同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)上冊(cè)總結(jié)

1、同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)上冊(cè)總結(jié)第1章 函數(shù)與極限一. 函數(shù)的概念1用變上、下限積分表示的函數(shù)（1） y，其中連續(xù)，則，（2），其中可導(dǎo)，連續(xù)，則2 兩個(gè)無(wú)窮小的比較設(shè)且（1）l = 0，稱f (x是比g(x高階的無(wú)窮小，記以f (x = 0，稱g(x是比f(wàn)(x低階的無(wú)窮小。（2）l 0，稱f (x與g(x是同階無(wú)窮小。（3）l = 1，稱f (x與g(x是等價(jià)無(wú)窮小，記以f (x g(x3 常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小當(dāng)x 0時(shí)sin x x，tan x x， x， x1 cos x ， 1 x ， x ， 二 求極限的方法1利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則（1）若（n為整數(shù)），且，則存在（單調(diào)遞減有下界，極

2、限存在）（2）若，且，則存在（單調(diào)遞增有上界，極限存在）2兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在準(zhǔn)則2（夾逼定理）設(shè)g(x f (x h(x若，則3兩個(gè)重要公式公式1公式24用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換5用泰勒公式（比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻）當(dāng)時(shí)，有以下公式，可當(dāng)做等價(jià)無(wú)窮小更深層次6洛必達(dá)法則定理1 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），則 這個(gè)定理說(shuō)明：當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于；當(dāng)為無(wú)窮大時(shí)，也是無(wú)窮大這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的極限值的方法稱為洛必達(dá)（ospital）法則.例1計(jì)算極限.解 該極限屬于“”

3、型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得.例2計(jì)算極限解 該極限屬于“”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得注 若仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，即二、型未定式定理2 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），則 注：上述關(guān)于時(shí)未定式型的洛必達(dá)法則，對(duì)于時(shí)未定式型同樣適用例3計(jì)算極限解 所求問(wèn)題是型未定式，連續(xù)次施行洛必達(dá)法則，有使用洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：（1）洛必達(dá)法則只能適用于“”和“”型的未定式，其它的未定式須先化簡(jiǎn)變形成“”或“”型才能運(yùn)用該法則；（2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要

4、因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在7利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式(如果存在）8利用定積分定義求極限基本格式（如果存在）3函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) 是函數(shù)y = f (x的間斷點(diǎn)。如果f (x在間斷點(diǎn)處的左、右極限都存在，則稱是f (x的第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。常見(jiàn)的第二類間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f (x，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理1（有界定理）如果函數(shù)f (x在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，

5、則f (x必在a,b上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f (x在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M 和最小值m 。其中最大值M 和最小值m 的定義如下：定義設(shè) f (x = M 0 是區(qū)間a,b上某點(diǎn)0 x 處的函數(shù)值，如果對(duì)于區(qū)間a,b上的任一點(diǎn)x，總有f (x M ，則稱M 為函數(shù)f (x在a,b上的最大值。同樣可以定義最小值m 。定理3（介值定理）如果函數(shù)f (x在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M 和m ，則對(duì)于介于m和M 之間的任何實(shí)數(shù)c，在a,b上至少存在一個(gè) ，使得f ( = c推論：如果函數(shù)f (x在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f (a與f (b

6、異號(hào)，則在(a,b內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得f ( = 0這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理第2章 導(dǎo)數(shù)與微分1導(dǎo)數(shù)公式：2四則運(yùn)算法則f (x± g(x = f (x± g(x f (x g(x = f (xg(x+ f (xg(x3復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)y = f (u，u = (x，如果 (x在x處可導(dǎo)，f (u在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f (x在x處可導(dǎo)，且有對(duì)應(yīng)地，由于公式不管u 是自變量或中間變量都成立。因此稱為一階微分形式不變性。4 由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)x = (t，y =確定函數(shù)y = y(x，其中存在，且 0，則二階導(dǎo)數(shù)5 反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)y = f (

7、x的反函數(shù)x = g(y，兩者皆可導(dǎo)，且f (x 0則二階導(dǎo)數(shù)6 隱函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)y = y(x是由方程F(x, y = 0所確定，求y的方法如下：把F(x, y = 0兩邊的各項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，把y 看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，然后再解出y 的表達(dá)式（允許出現(xiàn)y 變量）7 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則先對(duì)所給函數(shù)式的兩邊取對(duì)數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù)y。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于：冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個(gè)函數(shù)連乘除或開(kāi)方求導(dǎo)數(shù)關(guān)于冪指函數(shù)y = f (xg (x 常用的一種方法,y = 這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。8可微與可導(dǎo)的關(guān)系f (x在0 x 處可微 f (x在0 x 處可導(dǎo)。9 求n階導(dǎo)數(shù)（

8、n 2，正整數(shù)）先求出 y, y, ,總結(jié)出規(guī)律性，然后寫(xiě)出y(n，最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù)公式（1） （2） （3） ,（4） ,(5,第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一羅爾定理設(shè)函數(shù) f (x滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b內(nèi)可導(dǎo)；（3） f (a = f (b則存在 (a,b，使得f ( = 0二拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù) f (x滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b內(nèi)可導(dǎo)；則存在 (a,b，使得推論1若f (x在(a,b內(nèi)可導(dǎo)，且f (x 0，則f (x在(a,b內(nèi)為常數(shù)。推論2若f (x ， g(x 在(a,b 內(nèi)皆可導(dǎo)，且f

9、 (x g(x，則在(a,b內(nèi)f (x = g(x+ c，其中c為一個(gè)常數(shù)。三 柯西中值定理設(shè)函數(shù)f (x和g(x滿足：（1）在閉區(qū)間a,b上皆連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b內(nèi)皆可導(dǎo)；且g(x 0則存在 (a,b使得（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g(x = x 時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四 泰勒定理（泰勒公式）定理 1（皮亞諾余項(xiàng)的n 階泰勒公式）設(shè)f (x在0 x 處有n 階導(dǎo)數(shù)，則有公式，稱為皮亞諾余項(xiàng)前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同情形取適當(dāng)?shù)膎 ， 所以對(duì)常用的初等函數(shù)如,sin x,cos x,ln(1+ x和 （ 為實(shí)常數(shù)）等的n階

10、泰勒公式都要熟記。定理2（拉格朗日余項(xiàng)的n 階泰勒公式）設(shè)f (x在包含0 x 的區(qū)間(a,b內(nèi)有n +1階導(dǎo)數(shù)，在a,b上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)xa,b，有公式 ，,稱為拉格朗日余項(xiàng)上面展開(kāi)式稱為以0 x 為中心的n 階泰勒公式。當(dāng)= 時(shí)，也稱為n階麥克勞林公式。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：一 基本知識(shí)1定義設(shè)函數(shù)f (x在(a,b內(nèi)有定義， 是(a,b內(nèi)的某一點(diǎn)，則如果點(diǎn) 存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)( x ，總有 <，則稱 為函數(shù)f (x的一個(gè)極大值，稱 為函數(shù)f (x的一個(gè)極大值點(diǎn)；則如果點(diǎn) 存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)( x ，總有 < ，則稱 為函數(shù)f (x的一個(gè)極小值，

11、稱 為函數(shù)f (x的一個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。2 必要條件（可導(dǎo)情形）設(shè)函數(shù)f (x在處可導(dǎo)，且為f (x的一個(gè)極值點(diǎn)，則。我們稱x 滿足的 稱為的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。3 第一充分條件在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則若當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，則為極大值點(diǎn)；若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則為極小值點(diǎn)；若在的兩側(cè)不變號(hào)，則不是極值點(diǎn).4 第二充分條件在處二階可導(dǎo)，且，則若，則為極大值點(diǎn)；若，則為極小值點(diǎn).二 函數(shù)的最大值和最小值1求函數(shù)f (x在a,b上的最大值和最小值的方法首先，求出f (x 在(a,

12、b內(nèi)所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) x , , x 1 ，其次計(jì)算f (x 1 f (x 2 f (a f (b k 。最后，比較f (x 1 f (x 2 f (a f (b , , , , 1 ，其中最大者就是f (x在a,b上的最大值M ；其中最小者就是f (x在a,b上的最小值m。2最大（?。┲档膽?yīng)用問(wèn)題首先要列出應(yīng)用問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)及其考慮的區(qū)間，然后再求出目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大（小）值。三 凹凸性與拐點(diǎn)1凹凸的定義設(shè)f (x在區(qū)間I 上連續(xù)，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)1 2 x , x ，恒有則稱f (x在I 上是凸（凹）的。在幾何上，曲線y = f (x上任意兩點(diǎn)的割線在曲線下（上）面，則y = f

13、 (x是凸（凹）的。如果曲線y = f (x有切線的話，每一點(diǎn)的切線都在曲線之上（下）則y = f (x是凸（凹）的。2 拐點(diǎn)的定義曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。3 凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法設(shè)函數(shù)f (x在(a,b內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果在(a,b內(nèi)的每一點(diǎn)x，恒有 > 0，則曲線y = f (x在(a,b內(nèi)是凹的；如果在(a,b內(nèi)的每一點(diǎn)x，恒有< 0，則曲線y = f (x在(a,b內(nèi)是凸的。求曲線y = f (x的拐點(diǎn)的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)；第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) ；第三步：對(duì)于以上的連續(xù)點(diǎn)，檢驗(yàn)各點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，如果符號(hào)不同，

14、該點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第四步：求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。四 漸近線的求法五 曲率第四章 不定積分一基本積分表：二 換元積分法和分部積分法換元積分法（1）第一類換元法（湊微分）：（2）第二類換元法（變量代換）：分部積分法使用分部積分法時(shí)被積函數(shù)中誰(shuí)看作誰(shuí)看作有一定規(guī)律。記住口訣，反對(duì)冪指三為，靠前就為，例如，應(yīng)該是為，因?yàn)榉慈呛瘮?shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他。三 有理函數(shù)積分有理函數(shù)：其中是多項(xiàng)式。簡(jiǎn)單有理函數(shù)：1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.第五章定積分一概念與性質(zhì)1、 定義：2、 性質(zhì)：（10條）（3）3 基本定理變上限積分：設(shè)，則推廣：NL公式：若為的一個(gè)原函數(shù)，

15、則4 定積分的換元積分法和分部積分法第6章定積分的應(yīng)用（一） 平面圖形的面積1、 直角坐標(biāo)： 2、 極坐標(biāo)：（二） 體積1、 旋轉(zhuǎn)體體積：a曲邊梯形軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積： b曲邊梯形軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積： （柱殼法）2、 平行截面面積已知的立體：（三） 弧長(zhǎng)1、 直角坐標(biāo)：2、 參數(shù)方程：極坐標(biāo)：第7章微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.（二） 變量可分離的方程，兩邊積分（三） 齊次型方程，設(shè)，則；或，設(shè)，則（四） 一階線性微