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1、條件概率中的一題多解條件概率是概率的一個(gè)難點(diǎn),首先,“在某事件A發(fā)生的前提下事件B發(fā)生的概率”經(jīng)常容易和“事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率”混淆;其次,在解決條件概率問(wèn)題時(shí)采取方法的不同會(huì)直接導(dǎo)致解決問(wèn)題的難易程度不同。這就要求同學(xué)們熟練掌握解決條件概率問(wèn)題的各種方法,因題而異,選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?我們看下面這個(gè)例子:例:一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,那么 (1)先摸出1個(gè)白球不放回,再摸出1個(gè)白球的概率是多少? (2)先摸出1個(gè)白球后放回,再摸出1個(gè)白球的概率是多少?法一:利用古典概型的特點(diǎn)求出各事件發(fā)生的基本事件數(shù),然后用比例求解。解:(1)設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事件A,“再摸出1個(gè)白
2、球”為事件B,“先后兩次摸到白球”為事件。則A=(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白2,白1),(白2,黑1),(白2,黑2),事件A的基本事件數(shù)為6;=(白1,白2),(白2,白1),事件的基本事件個(gè)數(shù)為2。(2)設(shè)“先摸出1個(gè)白球放回”為事件,“再摸出1個(gè)白球”為事件,“先后兩次摸到白球”為事件。則=(白1,白1),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白2,白1),(白2,白2),(白2,黑1),(白2,黑2),事件A的基本事件數(shù)為8;=(白1,白2),(白2,白1),(白1,白1),(白2,白2),事件的基本事件個(gè)數(shù)為4。法二:利用條件概率公式直接求解。(1
3、)設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事件A,“再摸出1個(gè)白球”為事件B,“先后兩次摸到白球”為事件。,。(2)設(shè)“先摸出1個(gè)白球放回”為事件,“再摸出1個(gè)白球”為事件,“先后兩次摸到白球”為事件。,。法三:通過(guò)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)解決問(wèn)題。解:(1)摸出1個(gè)白球之后不放回,問(wèn)題就變成了“從1個(gè)白球和2個(gè)黑球中摸出1個(gè)白球的概率是多少?”顯然,。(2)摸出1個(gè)白球放回后,問(wèn)題就變成了“從2個(gè)白球和2個(gè)黑球中摸出1個(gè)白球的概率是多少?”顯然,。綜上來(lái)看上面幾種方法,法二是課本上給出的方法,比較“正規(guī)”,但相比法一,多求了總的基本事件空間的基本事件數(shù),實(shí)際問(wèn)題解決中可省略;(理論依據(jù):,n直接就約掉了,對(duì)結(jié)果無(wú)任何
4、影響)而對(duì)于法一來(lái)講,若事件較簡(jiǎn)單,可直接列出基本事件空間,數(shù)數(shù)基本事件的個(gè)數(shù),若事件比較復(fù)雜,可通過(guò)排列組合方法求出基本事件空間的基本事件個(gè)數(shù)。這種方法在實(shí)際問(wèn)題中比較通用;三種方法相比較,對(duì)此題而言,顯然第三種方法最簡(jiǎn)單,前提是“題意不亂,思緒容易理清”。下面我們把上面的例子中的數(shù)據(jù)稍作修改,再來(lái)感受一下這三種方法。變式:一袋中有6個(gè)黑球,4個(gè)白球,那么(1)依次取出3個(gè)球不放回,已知第一次取出的是白球,則第三次取到黑球的概率是多少?(2)有放回地依次取出3球,已知第一次取出的是白球,則第三次取到黑球的概率是多少?法一:解:(1)設(shè)“第一次取到白球不放回”為事件A,“第三次取到黑球”為事件
5、B,“第一次取到白球不放回并且第三次取到黑球”為事件。則A事件發(fā)生的基本事件數(shù)為;事件發(fā)生的基本事件數(shù)為(分白,白,黑和白,黑,黑兩種情況)或(先考慮第一次和第三次的,最后考慮第二次的)。(2)設(shè)“第一次取到白球放回”為事件,“第三次取到黑球”為事件,“第一次取到白球放回并且第三次取到黑球”為事件。則事件發(fā)生的基本事件數(shù)為;事件發(fā)生的基本事件數(shù)為(先考慮第一次和第三次的,最后考慮第二次的)。法二:解:所有設(shè)法與法一一致。(1)總的基本事件數(shù)為,。(2)總的基本事件數(shù)為,。法三:解:(1)第一次取到白球不放回,問(wèn)題就變?yōu)椤皬?個(gè)黑球和3個(gè)白球中不放回地連續(xù)取2次球,第二次取到黑球的概率是多少?”。(2)第一次取到白球放回,問(wèn)題就變?yōu)椤皬?個(gè)黑球和4個(gè)白球中有放回地連續(xù)取2次球,第二次取到黑球的概率是多少?”。另解:(2)中每次取之前袋中的球的情況不變,則每次
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