高中數(shù)學(xué)條件概率中的一題多解

1、條件概率中的一題多解條件概率是概率的一個(gè)難點(diǎn)，首先，“在某事件A發(fā)生的前提下事件B發(fā)生的概率”經(jīng)常容易和“事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率”混淆；其次，在解決條件概率問(wèn)題時(shí)采取方法的不同會(huì)直接導(dǎo)致解決問(wèn)題的難易程度不同。這就要求同學(xué)們熟練掌握解決條件概率問(wèn)題的各種方法，因題而異，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?我們看下面這個(gè)例子：例：一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，那么 （1）先摸出1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？ （2）先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？法一：利用古典概型的特點(diǎn)求出各事件發(fā)生的基本事件數(shù)，然后用比例求解。解：（1）設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事件A，“再摸出1個(gè)白

2、球”為事件B，“先后兩次摸到白球”為事件。則A=（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，白1），（白2，黑1），（白2，黑2），事件A的基本事件數(shù)為6；=（白1，白2），（白2，白1），事件的基本事件個(gè)數(shù)為2。（2）設(shè)“先摸出1個(gè)白球放回”為事件，“再摸出1個(gè)白球”為事件，“先后兩次摸到白球”為事件。則=（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑1），（白2，黑2），事件A的基本事件數(shù)為8；=（白1，白2），（白2，白1），（白1，白1），（白2，白2），事件的基本事件個(gè)數(shù)為4。法二：利用條件概率公式直接求解。（1

3、）設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事件A，“再摸出1個(gè)白球”為事件B，“先后兩次摸到白球”為事件。，。（2）設(shè)“先摸出1個(gè)白球放回”為事件，“再摸出1個(gè)白球”為事件，“先后兩次摸到白球”為事件。，。法三：通過(guò)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)解決問(wèn)題。解：（1）摸出1個(gè)白球之后不放回，問(wèn)題就變成了“從1個(gè)白球和2個(gè)黑球中摸出1個(gè)白球的概率是多少？”顯然，。（2）摸出1個(gè)白球放回后，問(wèn)題就變成了“從2個(gè)白球和2個(gè)黑球中摸出1個(gè)白球的概率是多少？”顯然，。綜上來(lái)看上面幾種方法，法二是課本上給出的方法，比較“正規(guī)”，但相比法一，多求了總的基本事件空間的基本事件數(shù)，實(shí)際問(wèn)題解決中可省略；（理論依據(jù)：，n直接就約掉了，對(duì)結(jié)果無(wú)任何

4、影響）而對(duì)于法一來(lái)講，若事件較簡(jiǎn)單，可直接列出基本事件空間，數(shù)數(shù)基本事件的個(gè)數(shù)，若事件比較復(fù)雜，可通過(guò)排列組合方法求出基本事件空間的基本事件個(gè)數(shù)。這種方法在實(shí)際問(wèn)題中比較通用；三種方法相比較，對(duì)此題而言，顯然第三種方法最簡(jiǎn)單，前提是“題意不亂，思緒容易理清”。下面我們把上面的例子中的數(shù)據(jù)稍作修改，再來(lái)感受一下這三種方法。變式：一袋中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球，那么（1）依次取出3個(gè)球不放回，已知第一次取出的是白球，則第三次取到黑球的概率是多少？（2）有放回地依次取出3球，已知第一次取出的是白球，則第三次取到黑球的概率是多少？法一：解：（1）設(shè)“第一次取到白球不放回”為事件A，“第三次取到黑球”為事件

5、B，“第一次取到白球不放回并且第三次取到黑球”為事件。則A事件發(fā)生的基本事件數(shù)為；事件發(fā)生的基本事件數(shù)為（分白，白，黑和白，黑，黑兩種情況）或（先考慮第一次和第三次的，最后考慮第二次的）。（2）設(shè)“第一次取到白球放回”為事件，“第三次取到黑球”為事件，“第一次取到白球放回并且第三次取到黑球”為事件。則事件發(fā)生的基本事件數(shù)為；事件發(fā)生的基本事件數(shù)為（先考慮第一次和第三次的，最后考慮第二次的）。法二：解：所有設(shè)法與法一一致。（1）總的基本事件數(shù)為，。（2）總的基本事件數(shù)為，。法三：解：（1）第一次取到白球不放回，問(wèn)題就變?yōu)椤皬?個(gè)黑球和3個(gè)白球中不放回地連續(xù)取2次球，第二次取到黑球的概率是多少？”。（2）第一次取到白球放回，問(wèn)題就變?yōu)椤皬?個(gè)黑球和4個(gè)白球中有放回地連續(xù)取2次球，第二次取到黑球的概率是多少？”。另解：（2）中每次取之前袋中的球的情況不變，則每次