直角三角形勾股定理課件

1、勾股定理與它的逆定理的證明勾股定理與它的逆定理的證明教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：1進(jìn)一步掌握推理的方法，發(fā)展演繹推進(jìn)一步掌握推理的方法，發(fā)展演繹推理能力。理能力。2了解勾股定理及其逆定理的證明方法。了解勾股定理及其逆定理的證明方法。3靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理。靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理。勾股定理w如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為，斜邊為c，那么那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理（拉斯定理（pythagoras theore

2、m）.acb勾弦股我們?cè)?jīng)利用什么方法得到勾股定理？我們?cè)?jīng)利用什么方法得到勾股定理？勾股定理的證明勾股定理的證明l方法一方法一: 拼圖計(jì)算拼圖計(jì)算l方法二方法二：割補(bǔ)法：割補(bǔ)法l方法三方法三：趙爽的弦圖：趙爽的弦圖l方法四方法四：總統(tǒng)證法：總統(tǒng)證法l方法五方法五：青朱出入圖：青朱出入圖l方法六方法六：折紙法：折紙法l方法七方法七：拼圖計(jì)算：拼圖計(jì)算這些證法你還能記得多少這些證法你還能記得多少?你最喜歡哪種證法你最喜歡哪種證法?ABC圖1-2448方法一：數(shù)方格方法一：數(shù)方格方法二：拼接圖形證明方法二：拼接圖形證明將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖正方形將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖正方形 拼接圖

3、形證明二拼接圖形證明二(趙爽弦圖）趙爽弦圖）總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法l這個(gè)證明方法出自一位總統(tǒng)這個(gè)證明方法出自一位總統(tǒng), 1881年，伽菲爾德年，伽菲爾德(J.A. Garfield )就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)就任美國(guó)第二十任總統(tǒng),在在 1876 , 利用了梯形面積利用了梯形面積公式。公式。l圖中三個(gè)三角形面積的和是圖中三個(gè)三角形面積的和是l2ab/2c/2;梯形面積為梯形面積為(a+b)(a+b)/2;l比較可得比較可得:c2 = a2+b2 。人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)總統(tǒng)”證法。證

4、法。 勾股定理不只是數(shù)學(xué)家愛好，還有達(dá)芬奇畫家證法等等。勾股定理不只是數(shù)學(xué)家愛好，還有達(dá)芬奇畫家證法等等。ababcc方法四：歐幾里得證明方法方法四：歐幾里得證明方法（課本（課本2020頁(yè)頁(yè), ,自己課下閱讀）自己課下閱讀）勾股定理勾股定理:直角三角形直角三角形兩條直角邊兩條直角邊的平方和的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方.反之反之,在一個(gè)三角形中在一個(gè)三角形中,當(dāng)兩邊的平方和等于第當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)三邊的平方時(shí),這個(gè)三角形是直角三角形。這個(gè)三角形是直角三角形。你能證明嗎？你能證明嗎？勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方如果三角形兩邊的平方和等

5、于第三邊平方, 那么這那么這個(gè)三角形是直角三角形個(gè)三角形是直角三角形.l已知已知: :如圖如圖(1),(1),在在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2. .l求證求證: :ABCABC是直角三角形是直角三角形. .acbABC(1)方法一方法一:度量法度量法:方法二方法二:證明證明分析分析: : 由邊的關(guān)系推出角是由邊的關(guān)系推出角是9090度度, , 是不容易的是不容易的, ,如果能借如果能借助于助于ABCABC與一個(gè)直角三角形全等與一個(gè)直角三角形全等, ,導(dǎo)出導(dǎo)出A=90A=90 即可即可. .逆定理的證明逆定理的證明l證明證明:作作Rt ABCABC使使C

6、 =900,AC=AC,BC=BC(如圖如圖),則則l已知已知: :如圖如圖(1),(1),在在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2. .l求證求證: :ABCABC是直角三角形是直角三角形. .acbABC(1)acbBAC(2)AC2 2+BC2 2=AB2 2(勾股定理勾股定理).ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2( (已知已知), ), AC=AC,BC=BC( (作圖作圖),), AB2 2=AB2 2( (等式性質(zhì)等式性質(zhì)).). AB=AB(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).). ABCABC ABCABC(SSS).(SSS). C=C 90

7、0( (全等三角形全等三角形的對(duì)應(yīng)邊的對(duì)應(yīng)邊).). ABCABC是直角三角形是直角三角形( (直角三直角三角形意義角形意義).).幾何的幾何的三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言w勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形兩邊的平方和等于如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方第三邊平方, 那么這個(gè)三角形是那么這個(gè)三角形是直角三角形直角三角形.這是判定直角三角形的根據(jù)之一.在在ABCABC中中ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2( (已知已知),),ABCABC是直角三角形是直角三角形( (如果三角形兩邊的平方和如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)

8、三角形是直角三角形).).acbABC(1)應(yīng)用應(yīng)用1:1:下列選項(xiàng)的各組數(shù)中下列選項(xiàng)的各組數(shù)中, ,能構(gòu)成的是直角能構(gòu)成的是直角三角形的三邊三角形的三邊( ) ( ) A 0.3 ,0.4 ,0.5 B 6 ,7 ,8A 0.3 ,0.4 ,0.5 B 6 ,7 ,8C 15 ,20 ,30 D 6 ,11 ,21C 15 ,20 ,30 D 6 ,11 ,21點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): :先去掉先去掉D D答案答案, ,再利用兩條較短邊的平方和能再利用兩條較短邊的平方和能否等于最長(zhǎng)邊的平方否等于最長(zhǎng)邊的平方. .驗(yàn)一次即可驗(yàn)一次即可. .應(yīng)用應(yīng)用2 :在在ABCABC中中,AB=13cm,BC=10cm,

9、AB=13cm,BC=10cm, ,BCBC邊上的中線邊上的中線AD=12cm,AD=12cm,求證求證AB=AC.AB=AC.ABCD13125應(yīng)用應(yīng)用3 3、有一塊三角形空地，它的三邊分別長(zhǎng)、有一塊三角形空地，它的三邊分別長(zhǎng)45m45m，60m60m，70m70m，已知，已知60m60m長(zhǎng)的邊線為南北向，長(zhǎng)的邊線為南北向，是否有一條邊線為東西向？是否有一條邊線為東西向？60m又又45+ 60 70所以沒有一條邊線為東西向所以沒有一條邊線為東西向這三條邊不能組成直角三角形這三條邊不能組成直角三角形所以沒有一條邊線與所以沒有一條邊線與60米的線垂直米的線垂直命題與逆命題命題與逆命題w直角三角形

10、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.w如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么那么這這個(gè)三角形是直角三角形個(gè)三角形是直角三角形w觀察上面兩個(gè)命題觀察上面兩個(gè)命題,它們的條件與結(jié)論之間有怎樣它們的條件與結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系的關(guān)系?與同伴交流與同伴交流.命題與逆命題命題與逆命題w如果兩個(gè)角是對(duì)頂角如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么它們相等那么它們相等,w如果兩個(gè)角相等如果兩個(gè)角相等,那么它們是對(duì)頂角那么它們是對(duì)頂角;w如果小明患了肺炎如果小明患了肺炎,那么他一定會(huì)發(fā)燒那么他一定會(huì)發(fā)燒,w如果小明發(fā)燒如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎那

11、么他一定患了肺炎;w三角形中相等的邊所對(duì)的角相等三角形中相等的邊所對(duì)的角相等,w三角形中相等的角所對(duì)的邊相等三角形中相等的角所對(duì)的邊相等.w再觀察下面三組命題再觀察下面三組命題的條件和結(jié)論之間也有類似的條件和結(jié)論之間也有類似的關(guān)系嗎的關(guān)系嗎?與同伴進(jìn)行交流與同伴進(jìn)行交流.命題與逆命題命題與逆命題w在兩個(gè)命題中在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的如果一個(gè)命題的條件條件和和結(jié)論結(jié)論分分別是另一個(gè)命題的別是另一個(gè)命題的結(jié)論結(jié)論和和條件條件,那么這兩個(gè)命題那么這兩個(gè)命題稱為稱為互逆命題互逆命題,其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題逆命題.w你能寫出命題你能寫出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等

12、如果兩個(gè)有理數(shù)相等,那么它們的那么它們的平方相等平方相等”的逆命題嗎的逆命題嗎?w它們都是真命題嗎它們都是真命題嗎?w想一想想一想: :一個(gè)命題是真命題一個(gè)命題是真命題,它逆命題是真命題還是假命題它逆命題是真命題還是假命題?定理與逆定理定理與逆定理w一個(gè)一個(gè)命題命題是真命題是真命題, ,它逆命題卻它逆命題卻不一定不一定是真命題是真命題. .w我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如如:w勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理,w兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等;內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行兩直線平行.w你還能舉出一些例子嗎你還能舉出一些例子嗎?w想一想想一想:

13、:w互逆命題與互逆定理有何關(guān)系互逆命題與互逆定理有何關(guān)系?w如果一個(gè)如果一個(gè)定理定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它那么它是一個(gè)是一個(gè)定理定理,這兩個(gè)定理稱為這兩個(gè)定理稱為互逆定理互逆定理,其中一個(gè)其中一個(gè)定理稱另一個(gè)定理的定理稱另一個(gè)定理的逆定理逆定理.蓄勢(shì)待發(fā)蓄勢(shì)待發(fā)老師提示老師提示: :你是否能將有關(guān)命題的知識(shí)予以整理你是否能將有關(guān)命題的知識(shí)予以整理.w說出下列命題的逆命題說出下列命題的逆命題, ,并判斷每對(duì)命題的真假并判斷每對(duì)命題的真假: :w四邊形是多邊形四邊形是多邊形;w兩直線平行兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ);w如果如果ab=0,那么那么a=0,b=

14、0.w請(qǐng)你舉出一些命題請(qǐng)你舉出一些命題,然后寫出它的逆命題然后寫出它的逆命題,并判斷并判斷這些逆命題的真假這些逆命題的真假.學(xué)無止境學(xué)無止境l勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理有四百多種說明！有四百多種說明！l古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法，古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法，不但有數(shù)學(xué)家，還有物理學(xué)家，甚至畫家、政不但有數(shù)學(xué)家，還有物理學(xué)家，甚至畫家、政治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達(dá)數(shù)

15、百種之多，二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達(dá)數(shù)百種之多，這在數(shù)學(xué)史上是十分罕見的這在數(shù)學(xué)史上是十分罕見的.P19P19讀一讀讀一讀：勾股定理的證明勾股定理的證明. .學(xué)無止境學(xué)無止境 歷時(shí)幾千年的兩個(gè)定理，牽動(dòng)著世界上不知多歷時(shí)幾千年的兩個(gè)定理，牽動(dòng)著世界上不知多少代億萬人們的心，前人以堅(jiān)韌的毅力，開拓少代億萬人們的心，前人以堅(jiān)韌的毅力，開拓創(chuàng)新的精神譜寫了科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)中探寶的光輝創(chuàng)新的精神譜寫了科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏等待后人開采。自然無限篇章，還有許多寶藏等待后人開采。自然無限，創(chuàng)造永恒。同學(xué)們要努力學(xué)習(xí)，提高自身素，創(chuàng)造永恒。同學(xué)們要努力學(xué)習(xí)，提高自身素質(zhì)，不辜負(fù)時(shí)代重托，

16、將來為人類作出更大貢質(zhì)，不辜負(fù)時(shí)代重托，將來為人類作出更大貢獻(xiàn)。獻(xiàn)。 P18P18讀一讀讀一讀：勾股定理的證明勾股定理的證明. .l學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)是件快樂而有趣的事！學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)是件快樂而有趣的事！l勾股定理的魅力將把你引入一個(gè)奇妙的境界！勾股定理的魅力將把你引入一個(gè)奇妙的境界！回味無窮v勾股定理:w 如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為，斜邊為c，那么，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理（pythagoras the

17、orem）.v勾股定理的逆定理:l如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形.v命題與逆命題命題與逆命題w 在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題互逆命題,其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題逆命題.v定理與逆定理定理與逆定理w 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一個(gè)定理的逆定理.知識(shí)的升華獨(dú)立獨(dú)立作業(yè)作業(yè) 1、P19-20勾股定理的證明2、P21-22的1-5題祝你成功！3在正方形在正方形ABCD中中,F為為CD的中點(diǎn)的中點(diǎn),E為為C上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),

18、且且EC= BC求證求證:EFA=9014ABCDEF.方法一方法一: :利用相似證明利用相似證明. .方法二方法二: :利用勾股定理計(jì)算利用勾股定理計(jì)算三邊三邊, ,再利用勾股定理逆定再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形理判定是直角三角形. .習(xí)題習(xí)題1.4 駛向勝利駛向勝利的彼岸的彼岸w1.1.如圖，在如圖，在ABCABC中，已知中，已知AB=13cm,BC=10cm,BCAB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線邊上的中線AD=12cm.AD=12cm.w求證求證:AB=AC. :AB=AC. 證明證明:BD=CD,BC=10cm(:BD=CD,BC=10cm(已知已知),), BD

19、=5cm(BD=5cm(等式性質(zhì)等式性質(zhì)). ). ADAD2 2+BD+BD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169,144+25=169, AB AB2 2=13=132 2=169,=169,ADAD2 2+BD+BD2 2=AB=AB2 2. . D DBCA 在在ABDABD中中, , ABCABC是直角三角形是直角三角形( (如果三角形兩邊的平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方和等于第三邊平方, , 那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形).).在在RtRtADCADC中中 ACAC2 2=DC=DC2 2+AD+AD2 2=12=122 2+5

20、+52 2144+25=169,144+25=169,ACAC2 2=AB=AB2 2. .AB=AC(AB=AC(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).).習(xí)題習(xí)題1.4 w2.2.房梁的一部分如圖所示房梁的一部分如圖所示, ,其中其中BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m,CB,AB=10m,CB1 1AB, AB, B B1 1C C1 1AC,AC,垂足為垂足為B B1 1,C,C1 1, ,那么那么BCBC的長(zhǎng)是多的長(zhǎng)是多少？少？B B1 1C C1 1呢？呢？ 解解: :BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m,AB=10m( (已知已知),), BC=AB/2=1

21、0BC=AB/2=102 25 5( (在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個(gè)銳如果有一個(gè)銳角等于角等于30300 0, ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半), ), 又又CBCB1 1AB,BCBAB,BCB1 1=90=900 0-60-600 0=30=300 0( (直角三角形兩銳角互余直角三角形兩銳角互余),),BBBB1 1=BC/2=5=BC/2=52 22.52.5( (在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一如果有一個(gè)銳角等于個(gè)銳角等于30300 0, ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半). ). 老師提示老師提示: :對(duì)于含對(duì)于含30300 0角的直角三角形邊之間角的直角三角形邊之間, ,角之間的角之間的關(guān)系要作為常識(shí)去認(rèn)可關(guān)系要作為常識(shí)去認(rèn)可. . BCA30300 0B1 1C1 1ABAB1 1=AB-BB=AB-BB1 1=10-2.5=7.5=10-2.5=7.5( (等式性質(zhì)等式性質(zhì)). ). BB1 1C C1 1=AB=AB1 1/2=7.5/2=7.52 23.753.75( (在直角三角形中在直角三角形中, , 如如果有一個(gè)銳角等于果有一個(gè)