第11章《通信原理》樊昌信_(tái)第六版

1、1通信原理2通信原理第第11章差錯(cuò)控制編碼章差錯(cuò)控制編碼 3第11章差錯(cuò)控制編碼l11.1 概述概述n信道分類：從差錯(cuò)控制角度看u隨機(jī)信道：錯(cuò)碼的出現(xiàn)是隨機(jī)的 u突發(fā)信道：錯(cuò)碼是成串集中出現(xiàn)的u混合信道：既存在隨機(jī)錯(cuò)碼又存在突發(fā)錯(cuò)碼 n差錯(cuò)控制技術(shù)的種類u 檢錯(cuò)重發(fā)u前向糾錯(cuò) u反饋校驗(yàn)u檢錯(cuò)刪除 4第11章差錯(cuò)控制編碼n差錯(cuò)控制編碼：常稱為糾錯(cuò)編碼糾錯(cuò)編碼u監(jiān)督碼元：監(jiān)督碼元：上述4種技術(shù)中除第3種外，都是在接收端識(shí)別有無(wú)錯(cuò)碼。所以在發(fā)送端需要在信息碼元序列中增加一些差錯(cuò)控制碼元，它們稱為監(jiān)督碼元。 u不同的編碼方法，有不同的檢錯(cuò)檢錯(cuò)或糾錯(cuò)糾錯(cuò)能力。u多余度多余度：就是指增加的監(jiān)督碼元多少。

2、例如，若編碼序列中平均每?jī)蓚€(gè)信息碼元就添加一個(gè)監(jiān)督碼元，則這種編碼的多余度為1/3。u編碼效率編碼效率(簡(jiǎn)稱碼率碼率) ：設(shè)編碼序列中信息碼元數(shù)量為k，總碼元數(shù)量為n，則比值k/n 就是碼率。u冗余度：冗余度：監(jiān)督碼元數(shù)(n-k) 和信息碼元數(shù) k 之比。u理論上，差錯(cuò)控制以降低信息傳輸速率為代價(jià)換取提高傳輸可靠性。5第11章差錯(cuò)控制編碼n自動(dòng)要求重發(fā)(ARQ)系統(tǒng)u3種ARQ系統(tǒng)p停止等待ARQ系統(tǒng) 數(shù)據(jù)按分組發(fā)送。每發(fā)送一組數(shù)據(jù)后發(fā)送端等待接收端的確認(rèn)(ACK)答復(fù)，然后再發(fā)送下一組數(shù)據(jù)。圖中的第3組接收數(shù)據(jù)有誤，接收端發(fā)回一個(gè)否認(rèn)(NAK)答復(fù)。這時(shí)，發(fā)送端將重發(fā)第3組數(shù)據(jù)。系統(tǒng)是工作在

3、半雙工狀態(tài)，時(shí)間沒(méi)有得到充分利用，傳輸效率較低。 接收碼組ACKACKNAKACKACKNAKACKt1233455發(fā)送碼組12334556t有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組6第11章差錯(cuò)控制編碼p拉后ARQ系統(tǒng)發(fā)送端連續(xù)發(fā)送數(shù)據(jù)組，接收端對(duì)于每個(gè)接收到的數(shù)據(jù)組都發(fā)回確認(rèn)確認(rèn)(ACK)或否認(rèn)否認(rèn)(NAK)答復(fù)。 例如，圖中第5組接收數(shù)據(jù)有誤，則在發(fā)送端收到第5組接收的否認(rèn)答復(fù)后，從第5組開(kāi)始重發(fā)數(shù)據(jù)組。在這種系統(tǒng)中需要對(duì)發(fā)送的數(shù)據(jù)組和答復(fù)進(jìn)行編號(hào)，以便識(shí)別。顯然，這種系統(tǒng)需要雙工信道 接收數(shù)據(jù)有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組910 1110 1112214365798576ACK1NAK5NAK9ACK5發(fā)送數(shù)據(jù)576952

4、143679810 1110 11 12重發(fā)碼組重發(fā)碼組7第11章差錯(cuò)控制編碼p選擇重發(fā)ARQ系統(tǒng)它只重發(fā)出錯(cuò)的數(shù)據(jù)組，因此進(jìn)一步提高了傳輸效率。接收數(shù)據(jù)有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組9214365759810 11131412發(fā)送數(shù)據(jù)995852143671011131412重發(fā)碼組重發(fā)碼組NAK9ACK1NAK5ACK5ACK98第11章差錯(cuò)控制編碼uARQ的主要優(yōu)點(diǎn)：和前向糾錯(cuò)方法相比p監(jiān)督碼元較少即能使誤碼率降到很低，即碼率較高；p檢錯(cuò)的計(jì)算復(fù)雜度較低；p檢錯(cuò)用的編碼方法和加性干擾的統(tǒng)計(jì)特性基本無(wú)關(guān)，能適應(yīng)不同特性的信道。uARQ的主要缺點(diǎn)：p需要雙向信道來(lái)重發(fā)，不能用于單向信道，也不能用于一點(diǎn)到多

5、點(diǎn)的通信系統(tǒng)。p因?yàn)橹匕l(fā)而使ARQ系統(tǒng)的傳輸效率降低。p在信道干擾嚴(yán)重時(shí)，可能發(fā)生因不斷反復(fù)重發(fā)而造成事實(shí)上的通信中斷。p在要求實(shí)時(shí)通信的場(chǎng)合，例如電話通信，往往不允許使用ARQ法。9第11章差錯(cuò)控制編碼uARQ系統(tǒng)的原理方框圖p在發(fā)送端，輸入的信息碼元在編碼器中被分組編碼（加入監(jiān)督碼元）后，除了立即發(fā)送外，還暫存于緩沖存儲(chǔ)器中。若接收端解碼器檢出錯(cuò)碼，則由解碼器控制產(chǎn)生一個(gè)重發(fā)指令。此指令經(jīng)過(guò)反向信道送到發(fā)送端。由發(fā)送端重發(fā)控制器控制緩沖存儲(chǔ)器重發(fā)一次。p接收端僅當(dāng)解碼器認(rèn)為接收信息碼元正確時(shí)，才將信息碼元送給收信者，否則在輸出緩沖存儲(chǔ)器中刪除接收碼元。p當(dāng)解碼器未發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼時(shí)，經(jīng)過(guò)反向信道發(fā)

6、出不需重發(fā)指令。發(fā)送端收到此指令后，即繼續(xù)發(fā)送后一碼組，發(fā)送端的緩沖存儲(chǔ)器中的內(nèi)容也隨之更新。10第11章差錯(cuò)控制編碼l11.2 糾錯(cuò)編碼的基本原理糾錯(cuò)編碼的基本原理n分組碼基本原理：舉例說(shuō)明如下。u設(shè)有一種由3位二進(jìn)制數(shù)字構(gòu)成的碼組，它共有8種不同的可能組合。若將其全部用來(lái)表示天氣，則可以表示8種不同天氣， 例如：“000”（晴），“001”（云）， “010”（陰），“011”（雨）， “100”（雪），“101”（霜）， “110”（霧），“111”（雹）。u其中任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個(gè)或多個(gè)錯(cuò)碼，則將變成另一個(gè)信息碼組。這時(shí)，接收端將無(wú)法發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。11第11章差錯(cuò)控制編碼u若在上述8

7、種碼組中只準(zhǔn)許使用4種來(lái)傳送天氣，例如：“000”晴 “011”云 “101”陰 “110”雨p這時(shí)，雖然只能傳送4種不同的天氣，但是接收端卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個(gè)錯(cuò)碼。p例如，若“000”（晴）中錯(cuò)了一位，則接收碼組將變成“100”或“010”或“001”。這3種碼組都是不準(zhǔn)使用的，稱為禁用碼組禁用碼組。p接收端在收到禁用碼組時(shí)，就認(rèn)為發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)碼。當(dāng)發(fā)生3個(gè)錯(cuò)碼時(shí)，“000”變成了“111”，它也是禁用碼組，故這種編碼也能檢測(cè)3個(gè)錯(cuò)碼。p但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)一個(gè)碼組中的兩個(gè)錯(cuò)碼，因?yàn)榘l(fā)生兩個(gè)錯(cuò)碼后產(chǎn)生的是許用碼組許用碼組。12第11章差錯(cuò)控制編碼u檢錯(cuò)和糾錯(cuò)p上面這種編碼只能檢測(cè)錯(cuò)碼，不能糾正

8、錯(cuò)碼。例如，當(dāng)接收碼組為禁用碼組“100”時(shí)，接收端將無(wú)法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯(cuò)誤，因?yàn)榍?、陰、雨三者錯(cuò)了一位都可以變成“100”。p要能夠糾正錯(cuò)誤，還要增加多余度。例如，若規(guī)定許用碼組只有兩個(gè)：“000”（晴），“111”（雨），其他都是禁用碼組，則能夠檢測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或能夠糾正一個(gè)錯(cuò)碼。p例如，當(dāng)收到禁用碼組“100”時(shí)，若當(dāng)作僅有一個(gè)錯(cuò)碼，則可以判斷此錯(cuò)碼發(fā)生在“1”位，從而糾正為“000”（晴）。因?yàn)椤?11”（雨）發(fā)生任何一位錯(cuò)碼時(shí)都不會(huì)變成“100”這種形式。 p但是，這時(shí)若假定錯(cuò)碼數(shù)不超過(guò)兩個(gè)，則存在兩種可能性：“000”錯(cuò)一位和“111”錯(cuò)兩位都可能變成“100”，因而只能檢

9、測(cè)出存在錯(cuò)碼而無(wú)法糾正錯(cuò)碼。13第11章差錯(cuò)控制編碼u分組碼的結(jié)構(gòu)p將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼稱為分組碼分組碼 。p在分組碼中，監(jiān)督碼元僅監(jiān)督本碼組中的信息碼元。 p信息位和監(jiān)督位的關(guān)系：舉例如下信息位監(jiān)督位晴000云011陰101雨11014第11章差錯(cuò)控制編碼p分組碼的一般結(jié)構(gòu)u分組碼的符號(hào)：(n, k)pN 碼組的總位數(shù)，又稱為碼組的長(zhǎng)度（碼長(zhǎng)），pk 碼組中信息碼元的數(shù)目，pn k r 碼組中的監(jiān)督碼元數(shù)目，或稱監(jiān)督位數(shù)目。 15第11章差錯(cuò)控制編碼u分組碼的碼重和碼距p碼重：把碼組中“1”的個(gè)數(shù)目稱為碼組的重量，簡(jiǎn)稱碼重碼重。p碼距：把兩個(gè)碼組中對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的

10、位數(shù)稱為碼組的距離，簡(jiǎn)稱碼距碼距。碼距又稱漢明距離漢明距離。p例如，“000”晴，“011”云，“101”陰，“110”雨，4個(gè)碼組之間，任意兩個(gè)的距離均為2。p最小碼距：把某種編碼中各個(gè)碼組之間距離的最小值稱為最小碼距最小碼距(d0)。例如，上面的編碼的最小碼距d0 = 2。16第11章差錯(cuò)控制編碼u碼距的幾何意義p對(duì)于3位的編碼組，可以在3維空間中說(shuō)明碼距的幾何意義。 p每個(gè)碼組的3個(gè)碼元的值(a1, a2, a3)就是此立方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。而上述碼距概念在此圖中就對(duì)應(yīng)于各頂點(diǎn)之間沿立方體各邊行走的幾何距離。p由此圖可以直觀看出，上例中4個(gè)準(zhǔn)用碼組之間的距離均為2。(0,0,0)(0,0,

11、1)(1,0,1)(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,1,1)(1,1,1)a2a0a117第11章差錯(cuò)控制編碼u碼距和檢糾錯(cuò)能力的關(guān)系p一種編碼的最小碼距d0的大小直接關(guān)系著這種編碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力p為檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距 d0 e + 1【證】設(shè)一個(gè)碼組A位于O點(diǎn)。若碼組A中發(fā)生一個(gè)錯(cuò)碼，則我們可以認(rèn)為A的位置將移動(dòng)至以O(shè)點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上某點(diǎn)，但其位置不會(huì)超出此圓。 若碼組A中發(fā)生兩位錯(cuò)碼，則其位置不會(huì)超出以O(shè)點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓。因此，只要最小碼距不小于3，碼組A發(fā)生兩位以下錯(cuò)碼時(shí)，不可能變成另一個(gè)準(zhǔn)用碼組，因而能檢測(cè)錯(cuò)碼的位數(shù)等于2。 0123BA漢明距

12、離ed018第11章差錯(cuò)控制編碼同理，若一種編碼的最小碼距為d0，則將能檢測(cè)(d0 - 1)個(gè)錯(cuò)碼。反之，若要求檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，則最小碼距d0至少應(yīng)不小于( e + 1)。p為了糾正t個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距d0 2t + 1【證】圖中畫(huà)出碼組A和B的距離為5。碼組A或B若發(fā)生不多于兩位錯(cuò)碼，則其位置均不會(huì)超出半徑為2以原位置為圓心的圓。這兩個(gè)圓是不重疊的。判決規(guī)則為：若接收碼組落于以A為圓心的圓上就判決收到的是碼組A，若落于以B為圓心的圓上就判決為碼組B。這樣，就能夠糾正兩位錯(cuò)碼。 BtA漢明距離012345td019第11章差錯(cuò)控制編碼若這種編碼中除碼組A和B外，還有許多種不同碼組，但任兩碼組之

13、間的碼距均不小于5，則以各碼組的位置為中心以2為半徑畫(huà)出之圓都不會(huì)互相重疊。這樣，每種碼組如果發(fā)生不超過(guò)兩位錯(cuò)碼都將能被糾正。因此，當(dāng)最小碼距d05時(shí)，能夠糾正2個(gè)錯(cuò)碼，且最多能糾正2個(gè)。若錯(cuò)碼達(dá)到3個(gè)，就將落入另一圓上，從而發(fā)生錯(cuò)判。故一般說(shuō)來(lái)，為糾正t個(gè)錯(cuò)碼，最小碼距應(yīng)不小于(2t + 1)。20第11章差錯(cuò)控制編碼p為糾正t個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距在解釋此式之前，先來(lái)分析下圖所示的例子。圖中碼組A和B之間距離為5。按照檢錯(cuò)能力公式，最多能檢測(cè)4個(gè)錯(cuò)碼，即e = d0 1 = 5 1 = 4，按照糾錯(cuò)能力公式糾錯(cuò)時(shí)，能糾正2個(gè)錯(cuò)碼。但是，不能同時(shí)作到兩者，因?yàn)楫?dāng)錯(cuò)碼位數(shù)超過(guò)糾

14、錯(cuò)能力時(shí)，該碼組立即進(jìn)入另一碼組的圓內(nèi)而被錯(cuò)誤地“糾正”了。例如，碼組A若錯(cuò)了3位，就會(huì)被誤認(rèn)為碼組B錯(cuò)了2位造成的結(jié)果，從而被錯(cuò)“糾”為B。這就是說(shuō)，檢錯(cuò)和糾錯(cuò)公式不能同時(shí)成立或同時(shí)運(yùn)用。 )(10tetedBtA漢明距離012345td021第11章差錯(cuò)控制編碼所以，為了在可以糾正t個(gè)錯(cuò)碼的同時(shí)，能夠檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，就需要像下圖所示那樣，使某一碼組（譬如碼組A）發(fā)生e個(gè)錯(cuò)誤之后所處的位置，與其他碼組（譬如碼組B）的糾錯(cuò)圓圈至少距離等于1，不然將落在該糾錯(cuò)圓上從而發(fā)生錯(cuò)誤地“糾正”。因此，由此圖可以直觀看出，要求最小碼距這種糾錯(cuò)和檢錯(cuò)結(jié)合的工作方式簡(jiǎn)稱糾檢結(jié)合糾檢結(jié)合。 ABe1tt漢明距離)

15、(10teted22第11章差錯(cuò)控制編碼這種工作方式是自動(dòng)在糾錯(cuò)和檢錯(cuò)之間轉(zhuǎn)換的。當(dāng)錯(cuò)碼數(shù)量少時(shí)，系統(tǒng)按前向糾錯(cuò)方式工作，以節(jié)省重發(fā)時(shí)間，提高傳輸效率；當(dāng)錯(cuò)碼數(shù)量多時(shí)，系統(tǒng)按反饋重發(fā)方式糾錯(cuò)，以降低系統(tǒng)的總誤碼率。所以，它適用于大多數(shù)時(shí)間中錯(cuò)碼數(shù)量很少，少數(shù)時(shí)間中錯(cuò)碼數(shù)量多的情況。23第11章差錯(cuò)控制編碼l11.3 糾錯(cuò)編碼的性能糾錯(cuò)編碼的性能n系統(tǒng)帶寬和信噪比的矛盾：u由上節(jié)所述的糾錯(cuò)編碼原理可知，為了減少接收錯(cuò)誤碼元數(shù)量，需要在發(fā)送信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元。這樣作的結(jié)果使發(fā)送序列增長(zhǎng)，冗余度增大。若仍須保持發(fā)送信息碼元速率不變，則傳輸速率必須增大，因而增大了系統(tǒng)帶寬。系統(tǒng)帶寬的增大將引起

16、系統(tǒng)中噪聲功率增大，使信噪比下降。信噪比的下降反而又使系統(tǒng)接收碼元序列中的錯(cuò)碼增多。一般說(shuō)來(lái)，采用糾錯(cuò)編碼后，誤碼率總是能夠得到很大改善的。改善的程度和所用的編碼有關(guān)。24第11章差錯(cuò)控制編碼u編碼性能舉例p未采用糾錯(cuò)編碼時(shí)，若接收信噪比等于7dB，編碼前誤碼率約為810-4，圖中A點(diǎn)，在采用糾錯(cuò)編碼后，誤碼率降至約410-5，圖中B點(diǎn)。這樣，不增大發(fā)送功率 就能降低誤碼率約一個(gè)半數(shù)量級(jí)。10-610-510-410-310-210-1編碼后PeCDEAB信噪比 (dB)25第11章差錯(cuò)控制編碼p由圖還可以看出，若保持誤碼率在10-5，圖中C點(diǎn)，未采用編碼時(shí)，約需要信噪比Eb / n0 = 1

17、0.5 dB。在采用這種編碼時(shí)，約需要信噪比7.5 dB，圖中D點(diǎn)?？梢怨?jié)省功率2 dB。通常稱這2 dB為編碼增益。p上面兩種情況付出的代價(jià)是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1編碼后PeCDEAB信噪比 (dB)26第11章差錯(cuò)控制編碼p傳輸速率和Eb/n0的關(guān)系對(duì)于給定的傳輸系統(tǒng)式中，RB為碼元速率。若希望提高傳輸速率，由上式看出勢(shì)必使信噪比下降，誤碼率增大。假設(shè)系統(tǒng)原來(lái)工作在圖中C點(diǎn)，提高速率后由C點(diǎn)升到E點(diǎn)。但加用糾錯(cuò)編碼后，仍可將誤碼率降到D點(diǎn)。這時(shí)付出的代價(jià)仍是帶寬增大。BsssbRnPTnPnTPnE0000)/ 1 (10-610-510-410-310

18、-210-1編碼后PeCDEAB信噪比 (dB)27第11章差錯(cuò)控制編碼l11.4簡(jiǎn)單的實(shí)用編碼簡(jiǎn)單的實(shí)用編碼n11.4.1 奇偶監(jiān)督碼u奇偶監(jiān)督碼分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩種，兩者的原理相同。在偶數(shù)監(jiān)督碼中，無(wú)論信息位多少，監(jiān)督位只有1位，它使碼組中“1”的數(shù)目為偶數(shù)，即滿足下式條件：式中a0為監(jiān)督位，其他位為信息位。這種編碼能夠檢測(cè)奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼。在接收端，按照上式求“模2和”，若計(jì)算結(jié)果為“1”就說(shuō)明存在錯(cuò)碼，結(jié)果為“0”就認(rèn)為無(wú)錯(cuò)碼。奇數(shù)監(jiān)督碼與偶數(shù)監(jiān)督碼相似，只不過(guò)其碼組中“1”的數(shù)目為奇數(shù)：0021aaann1021aaann28第11章差錯(cuò)控制編碼n11.4.2 二維奇偶監(jiān)督碼（方

19、陣碼）u二維奇偶監(jiān)督碼的構(gòu)成它是先把上述奇偶監(jiān)督碼的若干碼組排成矩陣，每一碼組寫(xiě)成一行，然后再按列的方向增加第二維監(jiān)督位，如下圖所示圖中a01 a02 a0m為m行奇偶監(jiān)督碼中的m個(gè)監(jiān)督位。cn-1 cn-2 c1 c0為按列進(jìn)行第二次編碼所增加的監(jiān)督位，它們構(gòu)成了一監(jiān)督位行。012101212021222110111211ccccaaaaaaaaaaaannmmmnmnnnnn29第11章差錯(cuò)控制編碼u二維奇偶監(jiān)督碼的性能p這種編碼有可能檢測(cè)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼。因?yàn)槊啃械谋O(jiān)督位雖然不能用于檢測(cè)本行中的偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，但按列的方向有可能由cn-1 cn-2 c1 c0等監(jiān)督位檢測(cè)出來(lái)。有一些偶數(shù)錯(cuò)碼不可能

20、檢測(cè)出來(lái)。例如，構(gòu)成矩形的4個(gè)錯(cuò)碼，譬如圖中錯(cuò)了，就檢測(cè)不出。p這種二維奇偶監(jiān)督碼適于檢測(cè)突發(fā)錯(cuò)碼。因?yàn)橥话l(fā)錯(cuò)碼常常成串出現(xiàn)，隨后有較長(zhǎng)一段無(wú)錯(cuò)區(qū)間。p由于方陣碼只對(duì)構(gòu)成矩形四角的錯(cuò)碼無(wú)法檢測(cè)，故其檢錯(cuò)能力較強(qiáng)。 p二維奇偶監(jiān)督碼不僅可用來(lái)檢錯(cuò)，還可以用來(lái)糾正一些錯(cuò)碼。 例如，僅在一行中有奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼時(shí)。mmnnaaaa12212230第11章差錯(cuò)控制編碼n 11.4.3 恒比碼恒比碼u在恒比碼中，每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1”（和“0”）。由于“1”的數(shù)目與“0”的數(shù)目之比保持恒定，故得此名。u這種碼在檢測(cè)時(shí)，只要計(jì)算接收碼組中“1”的數(shù)目是否對(duì)，就知道有無(wú)錯(cuò)碼。u恒比碼的主要優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單和適于

21、用來(lái)傳輸電傳機(jī)或其他鍵盤(pán)設(shè)備產(chǎn)生的字母和符號(hào)。對(duì)于信源來(lái)的二進(jìn)制隨機(jī)數(shù)字序列，這種碼就不適合使用了。31第11章差錯(cuò)控制編碼n11.4.4 正反碼正反碼u正反碼的編碼：p它是一種簡(jiǎn)單的能夠糾正錯(cuò)碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)目與信息位數(shù)目相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同或者相反則由信息碼中“1”的個(gè)數(shù)而定。p例如，若碼長(zhǎng)n = 10，其中信息位 k = 5，監(jiān)督位 r = 5。其編碼規(guī)則為：當(dāng)信息位中有奇數(shù)個(gè)“1”時(shí)，監(jiān)督位是信息位的簡(jiǎn)單重復(fù)；當(dāng)信息位有偶數(shù)個(gè)“1”時(shí)，監(jiān)督位是信息位的反碼。例如，若信息位為11001，則碼組為1100111001；若信息位為10001，則碼組為1000101110。32

22、第11章差錯(cuò)控制編碼u正反碼的解碼p在上例中，先將接收碼組中信息位和監(jiān)督位按模 2 相加，得到一個(gè)5位的合成碼組。然后，由此合成碼組產(chǎn)生一個(gè)校驗(yàn)碼組。p若接收碼組的信息位中有奇數(shù)個(gè)“1”，則合成碼組就是校驗(yàn)碼組；若接收碼組的信息位中有偶數(shù)個(gè)“1”，則取合成碼組的反碼作為校驗(yàn)碼組。p最后，觀察校驗(yàn)碼組中“1”的個(gè)數(shù)，按下表進(jìn)行判決及糾正可能發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)碼。 33第11章差錯(cuò)控制編碼p校驗(yàn)碼組和錯(cuò)碼的關(guān)系例如，若發(fā)送碼組為1100111001，接收碼組中無(wú)錯(cuò)碼，則合成碼組應(yīng)為1100111001=00000。由于接收碼組信息位中有奇數(shù)個(gè)“1”，所以校驗(yàn)碼組就是00000。按上表判決，結(jié)論是無(wú)錯(cuò)碼。 校

23、驗(yàn)碼組的組成錯(cuò)碼情況1全為“0”無(wú)錯(cuò)碼2有4個(gè)“1”和1個(gè)“0”信息碼中有1位錯(cuò)碼，其位置對(duì)應(yīng)校驗(yàn)碼組中“0”的位置3有4個(gè)“0”和1個(gè)“1”監(jiān)督碼中有1位錯(cuò)碼，其位置對(duì)應(yīng)校驗(yàn)碼組中“1”的位置4其他組成錯(cuò)碼多于1個(gè)34第11章差錯(cuò)控制編碼若傳輸中產(chǎn)生了差錯(cuò)，使接收碼組變成1000111001，則合成碼組為100011100101000。由于接收碼組中信息位有偶數(shù)個(gè)“1”，所以校驗(yàn)碼組應(yīng)取合成碼組的反碼，即10111。由于其中有4個(gè)“1”和1個(gè)“0”，按上表判斷信息位中左邊第2位為錯(cuò)碼。若接收碼組錯(cuò)成1100101001，則合成碼組變成110010100110000。由于接收碼組中信息位有奇數(shù)

24、個(gè)“1”，故校驗(yàn)碼組就是10000，按上表判斷，監(jiān)督位中第1位為錯(cuò)碼。最后，若接收碼組為1001111001，則合成碼組為100111100101010，校驗(yàn)碼組與其相同，按上表判斷，這時(shí)錯(cuò)碼多于1個(gè)。p上述長(zhǎng)度為10的正反碼具有糾正1位錯(cuò)碼的能力，并能檢測(cè)全部2位以下的錯(cuò)碼和大部分2位以上的錯(cuò)碼。35第11章差錯(cuò)控制編碼l11.5 線性分組碼線性分組碼n基本概念u代數(shù)碼代數(shù)碼：建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼。u線性碼線性碼：按照一組線性方程構(gòu)成的代數(shù)碼。在線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的。u線性分組碼線性分組碼：按照一組線性方程構(gòu)成的分組碼 。本節(jié)將以漢明碼為例引入線性分組碼的一

25、般原理。36第11章差錯(cuò)控制編碼n漢明碼漢明碼能夠糾正1位錯(cuò)碼且編碼效率較高的一種線性分組碼u漢明碼的構(gòu)造原理。p在偶數(shù)監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位a0，它和信息位an-1 a1一起構(gòu)成一個(gè)代數(shù)式：在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算若S = 0，就認(rèn)為無(wú)錯(cuò)碼；若S = 1，就認(rèn)為有錯(cuò)碼?，F(xiàn)將上式稱為監(jiān)督關(guān)系式監(jiān)督關(guān)系式，S稱為校正子校正子。由于校正子S只有兩種取值，故它只能代表有錯(cuò)和無(wú)錯(cuò)這兩種信息，而不能指出錯(cuò)碼的位置。 0021aaann021aaaSnn37第11章差錯(cuò)控制編碼p若監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個(gè)類似的監(jiān)督關(guān)系式。由于兩個(gè)校正子的可能值有4中組合： 00，01，10

26、，11，故能表示4種不同的信息。若用其中1種組合表示無(wú)錯(cuò)，則其余3種組合就有可能用來(lái)指示一個(gè)錯(cuò)碼的3種不同位置。同理，r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式能指示1位錯(cuò)碼的(2r 1)個(gè)可能位置。p一般來(lái)說(shuō)，若碼長(zhǎng)為n，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)rnk。如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來(lái)指示1位錯(cuò)碼的n種可能位置，則要求下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何具體構(gòu)造這些監(jiān)督關(guān)系式。1212rknrr或38第11章差錯(cuò)控制編碼p例：設(shè)分組碼分組碼(n, k)中k = 4，為了糾正1位錯(cuò)碼，由上式可知，要求監(jiān)督位數(shù) r 3。若取 r = 3，則n = k + r = 7。我們用a6 a5 a0表示這7個(gè)碼元，用S1、S2和S3

27、表示3個(gè)監(jiān)督關(guān)系式中的校正子，則S1、S2和S3的值與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以規(guī)定如下表所列：S1 S2 S3錯(cuò)碼位置S1 S2 S3錯(cuò)碼位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無(wú)錯(cuò)碼39第11章差錯(cuò)控制編碼由表中規(guī)定可見(jiàn)，僅當(dāng)一位錯(cuò)碼的位置在a2 、a4、a5或a6時(shí)，校正子S1為1；否則S1為零。這就意味著a2 、a4、a5和a6四個(gè)碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：同理， a1、a3、a5和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：以及a0、a3、a4 和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系24561aaaaS13562aaaaS03463aaaaS40第11章差錯(cuò)控制編碼在發(fā)送端編碼時(shí)，信息位a

28、6、a5、a4和a3的值決定于輸入信號(hào)，因此它們是隨機(jī)的。監(jiān)督位a2、a1和a0應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來(lái)確定，即監(jiān)督位應(yīng)使上3式中S1、S2和S3的值為0（表示編成的碼組中應(yīng)無(wú)錯(cuò)碼）：上式經(jīng)過(guò)移項(xiàng)運(yùn)算，解出監(jiān)督位給定信息位后，可以直接按上式算出監(jiān)督位， 結(jié)果見(jiàn)下表：000034613562456aaaaaaaaaaaa346035614562aaaaaaaaaaaa41第11章差錯(cuò)控制編碼信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位a2 a1 a0信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位a2 a1 a0000000010001110001011100110000101011010010001111010

29、110010100110110000101011011101010011001111101000111000111111142第11章差錯(cuò)控制編碼接收端收到每個(gè)碼組后，先計(jì)算出S1、S2和S3，再查表判斷錯(cuò)碼情況。例如，若接收碼組為0000011，按上述公式計(jì)算可得：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。由于S1 S2 S3 等于011，故查表可知在a3位有1錯(cuò)碼。 p按照上述方法構(gòu)造的碼稱為漢明碼。表中所列的(7, 4)漢明碼的最小碼距d0 = 3。因此，這種碼能夠糾正1個(gè)錯(cuò)碼或檢測(cè)2個(gè)錯(cuò)碼。由于碼率k/n = (n - r) /n =1 r/n，故當(dāng)n很大和r很小時(shí)，碼率接近1。可見(jiàn)，

30、漢明碼是一種高效碼。 43第11章差錯(cuò)控制編碼n線性分組碼的一般原理u線性分組碼的構(gòu)造pH矩陣上面(7, 4)漢明碼的例子有現(xiàn)在將上面它改寫(xiě)為上式中已經(jīng)將“”簡(jiǎn)寫(xiě)成“+”。 000034613562456aaaaaaaaaaaa010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa44第11章差錯(cuò)控制編碼上式可以表示成如下矩陣形式：上式還可以簡(jiǎn)記為H AT = 0T 或A HT = 0010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa）

31、（模20001011001110101011101000123456aaaaaaa45第11章差錯(cuò)控制編碼H AT = 0T 或A HT = 0式中 A = a6 a5 a4 a3 a2 a1 a00 = 000右上標(biāo)“T”表示將矩陣轉(zhuǎn)置。例如，HT是H的轉(zhuǎn)置，即HT的第一行為H的第一列，HT的第二行為H的第二列等等。將H稱為監(jiān)督矩陣監(jiān)督矩陣。 只要監(jiān)督矩陣H給定，編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了。 101100111010101110100H46第11章差錯(cuò)控制編碼H矩陣的性質(zhì)： 1) H的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督位的數(shù)目r。H的每行中“1”的位置表示相應(yīng)碼元之間存在的監(jiān)督

32、關(guān)系。例如，H的第一行1110100表示監(jiān)督位a2是由a6 a5 a4之和決定的。H矩陣可以分成兩部分，例如 式中，P為r k階矩陣，Ir為r r階單位方陣。我們將具有P Ir形式的H矩陣稱為典型陣典型陣。rPIH00110110101101100111047第11章差錯(cuò)控制編碼2) 由代數(shù)理論可知，H矩陣的各行應(yīng)該是線性無(wú)關(guān)的，否則將得不到 r個(gè)線性無(wú)關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式，從而也得不到 r個(gè)獨(dú)立的監(jiān)督位。若一矩陣能寫(xiě)成典型陣形式P Ir，則其各行一定是線性無(wú)關(guān)的。因?yàn)槿菀昨?yàn)證Ir的各行是線性無(wú)關(guān)的，故P Ir的各行也是線性無(wú)關(guān)的。pG矩陣： 上面漢明碼例子中的監(jiān)督位公式為也可以改寫(xiě)成矩陣形式：34

33、6035614562aaaaaaaaaaaa3456012101111011110aaaaaaa48第11章差錯(cuò)控制編碼或者寫(xiě)成式中，Q為一個(gè)k r階矩陣，它為P的轉(zhuǎn)置，即 Q = PT 上式表示，在信息位給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣Q就產(chǎn)生出監(jiān)督位。3456012101111011110aaaaaaaQ34563456012011101110111aaaaaaaaaaa49第11章差錯(cuò)控制編碼我們將Q的左邊加上1個(gè)k k階單位方陣，就構(gòu)成1個(gè)矩陣G G稱為生成矩陣生成矩陣，因?yàn)橛伤梢援a(chǎn)生整個(gè)碼組，即有或者因此，如果找到了碼的生成矩陣G，則編碼的方法就完全確定了。具有IkQ形式的生成矩陣稱

34、為典型生成矩陣典型生成矩陣。由典型生成矩陣得出的碼組A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后。這種形式的碼稱為系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼。 0110001101001011001001111000QGkI IG34560123456aaaaaaaaaaaGA3456aaaa50第11章差錯(cuò)控制編碼G矩陣的性質(zhì)：1) G矩陣的各行是線性無(wú)關(guān)的。因?yàn)橛缮鲜娇梢钥闯?，任一碼組A都是G的各行的線性組合。G共有k行，若它們線性無(wú)關(guān)，則可以組合出2k種不同的碼組A，它恰是有k位信息位的全部碼組。若G的各行有線性相關(guān)的，則不可能由G生成2k種不同的碼組了。2) 實(shí)際上，G的各行本身就是一個(gè)碼組。因此，如果已有k個(gè)線性無(wú)關(guān)

35、的碼組，則可以用其作為生成矩陣G，并由它生成其余碼組。51第11章差錯(cuò)控制編碼p錯(cuò)碼矩陣和錯(cuò)誤圖樣 一般說(shuō)來(lái)，A為一個(gè)n列的行矩陣。此矩陣的n個(gè)元素就是碼組中的n個(gè)碼元，所以發(fā)送的碼組就是A。此碼組在傳輸中可能由于干擾引入差錯(cuò)，故接收碼組一般說(shuō)來(lái)與A不一定相同。若設(shè)接收碼組為一n列的行矩陣B，即則發(fā)送碼組和接收碼組之差為B A = E (模2)它就是傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)碼錯(cuò)碼行矩陣矩陣 式中0121bbbbnnB0121eeeennEiiiiiababe當(dāng)當(dāng), 1, 052第11章差錯(cuò)控制編碼因此，若ei = 0，表示該接收碼元無(wú)錯(cuò)；若ei = 1，則表示該接收碼元有錯(cuò)。 B A = E 可以改寫(xiě)成

36、 B = A + E例如，若發(fā)送碼組A = 1000111，錯(cuò)碼矩陣E = 0000100，則接收碼組B = 1000011。錯(cuò)碼矩陣有時(shí)也稱為錯(cuò)誤圖樣錯(cuò)誤圖樣。53第11章差錯(cuò)控制編碼p校正子S當(dāng)接收碼組有錯(cuò)時(shí)，E 0，將B當(dāng)作A代入公式(A H T = 0)后，該式不一定成立。在錯(cuò)碼較多，已超過(guò)這種編碼的檢錯(cuò)能力時(shí)，B變?yōu)榱硪辉S用碼組，則該式仍能成立。這樣的錯(cuò)碼是不可檢測(cè)的。在未超過(guò)檢錯(cuò)能力時(shí)，上式不成立，即其右端不等于0。假設(shè)這時(shí)該式的右端為S，即B H T = S將B = A + E代入上式，可得S = (A + E) H T = A H T + E H T由于A HT = 0，所以S

37、 = E H T式中S稱為校正子。它能用來(lái)指示錯(cuò)碼的位置。S和錯(cuò)碼E之間有確定的線性變換關(guān)系。若S和E之間一一對(duì)應(yīng)，則S將能代表錯(cuò)碼的位置。54第11章差錯(cuò)控制編碼u線性分組碼的性質(zhì)p封閉性：封閉性：是指一種線性碼中的任意兩個(gè)碼組之和仍為這種碼中的一個(gè)碼組。這就是說(shuō)，若A1和A2是一種線性碼中的兩個(gè)許用碼組，則(A1+A2)仍為其中的一個(gè)碼組。這一性質(zhì)的證明很簡(jiǎn)單。若A1和A2是兩個(gè)碼組，則有A1 HT = 0,A2 HT = 0將上兩式相加，得出A1 HT + A2 HT = (A1 + A2) HT = 0所以(A1 + A2)也是一個(gè)碼組。由于線性碼具有封閉性，所以兩個(gè)碼組(A1和A2)

38、之間的距離（即對(duì)應(yīng)位不同的數(shù)目）必定是另一個(gè)碼組(A1 + A2)的重量（即“1”的數(shù)目）。因此，碼的最小距離就是碼的最小重量（除全“0”碼組外）。55第11章差錯(cuò)控制編碼l11.6 循環(huán)碼循環(huán)碼n11.6.1 循環(huán)碼原理u循環(huán)性循環(huán)性：循環(huán)性是指任一碼組循環(huán)一位（即將最右端的一個(gè)碼元移至左端，或反之）以后，仍為該碼中的一個(gè)碼組。在下表中給出一種(7, 3)循環(huán)碼的全部碼組。例如，表中的第2碼組向右移一位即得到第5碼組；第6碼組向右移一位即得到第7碼組。 碼組編號(hào)信息位監(jiān)督位碼組編號(hào)信息位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a01000000051001011200101

39、11610111003010111071100101401110018111001056第11章差錯(cuò)控制編碼一般說(shuō)來(lái)，若(an-1 an-2 a0)是循環(huán)碼的一個(gè)碼組，則循環(huán)移位后的碼組(an-2 an-3 a0 an-1)(an-3 an-4 an-1 an-2) (a0 an-1 a2 a1)也是該編碼中的碼組。57第11章差錯(cuò)控制編碼u碼多項(xiàng)式p碼組的多項(xiàng)式表示法把碼組中各碼元當(dāng)作是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，即把一個(gè)長(zhǎng)度為n的碼組表示成例如，上表中的任意一個(gè)碼組可以表示為其中第7個(gè)碼組可以表示為這種多項(xiàng)式中，x僅是碼元位置的標(biāo)記，例如上式表示第7碼組中a6、a5、a2和a0為“1”，其他均為0。

40、因此我們并不關(guān)心x的取值。 012211)(axaxaxaxTnnnn012233445566)(axaxaxaxaxaxaxT11010011)(25623456xxxxxxxxxxT58第11章差錯(cuò)控制編碼p 碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算在整數(shù)運(yùn)算中，有模n運(yùn)算。例如，在模2運(yùn)算中，有1 + 1 = 2 0 (模2)，1 + 2 = 3 1 (模2)， 2 3 = 6 0 (模2)等等。一般說(shuō)來(lái)，若一個(gè)整數(shù)m可以表示為式中，Q 整數(shù)，則在模 n 運(yùn)算下，有m p (模n)即，在模 n 運(yùn)算下，一個(gè)整數(shù)m等于它被 n 除得的余數(shù)。 npnpQnm,59第11章差錯(cuò)控制編碼在碼多項(xiàng)式運(yùn)算中也有類似的按模

41、運(yùn)算。若一任意多項(xiàng)式F(x)被一 n 次多項(xiàng)式N (x)除，得到商式Q(x)和一個(gè)次數(shù)小于n的余式R(x)，即則寫(xiě)為這時(shí)，碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2 運(yùn)算，即系數(shù)只取 0 和1。例如，x3被(x3 + 1)除，得到余項(xiàng)1。所以有同理因?yàn)?()()()(xRxQxNxF）（模)()()(xNxRxF）（模)1(133xx）（模) 1(113224xxxxx xx3 + 1 x4 +x2 + 1 x4 + x x2 +x +1應(yīng)當(dāng)注意，由于在模2運(yùn)算中，用加法代替了減法，故余項(xiàng)不是x2 x + 1，而是x2 + x + 1。60第11章差錯(cuò)控制編碼u循環(huán)碼的碼多項(xiàng)式p在循環(huán)碼中，若T(x)是一個(gè)長(zhǎng)為n的

42、許用碼組，則xiT(x)在按模xn + 1運(yùn)算下，也是該編碼中的一個(gè)許用碼組，即若則T (x)也是該編碼中的一個(gè)許用碼組?！咀C】因?yàn)槿魟t（模(xn + 1)）所以，這時(shí)有）（模) 1()()(nixxTxTx012211)(axaxaxaxTnnnnininininniniinininninniaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxTx1102211011112211)(ininininninaxaxaxaxaxT1102211)(61第11章差錯(cuò)控制編碼上式中T (x)正是T(x)代表的碼組向左循環(huán)移位i次的結(jié)果。因?yàn)樵鸭俣═(x)是循環(huán)碼的一個(gè)碼組，所以T (x)也必為該碼中一個(gè)碼組。

43、例如，循環(huán)碼組其碼長(zhǎng)n = 7?，F(xiàn)給定i = 3，則其對(duì)應(yīng)的碼組為0101110，它正是表中第3碼組。由上述分析可見(jiàn)，一個(gè)長(zhǎng)為n的循環(huán)碼必定為按模(xn + 1)運(yùn)算的一個(gè)余式。ininininninaxaxaxaxaxT1102211)(1)(256xxxxT）（模) 1() 1()(7235358925633xxxxxxxxxxxxxxTx62第11章差錯(cuò)控制編碼u循環(huán)碼的生成矩陣Gp由上節(jié)中公式可知，有了生成矩陣G，就可以由k個(gè)信息位得出整個(gè)碼組，而且生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。例如，在此式中，若a6a5a4a3 = 1000，則碼組A就等于G的第一行；若a6a5a4a3 = 010

44、0，則碼組A就等于G的第二行；等等。由于G是k行n列的矩陣，因此若能找到k個(gè)已知碼組，就能構(gòu)成矩陣G。如前所述，這k個(gè)已知碼組必須是線性不相關(guān)的，否則給定的信息位與編出的碼組就不是一一對(duì)應(yīng)的。p在循環(huán)碼中，一個(gè)(n, k)碼有2k個(gè)不同的碼組。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為“0”的碼組，則g(x)，x g(x)，x2 g(x)，xk-1 g(x)都是碼組，而且這k個(gè)碼組是線性無(wú)關(guān)的。因此它們可以用來(lái)構(gòu)成此循環(huán)碼的生成矩陣G。GA3456aaaa63第11章差錯(cuò)控制編碼p在循環(huán)碼中除全“0”碼組外，再?zèng)]有連續(xù)k位均為“0”的碼組，即連“0”的長(zhǎng)度最多只能有(k - 1)位。否則，在經(jīng)過(guò)若

45、干次循環(huán)移位后將得到一個(gè)k位信息位全為“0”，但監(jiān)督位不全為“0”的一個(gè)碼組。這在線性碼中顯然是不可能的。因此，g(x)必須是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為“0”的(n - k)次多項(xiàng)式，而且這個(gè)g(x)還是這種(n, k)碼中次數(shù)為(n k)的唯一多項(xiàng)式。因?yàn)槿绻袃蓚€(gè)，則由碼的封閉性，把這兩個(gè)相加也應(yīng)該是一個(gè)碼組，且此碼組多項(xiàng)式的次數(shù)將小于(n k)，即連續(xù)“0”的個(gè)數(shù)多于(k 1)。顯然，這是與前面的結(jié)論矛盾的，故是不可能的。我們稱這唯一的(n k)次多項(xiàng)式g(x)為碼的生成多項(xiàng)式。一旦確定了g(x)，則整個(gè)(n, k)循環(huán)碼就被確定了。 64第11章差錯(cuò)控制編碼p因此，循環(huán)碼的生成矩陣G可以寫(xiě)成 p例

46、：在上表所給出的(7, 3)循環(huán)碼中，n = 7, k = 3, n k = 4。由此表可見(jiàn)，唯一的一個(gè)(n k) = 4次碼多項(xiàng)式代表的碼組是第二碼組0010111，與它相對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式（即生成多項(xiàng)式）g(x) = x4 + x2 + x + 1。將此g(x)代入上式，得到或)()()()()(21xgxxgxgxxgxxkkG)()()()(2xgxxgxgxxG001011101011101011100)(xG65第11章差錯(cuò)控制編碼由于上式不符合G = IkQ的形式，所以它不是典型陣。不過(guò)，將它作線性變換，不難化成典型陣。我們可以寫(xiě)出此循環(huán)碼組，即上式表明，所有碼多項(xiàng)式T(x)都可被g

47、(x)整除，而且任意一個(gè)次數(shù)不大于(k 1)的多項(xiàng)式乘g(x)都是碼多項(xiàng)式。需要說(shuō)明一點(diǎn)，兩個(gè)矩陣相乘的結(jié)果應(yīng)該仍是一個(gè)矩陣。上式中兩個(gè)矩陣相乘的乘積是只有一個(gè)元素的一階矩陣，這個(gè)元素就是T(x)。為了簡(jiǎn)潔，式中直接將乘積寫(xiě)為此元素。)()()()()()()()()()(452645262456456xgaxaxaxgaxxgaxgxaxgxxgxgxaaaxaaaxTG66第11章差錯(cuò)控制編碼u如何尋找任一(n, k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式 由上式可知，任一循環(huán)碼多項(xiàng)式T(x)都是g(x)的倍式，故它可以寫(xiě)成T(x) = h(x)g(x)而生成多項(xiàng)式g(x)本身也是一個(gè)碼組，即有 T (x)

48、= g(x)由于碼組T (x)是一個(gè)(n k)次多項(xiàng)式，故xk T (x)是一個(gè)n次多項(xiàng)式。由下式可知，xk T (x)在模(xn + 1)運(yùn)算下也是一個(gè)碼組，故可以寫(xiě)成）（模) 1()()(nixxTxTx1)()(1)(nnkxxTxQxxTx67第11章差錯(cuò)控制編碼上式左端分子和分母都是n次多項(xiàng)式，故商式Q(x) = 1。因此，上式可以化成將T(x)和T(x)表示式代入上式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后得到上式表明，生成多項(xiàng)式g(x)應(yīng)該是(xn + 1)的一個(gè)因子。這一結(jié)論為我們尋找循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式指出了一條道路，即循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式應(yīng)該是(xn +1)的一個(gè)(n k)次因式。例如，(x7 + 1)可

49、以分解為為了求(7, 3)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)，需要從上式中找到一個(gè)(n k) = 4次的因子。不難看出，這樣的因子有兩個(gè)，即1)()(1)(nnkxxTxQxxTx)() 1()(xTxxTxnk)()(1xhxxgxkn) 1)(1)(1(13237xxxxxx68第11章差錯(cuò)控制編碼以上兩式都可作為生成多項(xiàng)式。不過(guò)，選用的生成多項(xiàng)式不同，產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。1) 1)(1(2423xxxxxx1) 1)(1(2343xxxxxx69第11章差錯(cuò)控制編碼n11.6.2 循環(huán)碼的編解碼方法u循環(huán)碼的編碼方法p編碼原則在編碼時(shí)，首先要根據(jù)給定的(n, k)值選定生成多項(xiàng)式g(x)，

50、即從(xn + 1)的因子中選一個(gè)(n - k)次多項(xiàng)式作為g(x)。由于所有碼多項(xiàng)式T(x)都可以被g(x)整除。根據(jù)這條原則，就可以對(duì)給定的信息位進(jìn)行編碼：設(shè)m(x)為信息碼多項(xiàng)式，其次數(shù)小于k。用xn - k乘m(x)，得到的xn-k m(x)的次數(shù)必定小于n。用g(x)除xn - k m(x)，得到余式r(x)，r(x)的次數(shù)必定小于g(x)的次數(shù)，即小于(n k)。將此余式r(x)加于信息位之后作為監(jiān)督位，即將r(x)和xn - k m(x)相加，得到的多項(xiàng)式必定是一個(gè)碼多項(xiàng)式。因?yàn)樗仨毮鼙籫(x)整除，且商的次數(shù)不大于(k 1)。70第11章差錯(cuò)控制編碼p編碼步驟：用xn - k

51、乘m(x)。這一運(yùn)算實(shí)際上是在信息碼后附加上(n k)個(gè)“0”。例如，信息碼為110，它相當(dāng)于m(x) = x2 + x。當(dāng)n k = 7 3 = 4時(shí)，xn - k m(x) = x4 (x2 + x) = x6 + x5，它相當(dāng)于1100000。用g(x)除xn - k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即例如，若選定g(x) = x4 + x2 + x + 1，則 上式相當(dāng)于)()()()()(xgxrxQxgxmxkn11) 1(1)()(24222456xxxxxxxxxxxxgxmxkn1011110111110111110000071第11章差錯(cuò)控制編碼編出的碼組T(x)為

52、T(x) = xn - k m(x) + r(x) 在上例中，T(x) = 1100000 + 101 = 1100101，它就是上表中的第7碼組。72第11章差錯(cuò)控制編碼u循環(huán)碼的解碼方法p解碼要求：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。p檢錯(cuò)解碼原理：由于任意一個(gè)碼組多項(xiàng)式T(x)都應(yīng)該能被生成多項(xiàng)式g(x)整除，所以在接收端可以將接收碼組R(x)用原生成多項(xiàng)式g(x)去除。當(dāng)傳輸中未發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)，接收碼組與發(fā)送碼組相同，即R(x) = T(x)，故接收碼組R(x)必定能被g(x)整除；若碼組在傳輸中發(fā)生錯(cuò)誤，則R(x) T(x)，R(x)被g(x)除時(shí)可能除不盡而有余項(xiàng)，即有因此，就以余項(xiàng)是否為零來(lái)判別接收碼組中有

53、無(wú)錯(cuò)碼。需要指出，有錯(cuò)碼的接收碼組也有可能被g(x)整除。這時(shí)的錯(cuò)碼就不能檢出了。這種錯(cuò)誤稱為不可檢錯(cuò)誤。不可檢錯(cuò)誤中的誤碼數(shù)必定超過(guò)了這種編碼的檢錯(cuò)能力。)(/ )()()(/ )(xgxrxQxgxR73第11章差錯(cuò)控制編碼p糾錯(cuò)解碼原理：為了能夠糾錯(cuò)，要求每個(gè)可糾正的錯(cuò)誤圖樣必須與一個(gè)特定余式有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因?yàn)橹挥写嬖谏鲜鲆灰粚?duì)應(yīng)的關(guān)系時(shí)，才可能從上述余式唯一地決定錯(cuò)誤圖樣，從而糾正錯(cuò)碼。因此，原則上糾錯(cuò)可按下述步驟進(jìn)行：用生成多項(xiàng)式g(x)除接收碼組R(x)，得出余式r(x)。按余式r(x)，用查表的方法或通過(guò)某種計(jì)算得到錯(cuò)誤圖樣E(x)；例如，通過(guò)計(jì)算校正子S和查表，就可以確定錯(cuò)碼

54、的位置。從R(x)中減去E(x)，便得到已經(jīng)糾正錯(cuò)碼的原發(fā)送碼組T(x)。p通常，一種編碼可以有幾種糾錯(cuò)解碼方法，上述解碼方法稱為捕錯(cuò)解碼法。 u目前多采用軟件運(yùn)算實(shí)現(xiàn)上述編解碼運(yùn)算。74第11章差錯(cuò)控制編碼n11.6.3 截短循環(huán)碼截短循環(huán)碼u截短目的：在設(shè)計(jì)糾錯(cuò)編碼方案時(shí)，常常信息位數(shù)k、碼長(zhǎng)n和糾錯(cuò)能力都是預(yù)先給定的。但是，并不一定有恰好滿足這些條件的循環(huán)碼存在。這時(shí)，可以采用將碼長(zhǎng)截短的方法，得出滿足要求的編碼。u截短方法：設(shè)給定一個(gè)(n, k)循環(huán)碼，它共有2k種碼組，現(xiàn)使其前i (0 i k)個(gè)信息位全為“0”，于是它變成僅有2k-i種碼組。然后從中刪去這i位全“0”的信息位，最終

55、得到一個(gè)(n i, k i)的線性碼。將這種碼稱為截短循環(huán)碼。 u截短循環(huán)碼性能：循環(huán)碼截短前后至少具有相同的糾錯(cuò)能力，并且編解碼方法仍和截短前的方法一樣。 u例：要求構(gòu)造一個(gè)能夠糾正1位錯(cuò)碼的(13, 9)碼。這時(shí)可以由(15, 11)循環(huán)碼的11種碼組中選出前兩信息位均為“0”的碼組，構(gòu)成一個(gè)新的碼組集合。然后在發(fā)送時(shí)不發(fā)送這兩位“0”。于是發(fā)送碼組成為(13, 9)截短循環(huán)碼。 75第11章差錯(cuò)控制編碼n11.6.4 BCH碼u什么是BCH碼？它是一種獲得廣泛應(yīng)用的能夠糾正多個(gè)錯(cuò)碼的循環(huán)碼，是以3位發(fā)明這種碼的人名(Bose - Chaudhuri - Hocguenghem)命名的。B

56、CH碼的重要性在于它解決了生成多項(xiàng)式與糾錯(cuò)能力的關(guān)系問(wèn)題，可以在給定糾錯(cuò)能力要求的條件下尋找到碼的生成多項(xiàng)式。有了生成多項(xiàng)式，編碼的基本問(wèn)題就隨之解決了。uBCH碼分類：p本原BCH碼：其生成多項(xiàng)式g(x)中含有最高次數(shù)為m的本原多項(xiàng)式，且碼長(zhǎng)為n = 2m 1，(m 3，為正整數(shù))。p非本原BCH碼：其生成多項(xiàng)式中不含這種本原多項(xiàng)式，且碼長(zhǎng)n是(2m 1)的一個(gè)因子，即碼長(zhǎng)n一定除得盡2m 1。p本原多項(xiàng)式的概念將在下一章介紹。 76第11章差錯(cuò)控制編碼uBCH碼的性能：p碼長(zhǎng)n與監(jiān)督位、糾錯(cuò)個(gè)數(shù) t 之間的關(guān)系：對(duì)于正整數(shù)m (m 3)和正整數(shù)t 1，且除得盡(2m -1)），則為非本原B

57、CH碼。p漢明碼是能夠糾正單個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的碼?？梢宰C明，具有循環(huán)性質(zhì)的漢明碼就是能糾正單個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的本原BCH碼。p例如，(7, 4)漢明碼就是以g1(x) = x3 + x + 1或g2(x) = x3 + x2 + 1生成的BCH碼，而用g3(x) = x4 + x + 1或g4(x) = x4 + x3 + 1都能生成(15, 11)漢明碼。77第11章差錯(cuò)控制編碼uBCH碼的設(shè)計(jì)p在工程設(shè)計(jì)中，一般不需要用計(jì)算方法去尋找生成多項(xiàng)式g(x)。因?yàn)榍叭嗽缫褜ふ业降膅(x)列成表，故可以用查表法找到所需的生成多項(xiàng)式。p下表給出了碼長(zhǎng)n 127的二進(jìn)制本原BCH碼生成多項(xiàng)式。78第11章差錯(cuò)控

58、制編碼n = 3k t g(x)1 1 7n = 63k t g(x)57 1 10351 2 1247145 3 170131739 4 16662356736 5 103350042330 6 15746416534724 7 1732326040444118 10 136302651235172516 11 633114136723545310 13 4726223055272501557 15 52310455435032717371 31 全部為1n = 7k t g(x)4 1 131 3 77n = 15k t g(x)11 1 23 7 2 721 5 3 2467 1 7 7

59、777779第11章差錯(cuò)控制編碼n = 31 k t g(x)26 1 4521 2 355116 3 10765711 5 54233256 7 3133650471 15 = 127 k t g(x)120 1 211113 2 41567106 3 11554743 99 4 3447023271 92 5 624730022327 85 6 130704476322273 78 7 26230002166130115 71 9 6255010713253127753 64 10 1206534025570773100045 57 11 235265252505

60、705053517721 50 13 54446512523314012421501421 43 15 17721772213651227521220574343 36 15 3146074666522075044764574721735 29 22 403114461367670603667530141176155 22 23 123376070404722522435445626637647043 15 27 22057042445604554770523013762217604353 8 31 7047264052751030651476224271567733130217 1 63 全