兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)寧鄉(xiāng)縣第四高級(jí)中學(xué) 肖利華一、教學(xué)內(nèi)容解析 三角恒等變換處于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)和交匯點(diǎn)上，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力的重要素材兩角差的余弦公式是三角恒等變換這一章的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn) 由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，我們可以在獲得其中一個(gè)公式的基礎(chǔ)上，通過(guò)角的變換得到另一個(gè)公式我們可以用“隨機(jī)、自然進(jìn)入”的方式選擇其中的一個(gè)作為突破口教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，其基本出發(fā)點(diǎn)是使公式的證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)潔明了，易于學(xué)生理解和掌握，同時(shí)也有利于提高學(xué)生運(yùn)用向量解決相關(guān)

2、問(wèn)題的意識(shí)和能力 教材沒(méi)有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果、證明結(jié)果兩步進(jìn)行探究，并從簡(jiǎn)單情況入手得出結(jié)果這樣的安排不僅使探究更加真實(shí)，也有利于學(xué)生學(xué)會(huì)探究、思維發(fā)展 由于本節(jié)課可以從不同的角度提出不同的問(wèn)題，并且可以用不同的途徑與方法解決問(wèn)題，因此本節(jié)課為學(xué)生的思維發(fā)展提供了很好的空間和平臺(tái)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生用觀察、聯(lián)想、對(duì)比、化歸等方法分析、處理問(wèn)題，尋找解決問(wèn)題的思路 二、教學(xué)目標(biāo)解析 1掌握兩角差的余弦公式，并能簡(jiǎn)單運(yùn)用這個(gè)公式求解教材上的練習(xí)和習(xí)題 2全體學(xué)生能理解“探求結(jié)果，證明結(jié)果”這一常用的探究的步驟；多數(shù)學(xué)生能在兩角

3、差余弦公式的探究過(guò)程中體會(huì)以退求進(jìn)、割補(bǔ)思想、分類(lèi)討論、觀察聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法和思維方法，能體會(huì)到數(shù)學(xué)思維的合理性與條理性 3能理解怎樣運(yùn)用向量解決問(wèn)題，充分認(rèn)識(shí)和感受向量的工具價(jià)值；課堂上能樂(lè)于思考和主動(dòng)探究，并有愉悅的情感體驗(yàn) 三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析 1按常規(guī)，學(xué)生很可能想到先探究?jī)山呛偷恼夜?，怎樣想到先研究?jī)山遣畹挠嘞夜绞且粋€(gè)難點(diǎn)(但非重點(diǎn))，教學(xué)時(shí)可以直接提出研究?jī)山遣畹挠嘞夜?，但這樣探究會(huì)顯得預(yù)設(shè)太多，而生成不足，也不夠自然，不利于學(xué)生思維的發(fā)展 2兩角和正弦余弦公式的猜想與發(fā)現(xiàn)也是一個(gè)難點(diǎn)因?yàn)閷W(xué)生可能不明白為什么要添輔助線和如何添輔助線

4、，也不會(huì)想到用“割補(bǔ)法”求正弦線、余弦線 3盡管教材在前面的習(xí)題中，已經(jīng)為用向量法證明兩角差的余弦公式做了鋪墊，但多數(shù)學(xué)生仍難以想到教師需要在引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察cos(+）=coscossinsin或cos(）=coscos+sinsin的構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，聯(lián)想到單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)和向量的數(shù)量積公式，努力使數(shù)學(xué)思維顯得自然、合理 4用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式時(shí)，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、不嚴(yán)密的錯(cuò)誤，教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚兩角差與相應(yīng)向量的夾角的聯(lián)系與區(qū)別 四、教學(xué)支持條件分析   1學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生對(duì)用舉反例推翻猜想、以

5、退求進(jìn)、單位圓、割補(bǔ)法、用向量解決三角問(wèn)題已經(jīng)有一定的基礎(chǔ)，但還遠(yuǎn)未達(dá)到綜合運(yùn)用這些方法自主探究和證明兩角差余弦公式的水平 2教學(xué)設(shè)備：整節(jié)課借助多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)，但關(guān)鍵的探究過(guò)程和推理過(guò)程要借助黑板在當(dāng)、+都是銳角時(shí)得到兩角和的正弦、余弦公式后，設(shè)計(jì)多媒體軟件取任意角進(jìn)行驗(yàn)證 五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) (一)提出問(wèn)題        問(wèn)題1：觀察誘導(dǎo)公式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角變成+或者+時(shí)，其正弦、余弦的三角函數(shù)值都與角的正弦、余弦有關(guān)，那大家有沒(méi)有想過(guò)當(dāng)角變成或者+時(shí)，其正弦、余弦與、的正弦、余弦又有怎

6、樣的聯(lián)系呢？  設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從聯(lián)系的角度與變換的角度自然地提出接近研究水平的問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)不直接提出先研究cos(-)，是為了使探究更真實(shí)、更自然；不用教材上的實(shí)際問(wèn)題情境而改為開(kāi)門(mén)見(jiàn)山直奔主題，是為了不讓學(xué)生在情境的理解上花過(guò)多的時(shí)間，同時(shí)離本節(jié)課的主題更近 (二)探究問(wèn)題 1明確探究的思路與步驟 問(wèn)題2：我們應(yīng)該用怎樣的思路和方法進(jìn)行探究？  學(xué)生可能會(huì)說(shuō)：把探究分為兩個(gè)步驟，一是探求表示結(jié)果；二是對(duì)結(jié)果的正確性加以證明 設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生搞清楚探究的大背景、大思路，學(xué)會(huì)從宏觀到微觀、理性地、有條理地思考和探

7、究問(wèn)題，避免盲目性 2猜想結(jié)果 問(wèn)題3：同學(xué)們第一反應(yīng)這個(gè)結(jié)果可能是什么？ 如果有學(xué)生提出sin(+)=sin+sin，cos(+)=cos+cos，則引導(dǎo)學(xué)生取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)分析錯(cuò)誤的原因：正弦、余弦函數(shù)名與角之間并不是相乘關(guān)系，因此類(lèi)比乘法分配律在思維方法上是錯(cuò)誤的 設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生體驗(yàn)如何用反例進(jìn)行反駁，同時(shí)搞清錯(cuò)誤的原因，避免以后犯類(lèi)似的錯(cuò)誤 問(wèn)題4：對(duì)這個(gè)問(wèn)題，老師也曾猜想， ,其中都是常數(shù)但最后發(fā)現(xiàn)都不成立那我們?cè)撛趺崔k呢？ 引導(dǎo)學(xué)生以退求進(jìn)，先討論、+都是銳角的情況 設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的猜想與探究意識(shí)，

8、同時(shí)讓學(xué)生感受或?qū)W會(huì)思維受阻時(shí)如何“拐彎” 問(wèn)題5：當(dāng)、+都是銳角時(shí)，我們又該怎么辦？ 引導(dǎo)學(xué)生在直角三角形或單位圓中構(gòu)造這些角進(jìn)行討論 問(wèn)題6：怎樣用、的三角函數(shù)來(lái)表示sin(+)，cos(+)? 引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造如下直角三角形，并用割、補(bǔ)的方法得到 sin(+)=sincos+cossin， cos(+)=coscossinsin   設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生感受如何化陌生問(wèn)題為熟悉問(wèn)題，如何通過(guò)作輔助線，用“割補(bǔ)法”尋找量與量之間的聯(lián)系 問(wèn)題7：那上面兩個(gè)式子是否對(duì)任意角、都成立呢？ 引導(dǎo)學(xué)生

9、再用非銳角的特殊角或任意角進(jìn)行驗(yàn)證，而教師借助事先設(shè)計(jì)的多媒體軟件，由學(xué)生提出任意角進(jìn)行驗(yàn)證 3證明結(jié)果 問(wèn)題8：數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑪?shù)學(xué)結(jié)論必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯證明現(xiàn)在初步結(jié)果已經(jīng)出來(lái)，目標(biāo)和方向已經(jīng)明確請(qǐng)大家仔細(xì)觀察上面兩式的構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特征，看看從中會(huì)得到什么樣的啟發(fā)？產(chǎn)生怎樣的聯(lián)想？或有什么新的發(fā)現(xiàn)？ 設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生通過(guò)觀察，聯(lián)想到,終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A(cos,sin),B(cos,sin),同時(shí)發(fā)現(xiàn)的右邊與向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)表示十分相近，進(jìn)而聯(lián)想到= 這樣有助于強(qiáng)化“為什么想到”和“怎樣想到”，凸顯數(shù)學(xué)思維的自然性與合理性，并突破思維難點(diǎn)

10、，同時(shí)再現(xiàn)“有心栽花花不開(kāi)，無(wú)心插柳柳成蔭”這種真實(shí)的探究過(guò)程  問(wèn)題9：如何證明？ 設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)向量的夾角與是的聯(lián)系與區(qū)別，并通過(guò)觀察和討論搞清楚，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的方法解決問(wèn)題的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性 問(wèn)題10：時(shí)間關(guān)系，我們把兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式的證明與探究留給大家課外去完成剛才我們經(jīng)歷了完整、曲折的探索過(guò)程，回顧來(lái)看，大家有什么啟發(fā)和感悟？教材為什么要先提出求cos(-)？ 設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從探究思路、數(shù)學(xué)思想方法、所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)等方面進(jìn)行回顧與反思，強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)展，突出向量的工具價(jià)值 

11、;問(wèn)題11：兩角差的余弦公式有什么特點(diǎn)： 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式的特點(diǎn)：左邊是兩角差的余弦，右邊同名三角函數(shù)的積的和 (三)鞏固應(yīng)用 例1 利用差角余弦公式求cos15°的值 引導(dǎo)學(xué)生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°兩種方法求解 鞏固練習(xí)求值： (1)cos15°cos105°+sin15°sin105°=          

12、(2)cos(+21°)cos(-24°)+sin(+21°)sin(-24°)=          例2 已知是第三象限角，求cos(-)的值 設(shè)計(jì)說(shuō)明如果學(xué)生基礎(chǔ)比較好，這兩個(gè)例題可以讓學(xué)生獨(dú)立完成同時(shí)在完成例2后提出，如果去掉這一條件，又該怎么辦？ (四)回顧小結(jié) 1學(xué)生小結(jié)： 引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)到了什么知識(shí)、怎么獲得這些知識(shí)和有什么感悟與體會(huì)三方面進(jìn)行小結(jié) 2教師小結(jié)： (1)本節(jié)課所走過(guò)的路： (2)兩位數(shù)學(xué)大家的名言很好地概括了本節(jié)課的探究思路與學(xué)習(xí)感悟： G·波利亞：“在你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你必須猜想到這個(gè)定理；在你搞清證明細(xì)節(jié)之前，你必須猜想出證明的主導(dǎo)思想” 高斯所說(shuō)：“一個(gè)人在無(wú)結(jié)果地深思一個(gè)真理后能夠用迂回的方法證明它，并且最后找到了它的最簡(jiǎn)明而又最自然的證法，那是極其令人高興