第4章4.14.2比熱的聲子模型

1、第四章第四章 晶格振動和固體熱性質(zhì)晶格振動和固體熱性質(zhì) 第二章第二章 化學(xué)鍵和晶體形成化學(xué)鍵和晶體形成第一章第一章 緒論緒論第三章第三章 固體結(jié)構(gòu)和固體結(jié)構(gòu)和X X射線衍射線衍射射第五章第五章 固體電子理論固體電子理論第六章第六章 晶體中電子的輸運(yùn)性質(zhì)晶體中電子的輸運(yùn)性質(zhì)第七章第七章 晶體中的缺陷與擴(kuò)散晶體中的缺陷與擴(kuò)散本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 基于聲子模型，解釋固體的熱、聲性質(zhì)基于聲子模型，解釋固體的熱、聲性質(zhì)4.2 4.2 愛因斯坦聲子模型愛因斯坦聲子模型4.3 4.3 德拜聲子模型德拜聲子模型4.3 4.3 晶格動力學(xué)晶格動力學(xué)4.4 4.4 聲子能譜的中子衍射測定聲子能譜的中子衍射

2、測定4.5 4.5 熱膨脹和熱傳導(dǎo)熱膨脹和熱傳導(dǎo)略略4.1 4.1 熱現(xiàn)象與熱物理發(fā)展熱現(xiàn)象與熱物理發(fā)展4.1 4.1 熱現(xiàn)象與熱物理發(fā)展熱現(xiàn)象與熱物理發(fā)展 古希臘的四元素說古希臘的四元素說 伽利略、托里切利：測定溫度的溫度計伽利略、托里切利：測定溫度的溫度計 18401840年，年，焦耳定律焦耳定律：P=IP=I2 2R R；18471847年，熱功當(dāng)量系年，熱功當(dāng)量系數(shù)：數(shù)：1 cal=4.18J1 cal=4.18J 熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律：能量守恒：能量守恒 熱力學(xué)第二定律熱力學(xué)第二定律：熱永遠(yuǎn)都只能由熱處轉(zhuǎn)到冷處，：熱永遠(yuǎn)都只能由熱處轉(zhuǎn)到冷處，為物理現(xiàn)象設(shè)定了時間箭頭。為物理現(xiàn)

3、象設(shè)定了時間箭頭。 玻耳茲曼統(tǒng)計熱物理：玻耳茲曼統(tǒng)計熱物理：建立了宏觀物理量建立了宏觀物理量- -熵與微熵與微觀狀態(tài)的幾率之間的聯(lián)系。觀狀態(tài)的幾率之間的聯(lián)系。 量子物理：量子物理：普朗克提出電磁波的能量必須以普朗克提出電磁波的能量必須以h h 為量子，用為量子，用玻耳茲曼統(tǒng)計原理玻耳茲曼統(tǒng)計原理統(tǒng)一了黑體輻射公式。統(tǒng)一了黑體輻射公式。 19071907年，根據(jù)普朗克的輻射振子統(tǒng)計的年，根據(jù)普朗克的輻射振子統(tǒng)計的愛因斯坦聲子模型愛因斯坦聲子模型，定量解釋了固體比熱容與溫度的關(guān)系。定量解釋了固體比熱容與溫度的關(guān)系。 19111911年，修正了愛因斯坦聲子模型的年，修正了愛因斯坦聲子模型的德拜模型德

4、拜模型，彌補(bǔ)其在，彌補(bǔ)其在低溫情形的不足。得到極低溫下固體比熱容的低溫情形的不足。得到極低溫下固體比熱容的T T3 3定律（能定律（能斯特低溫試驗證實）斯特低溫試驗證實） 聲學(xué)方面，聲學(xué)方面，1912-19131912-1913年，波恩、馮年，波恩、馮. .卡門用卡門用分析力學(xué)分析力學(xué)推導(dǎo)推導(dǎo)計算了固體原子的色散關(guān)系計算了固體原子的色散關(guān)系- -聲子能譜；聲子能譜； 19511951年，布洛克豪斯的年，布洛克豪斯的中子非彈性衍射實驗中子非彈性衍射實驗可測聲子能譜。可測聲子能譜。理論解釋：有波恩、黃昆的理論解釋：有波恩、黃昆的晶格動力學(xué)晶格動力學(xué)。4.2 4.2 晶體比熱規(guī)律的經(jīng)典理論和量子理論

5、解釋晶體比熱規(guī)律的經(jīng)典理論和量子理論解釋4.2.1 4.2.1 定容比熱的定容比熱的定義：定義：VVTEC E-晶體的平均內(nèi)能晶體的平均內(nèi)能eVaVVCCC 晶格振動比熱晶格振動比熱晶體電子比熱晶體電子比熱aVVCC e通常情況下，通常情況下， 本節(jié)本節(jié)只討論晶格振動比熱只討論晶格振動比熱。晶體比熱的實驗規(guī)律晶體比熱的實驗規(guī)律 (1) (1)在高溫時，晶體的比熱為在高溫時，晶體的比熱為3 3NkNkB B( (N N為晶體中原子的個數(shù)為晶體中原子的個數(shù)) ) (2) (2)在低溫時，晶體的比熱按在低溫時，晶體的比熱按T T3 3趨于零。趨于零。玻爾茲曼常玻爾茲曼常數(shù)數(shù)k kB B=1.38=1

6、.38 1010-23-23J J K K-1-14.2.2 4.2.2 杜隆杜隆- -珀替定律珀替定律 根據(jù)能量均分定理，每一個自由度的平均能量是根據(jù)能量均分定理，每一個自由度的平均能量是k kB BT T, ,若晶若晶體有體有N N個原子，則總自由度為：個原子，則總自由度為：3 3N N。 故故TNkEB3 VVTEC B3Nk 但是，低溫時經(jīng)典理論不再適用。金剛石、石墨晶體室溫但是，低溫時經(jīng)典理論不再適用。金剛石、石墨晶體室溫時的比熱容也與預(yù)測不符合。時的比熱容也與預(yù)測不符合。 1820 1820年，杜隆年，杜隆- -珀替預(yù)測比熱是一個珀替預(yù)測比熱是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)與溫度無關(guān)的常數(shù)5

7、.96 cal/(mol5.96 cal/(molK)K)。經(jīng)典理論用氣體分子運(yùn)動論進(jìn)行解釋：經(jīng)典理論用氣體分子運(yùn)動論進(jìn)行解釋：4.2.3 4.2.3 晶格振動的量子理論解釋晶格振動的量子理論解釋 晶格振動的量子理論，可以很好地解釋低晶格振動的量子理論，可以很好地解釋低溫時的固體比熱容問題。其簡化模型有溫時的固體比熱容問題。其簡化模型有愛因斯愛因斯坦模型和德拜模型。坦模型和德拜模型。愛因斯坦模型：愛因斯坦模型：假定所有振動模頻率相等，聲假定所有振動模頻率相等，聲子能量分立，可定性解釋低溫比熱趨近于零的子能量分立，可定性解釋低溫比熱趨近于零的問題，但定量上不正確；問題，但定量上不正確；德拜模型：

8、德拜模型：以連續(xù)介質(zhì)中的彈性波代替晶體中以連續(xù)介質(zhì)中的彈性波代替晶體中的格波，在低溫下很好地解釋實驗給出的的格波，在低溫下很好地解釋實驗給出的T T3 3規(guī)規(guī)律。律。 晶格晶格振動振動格波格波簡諧簡諧近似近似獨立的振動獨立的振動模式模式由玻恩由玻恩- -卡門卡門邊界條件邊界條件分立分立值值聲子聲子晶格振動能量晶格振動能量量子化量子化受普朗克對能量量子化的啟發(fā)，愛因斯坦首先對原子振動的受普朗克對能量量子化的啟發(fā)，愛因斯坦首先對原子振動的能量進(jìn)行量子化，得到準(zhǔn)粒子能量進(jìn)行量子化，得到準(zhǔn)粒子-聲子。聲子。晶格振動的能量量子晶格振動的能量量子-聲子。聲子。 聲子聲子不是真實的粒子，稱為不是真實的粒子，

9、稱為“準(zhǔn)粒子準(zhǔn)粒子”，它反映的是晶格原，它反映的是晶格原子集體運(yùn)動狀態(tài)的激發(fā)單元。子集體運(yùn)動狀態(tài)的激發(fā)單元。1.1.聲子是晶格振動的能量量子，其能量為聲子是晶格振動的能量量子，其能量為： 2. 2.一個格波一個格波( (一種振動模式一種振動模式) )，稱為一種聲子，稱為一種聲子( (一個一個 就是一就是一種聲子種聲子) )，當(dāng)這種振動模式處于，當(dāng)這種振動模式處于 本征態(tài)時，稱為本征態(tài)時，稱為有有n ni i個聲子，個聲子，n ni i為這種聲子的聲子數(shù)為這種聲子的聲子數(shù)。iin 21 3. 3.由于晶體中可以激發(fā)任意個相同聲子，由于晶體中可以激發(fā)任意個相同聲子，聲子遵循玻色統(tǒng)計聲子遵循玻色統(tǒng)計

10、（針對整數(shù)自旋基本粒子的量子統(tǒng)計）。（針對整數(shù)自旋基本粒子的量子統(tǒng)計）。1e1B Tkiin 聲子遵循的規(guī)則如下：聲子遵循的規(guī)則如下： 4. 4.電子電子( (或光子或光子) )與晶格振動相互作用時，交換能量以與晶格振動相互作用時，交換能量以 為單位為單位，若電子從晶格獲得，若電子從晶格獲得 能量，稱為吸收一個聲子，能量，稱為吸收一個聲子，若電子給晶格若電子給晶格 能量，稱為發(fā)射一個聲子。能量，稱為發(fā)射一個聲子。 5.5.在簡諧近似下，聲子間無相互作用在簡諧近似下，聲子間無相互作用。而非簡諧作用可以而非簡諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，保證了聲子氣體能夠達(dá)到熱平衡狀引入聲子間的相互碰撞，保證了

11、聲子氣體能夠達(dá)到熱平衡狀態(tài)。態(tài)。 1905年的5篇論文：u 關(guān)于分子運(yùn)動論分子運(yùn)動論（布朗運(yùn)動）的研究（博士論文）。u 提出光子光子概念u 狹義相對論狹義相對論：分別引入力學(xué)和電磁學(xué)必須遵從的極限速度c，和提出質(zhì)能關(guān)系E=mc2，解釋輻射能量來源。 1907年，提出聲子聲子概念來解釋比熱容，獲得1921年諾貝爾物理學(xué)獎。 1912年，提出光化學(xué)基本定律光化學(xué)基本定律。 1913-1916年，發(fā)展了廣義相對論廣義相對論（物質(zhì)引起空間曲率變化，引力將對空間形狀和時間流動產(chǎn)生影響） 1917年，從宇宙靜態(tài)模型到“新宇宙學(xué)新宇宙學(xué)”宇宙大爆炸理論。 1917年，提出自發(fā)輻射以外，還有受激發(fā)射受激發(fā)射激

12、光的基礎(chǔ)理論。4.3 4.3 愛因斯坦聲子模型愛因斯坦聲子模型愛因斯坦的貢獻(xiàn)愛因斯坦的貢獻(xiàn)(1)(1)晶體中原子振動的能量是相互獨立的，所有原子都具晶體中原子振動的能量是相互獨立的，所有原子都具有同一頻率有同一頻率 ，E=nE=nh h ；(2)(2)系統(tǒng)服從基本統(tǒng)計物理原理系統(tǒng)服從基本統(tǒng)計物理原理- -玻耳茲曼原理。玻耳茲曼原理。1.模型模型1907年，根據(jù)普朗克的熱輻射振子統(tǒng)計和光子概念，年，根據(jù)普朗克的熱輻射振子統(tǒng)計和光子概念，愛因愛因斯坦提出聲子模型斯坦提出聲子模型，定量解釋了固體比熱容與溫度的關(guān)系。，定量解釋了固體比熱容與溫度的關(guān)系。愛因斯坦聲子模型愛因斯坦聲子模型 晶體可以看成是一

13、個熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下，晶格中晶體可以看成是一個熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下，晶格中原子的熱振動可以看成是相互獨立的簡諧振動。原子的熱振動可以看成是相互獨立的簡諧振動。據(jù)量子力學(xué)，據(jù)量子力學(xué)，每個諧振子的能量都是量子化的。每個諧振子的能量都是量子化的。iiinE 21第第i i個諧振子的個諧振子的能量為：能量為： 其中，其中，n ni i是是頻率為頻率為 i i的諧振子的平均聲子數(shù)，符合的諧振子的平均聲子數(shù)，符合玻色玻色- -愛因斯坦統(tǒng)計愛因斯坦統(tǒng)計規(guī)律：規(guī)律：1e1B Tkiin iTkiiiE 211eB 第第i i個諧振子的個諧振子的能量為：能量為：2.計算 由由N N個原子組成的晶體中

14、包含個原子組成的晶體中包含3 3N N個簡諧振動，總振動能為個簡諧振動，總振動能為 211e3BTkN NiiinE3121 （4-4）2B2B1ee3BB TkNkTkTk TECV TkfNkBB3根據(jù)固體比熱容的定義：根據(jù)固體比熱容的定義： 通常用通常用愛因斯坦溫度愛因斯坦溫度 E代替頻率代替頻率 ，定義為，定義為 E= /kB ，22E1ee3EETTBVTNkC其中，愛因斯坦比熱函數(shù)：其中，愛因斯坦比熱函數(shù)：愛因斯坦溫度愛因斯坦溫度 E如何確定呢？如何確定呢？ 選取合適的選取合適的 E值，可使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，值，可使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與試驗數(shù)據(jù)符合得

15、相當(dāng)好。理論曲線與試驗數(shù)據(jù)符合得相當(dāng)好。對于大多數(shù)固體材料，對于大多數(shù)固體材料， E在在100300k的范圍內(nèi)。的范圍內(nèi)。（4-5）221ee)(TTfETTEEE22EE1eeEE TTTTf 12212EE2E TTT 高溫情況，當(dāng)高溫情況，當(dāng)T E時，時，(1)2222EEEEEeeee TTTTT ! 3! 21e32xxxx2EE2E)21()21(1 TTT 3.高、低溫極限討論B3NkCV因此因此 杜隆杜隆-珀替定律珀替定律（4-6）TTTTTTfEEEe1ee2E22EE(2) 低溫情況，當(dāng)?shù)蜏厍闆r，當(dāng)T D時，時，x11 xxTTfTxxd1ee34023DDD xxTTxxdee13402223DD 3.高低溫極限情況討論1d22134023DDxxxxTT ! 3! 21e32x