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1、1 / 5分析如何微商在力學(xué)問(wèn)題中的妙用分析如何微商在力學(xué)問(wèn)題中的妙用導(dǎo)讀:微商的概念是從大量實(shí)際問(wèn)題為背景提煉出來(lái)的一種函數(shù)運(yùn)算的極限,它與物理學(xué)的許多根本規(guī)律和根本物理量的定義有著密切的關(guān)系。因此,理解微商的概念在學(xué)習(xí)普通物理學(xué)中變得尤為重要,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是微分之商,可以很巧妙地解決一些物理學(xué)問(wèn)題。這種方法在解決在阻力作用下的拋體問(wèn)題時(shí)優(yōu)勢(shì)更加明顯,尤其是阻力與速率有關(guān)的情況。這是力學(xué)中較為復(fù)雜的問(wèn)題,因?yàn)槲矬w所受到的合外力是速率的二次函數(shù),不采用微積分的方法很難求解。:極限,微商,積分,拋體運(yùn)動(dòng),阻力微商的概念是從大量實(shí)際問(wèn)題為背景提煉出來(lái)的一種函數(shù)運(yùn)算的極限,它與物理學(xué)的許多根本規(guī)律和根本
2、物理量的定義有著密切的關(guān)系。因此,理解微商的概念在學(xué)習(xí)普通物理學(xué)中變得尤為重要,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是微分之商,可以很巧妙地解決一些物理學(xué)問(wèn)題。一、力學(xué)中的微商概念以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)為例,假設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在水平的軸上作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),它的位置坐標(biāo)是時(shí)間的函數(shù),可表示為其中為自變量,為因變量。在任意一個(gè)確定的時(shí)刻,有確定的坐標(biāo)。假設(shè)要求時(shí)刻的速度,可以取時(shí)間段,那么這段時(shí)間內(nèi)位置坐標(biāo)的改變量為那么表示這段時(shí)間內(nèi)的平均速度,記為由于質(zhì)點(diǎn)的速度是不均勻的,只是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的速度的平均值,它與的大小與符號(hào)有關(guān)。假設(shè)時(shí),就可以認(rèn)為是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即那么上式可表述成:假設(shè)在時(shí)刻時(shí)間改變時(shí),坐標(biāo)相應(yīng)改變量為,那么當(dāng)時(shí),的2 /
3、5極限就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,它是函數(shù)在時(shí)刻的微商。而根據(jù)高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義可知所以,表示導(dǎo)數(shù)的符號(hào)就不能只看成是一個(gè)整體符號(hào),它還表示導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的微分和自變量的微分的商。 。在力學(xué)中表示時(shí)間內(nèi)的位移,稱(chēng)為位移元,是個(gè)無(wú)窮小量。如果質(zhì)點(diǎn)作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng),只需要將結(jié)論推廣到三維空間,即就是說(shuō)速度是位移隨時(shí)間的變化率的極限值。在這個(gè)運(yùn)算中,關(guān)鍵是正確理解分段()和求極限的概念。加速度也有類(lèi)似的定義即速度微分和自變量時(shí)間微分的商。物理學(xué)中類(lèi)似的定義還有很多,比方:角速度是角位置的微分與時(shí)間微分的商,角加速度是角速度的微分與時(shí)間微分的商,電流是電荷量的微分與時(shí)間微分的商,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是磁通量的微分與時(shí)間微
4、分的商,等等。導(dǎo)數(shù)既然是一個(gè)分?jǐn)?shù),是兩個(gè)微分之商,那么它的分子分母就可以單獨(dú)參與乘除運(yùn)算。我們正是利用這個(gè)概念巧用微商的。二、力學(xué)中微商的巧妙運(yùn)算直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度表達(dá)式可以改寫(xiě)為,同理,加速度的表達(dá)式也可以改寫(xiě)成。雖然這只是一個(gè)小小的變形,但在物理學(xué)中卻有很大的用途。因?yàn)榱W(xué)中的一類(lèi)問(wèn)題就是:質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),求運(yùn)動(dòng)方程,必須采用積分運(yùn)算,所以首先要把運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的加速度和速度表示為上面的微分形式,然后再對(duì)微分表達(dá)式求定積分。而在積分前,需要把等式兩邊的被積函數(shù)中的變量與積分變量統(tǒng)一,在化簡(jiǎn)時(shí)如果采用微商變形,可以使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。下面通過(guò)幾個(gè)例子對(duì)這種方法進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。3 / 5例一 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的
5、推導(dǎo)。如下圖,一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在合外力的作用下,自點(diǎn) A 沿曲線(xiàn)移動(dòng)到點(diǎn) B,它在點(diǎn) A 和點(diǎn) B 速率分別為和,求此過(guò)程中合外力所作的功。解決這個(gè)問(wèn)題的第一步是要將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分割成無(wú)限多個(gè)微元,微元上的位移元為,顯然它沿著運(yùn)動(dòng)軌跡的切線(xiàn)方向。假設(shè)該位置處合外力與位移元之間的夾角為,那么合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功的微分為而位移元的大小和路程微分相等,即,所以由牛頓第二定律及切向加速度的定義,有故可得在這里把看成是速率的微分與時(shí)間微分的商,可以分開(kāi),而把路程的微分與時(shí)間微分結(jié)合成一個(gè)商,這個(gè)商就是速率,所以,功的微元變成對(duì)上式積分,于是質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn) A 沿曲線(xiàn)移動(dòng)到點(diǎn) B 過(guò)程中,合外力所作的總功為這就是
6、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。這種方法在解決在阻力作用下的拋體問(wèn)題時(shí)優(yōu)勢(shì)更加明顯,尤其是阻力與速率有關(guān)的情況。例二 一個(gè)質(zhì)量為的物體,由地面以初速率豎直向上發(fā)射,物體受到的空氣的阻力為,求物體發(fā)射到最大高度所需要的時(shí)間和最大高度。物體在發(fā)射過(guò)程中,同時(shí)受到重力和空氣阻力的作用,但阻力是一個(gè)隨速率變化的力,因此合外力是速率的一次函數(shù),直接運(yùn)用牛頓定律解題有一定難度。 。而如果把動(dòng) 力學(xué)方程改為,把加速度用速度的微分和時(shí)間微分的商來(lái)表示,可以把方程變成微分形式,利用積分求解,比擬方便。 物體在空氣中受到重力與阻力作用而減速,由牛頓定律得 統(tǒng)一變量變形得 根4 / 5據(jù)始末條件,對(duì)上式積分,有 在求解最大高度時(shí),
7、需要把采用分子、分母同乘以,即,再巧用速率是微分和的微商概念,變形為所以,動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)閷?duì)上式積分積分結(jié)果為微商概念也經(jīng)常用來(lái)求在變力作用下的路程問(wèn)題。例三 一質(zhì)量為的摩托車(chē),在恒定的牽引力作用下工作,它所受的阻力與其速率的平方成正比,它能到達(dá)的最大速率是,求從靜止加速到所需要的時(shí)間以及所走的路程。這是力學(xué)中較為復(fù)雜的問(wèn)題,因?yàn)槲矬w所受到的合外力是速率的二次函數(shù),不采用微積分的方法很難求解。而使用微商概念可以使問(wèn)題迎刃而解。假設(shè)摩托車(chē)沿軸正方向運(yùn)動(dòng),在牽引力和阻力同時(shí)作用下,由牛頓定律得當(dāng)加速度為零時(shí),摩托車(chē)的速率最大,因此 ,所以動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)榉e分如果利用微商可以巧妙變形為那么動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)榉匠虄蛇叿e分從上面三個(gè)例子可以看出,用微商概念可以較輕松地解決力學(xué)中較為復(fù)雜的問(wèn)題,關(guān)鍵在于巧妙、反復(fù)運(yùn)用微商簡(jiǎn)化問(wèn)題。 。微商不僅在力學(xué)中有巧妙的運(yùn)用,在電磁學(xué)中也有很多用途,而我們這種巧
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