9 n次觀察一經(jīng)完成，我們就得到一組實數(shù)次觀察一經(jīng)完成，我們就得到一組實數(shù)x1， x2， xn ，它們依次是隨機(jī)變量，它們依次是隨機(jī)變量X1， X2， Xn的觀察值，稱為樣本觀測值。的觀察值，稱為樣本觀測值。10簡單隨機(jī)抽樣和簡單隨機(jī)樣本的性質(zhì)簡單隨機(jī)抽樣和簡單

6、隨機(jī)樣本的性質(zhì)不放回不放回放放 回回放回放回不放不放 回回獨立性和同一性獨立性和同一性不獨立不獨立當(dāng)當(dāng)n/N5%時，有限總時，有限總體不放回抽體不放回抽樣等同于放樣等同于放回抽樣回抽樣抽樣方式抽樣方式11 樣本包含了總體的各種特征信息樣本包含了總體的各種特征信息, ,是進(jìn)行統(tǒng)計推是進(jìn)行統(tǒng)計推斷的依據(jù)。這些信息是斷的依據(jù)。這些信息是“散布散布”在樣本之中的。在在樣本之中的。在實際應(yīng)用時實際應(yīng)用時, ,要從中得到所需要的統(tǒng)計信息要從中得到所需要的統(tǒng)計信息, ,往往不往往不是直接使用樣本本身是直接使用樣本本身, ,而是對樣本進(jìn)行而是對樣本進(jìn)行“處理處理”, ,將將所需信息濃縮集中起來針對不同的問題，

7、構(gòu)造樣本所需信息濃縮集中起來針對不同的問題，構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)的適當(dāng)函數(shù)統(tǒng)計量進(jìn)行統(tǒng)計推斷。進(jìn)行統(tǒng)計推斷。12 如果樣本如果樣本X1， ，Xn的函數(shù)的函數(shù)g=g(X1， ，Xn)不含未不含未知參數(shù)，則稱知參數(shù)，則稱g(X1， ，Xn)是一個是一個統(tǒng)計量統(tǒng)計量。 是是g(X1， ，Xn)的的觀測值觀測值12( ,.,)ng x xx 如果如果x1， ，xn是對應(yīng)于樣本是對應(yīng)于樣本X1， ，Xn的樣本值，的樣本值，則稱：則稱： 一、一、 統(tǒng)計量統(tǒng)計量13總體參數(shù)總體參數(shù)未知未知總體其他信息總體其他信息未知未知總體分布總體分布未知未知抽樣得到隨機(jī)樣本抽樣得到隨機(jī)樣本利用統(tǒng)計量推斷總體信息利用統(tǒng)計量推

8、斷總體信息樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量g=g(X1,X2,Xn)兩個要點：兩個要點：1、是樣本的函數(shù)、是樣本的函數(shù) 2、不含未知的參數(shù)、不含未知的參數(shù).樣本樣本X1,X2,Xn 在統(tǒng)計推斷中，一項重要的工作就是尋找統(tǒng)在統(tǒng)計推斷中，一項重要的工作就是尋找統(tǒng)計量和導(dǎo)出統(tǒng)計量的分布。計量和導(dǎo)出統(tǒng)計量的分布。14nikinikiXXnXn11)(11中心矩原點矩3.樣本k階矩niiXnX11. 1 樣本均值常用統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量2122)()(11. 2SSXXnSnii標(biāo)準(zhǔn)差樣本均方差樣本方差15總體X的K階原點矩和K階中心矩分別為 E（Xk）(k=1，2，) 和 E（X- E（Xk） ）k） (k=2，3，

9、) 總體的一階原點矩即為總體的均值，總體的二階中心矩總體的一階原點矩即為總體的均值，總體的二階中心矩即為總體的方差。即為總體的方差。16 例設(shè)一個總體含有4個個體，即總體單位數(shù)N=4，其 取 值 分 別 為 X1= 2 2 、X2=24、X3=26 、X4=28 。25X 總體的均值、方差：總體的均值、方差：52二、幾種常用的抽樣分布二、幾種常用的抽樣分布 樣本統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布，即由樣本統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布，即由樣本統(tǒng)計量的全部可能取值和與之相應(yīng)的概樣本統(tǒng)計量的全部可能取值和與之相應(yīng)的概率（頻率）組成的分配數(shù)列。率（頻率）組成的分配數(shù)列。17 現(xiàn)從總體中抽取現(xiàn)從總體中抽取n2的簡單

10、隨機(jī)樣本，重復(fù)抽樣條件的簡單隨機(jī)樣本，重復(fù)抽樣條件下，共有下，共有42=16個可能樣本。所有可能樣本的結(jié)果列表如個可能樣本。所有可能樣本的結(jié)果列表如下，試分析樣本均值的分布。下，試分析樣本均值的分布。DD(28)DC(27)DB(26)DA(25)D（28）CD(27)CC(26)CB(25)CA(24)C（26）BD(26)BC(25)BB(24)BA(23)B（24）AD(25)AC(24)AB(23)AA(22)A（22）D（28）C（26）B（24）A（22）第二個第二個樣本單位樣本單位第一個第一個樣本單位樣本單位所有可能樣本及其樣本均值（所有可能樣本及其樣本均值（ n = 2）18

11、將表中樣本的均值的各種可能取將表中樣本的均值的各種可能取值及其可能性（概率）加以整理，值及其可能性（概率）加以整理，繪制成分布表和分布圖如下：繪制成分布表和分布圖如下：1合計1/16282/16273/16264/16253/16242/16231/1622概率均值 樣本均值的抽樣分布圖樣本均值的抽樣分布圖19 樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值；樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值；樣本均值的方差等于總體方差的樣本均值的方差等于總體方差的1/n。251612816223161221MiiipxxXfxxiiix25)2528(2)2523(1252216116122271220事實上，

12、對于來自均值和方差分別為事實上，對于來自均值和方差分別為 和和 的總體的一個簡單隨機(jī)樣本的總體的一個簡單隨機(jī)樣本X1， X2， Xn ，其樣本均值的數(shù)字期望和，其樣本均值的數(shù)字期望和 方差分別為方差分別為 和和 。一般稱一般稱 為樣本均值的抽樣誤差。為樣本均值的抽樣誤差。2xnx22nx21 的抽樣分布與總體分布和樣本量的抽樣分布與總體分布和樣本量n有關(guān)：有關(guān)： 總體是正態(tài)分布，樣本均值總是正態(tài)分布總體是正態(tài)分布，樣本均值總是正態(tài)分布 總體非正態(tài)分布，隨著總體非正態(tài)分布，隨著n的增大，樣本均值趨于正態(tài)分布的增大，樣本均值趨于正態(tài)分布x22 xn 中心極限定理(central limit the

13、orem) x 23中心極限定理 (central limit theorem)x24 式中式中 為實數(shù)為實數(shù), 0 .則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 2的的正態(tài)分正態(tài)分布布,亦稱高斯分布亦稱高斯分布.記為記為N( , 2).可表為可表為XN( , 2). 圖象見右上角圖象見右上角若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布 xexfx其中222)(21)(1. 1. 定義定義x)(xf025 (1) 單峰對稱單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線密度曲線關(guān)于直線x= 對稱對稱f()maxf(x)21正態(tài)分布有兩個特性正態(tài)分布有兩個特性：(2) 的大小直接影響概率的大小直接影

14、響概率的分布的分布 越大越大,曲線越平坦曲線越平坦; 越小越小,曲線越陡峻曲線越陡峻.21x)(xf0 x)(xf02246)5/3 , 4(N) 1 , 4(N)5/7 , 4(N26標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 參數(shù)參數(shù) 0， 21的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作分布，記作ZN(0, 1)。其其密度函數(shù)密度函數(shù)為為)(21)(22xexxx)(x02424分布函數(shù)為密度函數(shù)的積分分布函數(shù)為密度函數(shù)的積分27分布函數(shù)為分布函數(shù)為xdtexXPxxt,)(2212(1) (0)=0.5(2) (+)1；(3) (x)1 (x).x一般的概率統(tǒng)計教科書均附有一般的概率統(tǒng)計教科書

15、均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱 (x)的值的值.(附表附表1)如如,若若XN（0,1), (0.5)=0.6915,P1.32X2.43= (2.43)- (1.32)=0.99250.9066例題：課本例題：課本74頁頁2221)(xexf0)(xf28 2分布 t 分布F分布 在在參數(shù)估計和假設(shè)檢驗等統(tǒng)計推斷問題中這參數(shù)估計和假設(shè)檢驗等統(tǒng)計推斷問題中這三個分布有廣泛的應(yīng)用。三個分布有廣泛的應(yīng)用。 29定義定義 設(shè)設(shè)X為一個連續(xù)型隨機(jī)變量為一個連續(xù)型隨機(jī)變量, f(x)為其密度函數(shù)為其密度函數(shù), 對于對于給定的正數(shù)給定的正數(shù) 稱滿足條件(01),的點 為X的 分位數(shù)分

16、位數(shù) (簡稱為分位點).()( )xP Xxf x dx ( )f xx黃色陰影部黃色陰影部分概率為分概率為()( )1xP Xxf x dx 上側(cè)分上側(cè)分位數(shù)位數(shù) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分位數(shù)也叫分位點的分位數(shù)也叫分位點, 是表示隨機(jī)變量是表示隨機(jī)變量X的位置的位置特征特征302221nXX22( )n21. 2分布的定義和密度函數(shù)分布的定義和密度函數(shù) 設(shè)設(shè)X1， ，Xn是相互獨立，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是相互獨立，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量：的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度是所服從的分布為自由度是n的的 分布，即分布，即2221( )niiXn記為記為31

17、獨立同分布的隨機(jī)變量序列獨立同分布的隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布新構(gòu)造的隨機(jī)變量為原隨機(jī)變量平方和新構(gòu)造的隨機(jī)變量為原隨機(jī)變量平方和分布的三個要點：分布的三個要點：232/211222( /2),0( )0,0nnxnxexf xx 2 2(n)分布是參數(shù)為分布是參數(shù)為n/2,1/2的的分布，即分布，即 2 2(n)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為33 2分布分布隨著自由度隨著自由度增加，分布漸近于正態(tài)。增加，分布漸近于正態(tài)。圖圖 2的概率密度曲線的概率密度曲線342(0,1), 0,1, 1iiiiXNEXDXEXniEXEXDXiii, 2 , 1, 213)(22

18、4222211().nniiiiEEXEXn.2)(12122nDXXDDniinii證：所以：（1）nE)(2nD2)(22.2. 2 2分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)3522221122(),(),nn)(2122221nn （2）分布可加性）分布可加性 且且2212，獨立，則：獨立，則：36 (3)(3)上側(cè)分位數(shù)上側(cè)分位數(shù) 所謂一個分布的所謂一個分布的 上側(cè)分位數(shù)就是指這樣一個數(shù)，上側(cè)分位數(shù)就是指這樣一個數(shù)，它使相應(yīng)分布的隨機(jī)變量不小于它使相應(yīng)分布的隨機(jī)變量不小于( (大于等于）大于等于）該數(shù)的該數(shù)的概率為概率為 , ,比如，若記比如，若記 2 2變量的變量的 上側(cè)分位數(shù)為上側(cè)分位數(shù)為 ，則，則

19、滿足滿足查表查表313313頁附表頁附表3 3 2 20.9950.995（1111）=2.603=2.603 2 20.010.01（1313）=27.688=27.688222()pd37附表3中給出了自由度n45的2分布的上 分位數(shù)值.如對于0.1,25n 查附表3得20.1(25)34.382 方便通過EXCEL查分位點，函數(shù)為CHIINV。fx 常用函數(shù) CHIINV381. t t分布的定義和密度函數(shù)分布的定義和密度函數(shù)).(/ntnYXT t(n)稱為自由度為稱為自由度為n的的t分布，記為分布，記為Tt(n)。（二）（二） t 分布分布t(n) 分布的概率密度為分布的概率密度為

20、t,)nt1()2n(n)21n() t ( f21n2定義定義:若若X XN(0, 1), N(0, 1), Y Y 2 2(n), (n), X X與與Y Y獨立，則獨立，則39 t t分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，他們都是對稱分布。分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，他們都是對稱分布。區(qū)別：區(qū)別：t t分布尾部厚，即服從分布的隨機(jī)變量取到尾部值的概分布尾部厚，即服從分布的隨機(jī)變量取到尾部值的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布略大。而對于接近原點的坐標(biāo)點，率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布略大。而對于接近原點的坐標(biāo)點，t t分布分布的值比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值小。的值比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值小。因而因而t t分布曲線尾部厚于標(biāo)準(zhǔn)分布曲線尾部厚于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

21、分布，而峰低于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。正態(tài)分布，而峰低于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。40 (1) (1) f(t)關(guān)于關(guān)于t=0(t=0(縱軸縱軸) )對稱。對稱。 (2) (2) f(t)的極限為的極限為N(0N(0，1)1)的密度函數(shù)，即的密度函數(shù)，即 x,e21) t () t ( flim2tn2，41分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量分母是自由度為分母是自由度為n的卡方隨機(jī)變量的卡方隨機(jī)變量分子分母相互獨立，且滿足構(gòu)造公式分子分母相互獨立，且滿足構(gòu)造公式t分布的三個要點：分布的三個要點：分子：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量分子：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量分母：卡方變量除以自由分母：卡方變量除以自由度再開方度再開方42)(

22、) 10(nttP，稱滿足條件：對于給定的( )tnt的點為 分的上布分位點 。)()(1ntnt：由概率密度的對稱性知.)(45zntn時，當(dāng))(nt)(1nt2.43附表2中給出了自由度n45時,當(dāng)?shù)?t 分布的上 分位數(shù)值; 如對于0.05，n20查附表2得可以通過可以通過EXCEL查分位點，函數(shù)為查分位點，函數(shù)為TINV。（注意：（注意：雙側(cè)，雙側(cè)，20.050.1）T0.05（20）1.724744定義定義:若若U 2(n1)， V 2(n2)，U和和 V獨立，則獨立，則).,(/2121nnFnVnUF 稱為第一自由度為稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為，第二自由度為n2的的F分

23、布分布,其概其概率密度函數(shù)為率密度函數(shù)為 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/ )nn(2122n12n2/n2121211111. F分布的定義和密度函數(shù)分布的定義和密度函數(shù)45分子是自由度為分子是自由度為n1的卡方隨機(jī)變量的卡方隨機(jī)變量分母是自由度為分母是自由度為n2的卡方隨機(jī)變量的卡方隨機(jī)變量分子分母相互獨立，且滿足構(gòu)造公式分子分母相互獨立，且滿足構(gòu)造公式F分布的三個要點：分布的三個要點：兩個卡分變量兩個卡分變量除以自由度之比除以自由度之比4647).,(/1),( F1221nnFFnnF則若),(/1),(12211nnFnnF性質(zhì)：),() 1

24、0(21nnFFP，稱滿足條件：對于給定的12( ,)Fn nF的點為 分的上布分位點),(21nnF2.F2.F分布的分布的上側(cè)臨界值上側(cè)臨界值48 對某些較小的附表4中給出了自由度為( n1, n2 )的F 分布的上 分位數(shù)值。如對于查附表5得0.1(5,15)2.27F 方便通過方便通過EXCEL查分位點，函數(shù)為查分位點，函數(shù)為FINV。1551 . 021nn49 由于由于F分布表的局限性，我們不能用直接查表得到此題的分布表的局限性，我們不能用直接查表得到此題的下側(cè)分位點。怎么辦呢？下側(cè)分位點。怎么辦呢？11( , )( , )FnmF m n( ,)( ,)( ) 上側(cè)：Fn mP

25、FF n mf x dx 1( ,)10( ,)( ) 下側(cè)：Fn mP FFn mf x dx 給定顯著水平給定顯著水平 0.05，查，查F(15,20)的的 上下側(cè)分位點。上下側(cè)分位點。50多么方便?。《嗝捶奖惆。XCEL處理處理51例例715. 4)6 , 8(05. 0F28. 058. 31)8 , 6(1)6 , 8(05. 095. 0FF96. 2)7 , 4(1 . 0F25. 098. 31)4 , 7(1)7 , 4(1 . 09 . 0FF例例8?)6 , 8(95. 0F?)7 , 4(9 . 0F52 （1 1）設(shè)設(shè)X X1 1, X, X2 2,X,Xn n是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體的