導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)題及答案

1、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用練習(xí)題答案1.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數(shù)值。； ； 解：該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為，在開區(qū)間上可導(dǎo)，而且，滿足羅爾定理，至少有一點(diǎn)，使，解出。解：該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為，在開區(qū)間上可導(dǎo)，而且，滿足羅爾定理，至少有一點(diǎn)，使，解出。解：該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為，在開區(qū)間上可導(dǎo)，而且，滿足羅爾定理，至少有一點(diǎn)，使，解出。解：該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為，在開區(qū)間上可導(dǎo)，而且，滿足羅爾定理，至少有一點(diǎn)，使，解出。2.下列函數(shù)在給定區(qū)域上是否滿足拉格朗日定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數(shù)值。； ； 解：該函

2、數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為，在開區(qū)間上可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理條件，至少有一點(diǎn)，使，即，解出。解：該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為，即在開區(qū)間上可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理條件，至少有一點(diǎn)，使，即，解出。解：該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)為，即在開區(qū)間上可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理條件，至少有一點(diǎn)，使，即，解出。3.不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有幾個實(shí)根及根所在的范圍。答案：有三個根，分別在4證明：當(dāng)時，恒等式成立證：設(shè)當(dāng)時，連續(xù)，當(dāng)時，可導(dǎo)且即當(dāng)時，即故當(dāng)時，5設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使 證明：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且因，則即在上滿足羅爾定理的條件，則至少存在使又，即而，得6.

3、已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證明：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且即在上滿足羅爾定理的條件，則至少存在使又，即，故7.證明不等式：證明：設(shè)函數(shù)，不妨設(shè)，該函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理有，即，故，由于，所以有8.證明不等式：證明：設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理條件，故，其中，因此有所以9.利用洛必達(dá)法則求下列極限：； 解：；解：；解：； 解： 解：； 解：； 解：； 解：；解：10.設(shè)函數(shù)，若在點(diǎn)處可導(dǎo)，求與的值。解：由于函數(shù)在處可導(dǎo)，因此函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，由連續(xù)的概念有 ，即 按導(dǎo)數(shù)定義有 11.設(shè)函數(shù)，當(dāng)為何值時，在點(diǎn)處連續(xù)。解：函數(shù)連

4、續(xù)定義， ，而； 即當(dāng)時，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。12.求下列函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間：； 解：，有駐點(diǎn)， 由于當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)減少； 由于當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)增加； 解：，令，有， 當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)較少；當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)增加； 當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)較少；當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)增加；解：，令，有，此外有原函數(shù)知， 當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)減少； 當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)增加；13.證明函數(shù)單調(diào)增加。證明：， 等號僅在成立，所以函數(shù)在定義區(qū)間上為單調(diào)增加。14.證明函數(shù) 單調(diào)減少。解：，等號僅在孤立點(diǎn)成立，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)減少。15.證明不等式：證明：設(shè)，在時，且，當(dāng)時

5、，函數(shù)單調(diào)增加，因此；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)減少，因此；所以對一切，且，都有，即16.證明：當(dāng)時，解：設(shè)，當(dāng)所以所以當(dāng)所以所以17.證明：當(dāng)時， 解：設(shè)，當(dāng)所以，18.證明方程在內(nèi)只有一個實(shí)根。證明：令，在上連續(xù)，且由零點(diǎn)定理存在，使，所以是方程在內(nèi)的一個根。又因?yàn)?，?dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在內(nèi)只有一個實(shí)根或用羅爾定理證明只有一個實(shí)根 。19.求下列函數(shù)的極值：； 解：，令，解出駐點(diǎn)為，函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性與極值見圖表所示：00 單調(diào)增加極大7單調(diào)減小極小3單調(diào)增加； 解：，駐點(diǎn)為，函數(shù)的單調(diào)性與極值見表極小極大單調(diào)減小單調(diào)增加單調(diào)減少；解：，駐點(diǎn)為，二階導(dǎo)數(shù)為，顯然，函數(shù)在點(diǎn)取極小值，

6、在處取極大值。； 解：，函數(shù)在處不可導(dǎo)，以此點(diǎn)為界劃分區(qū)間并給出函數(shù)單調(diào)性與極值。不存在單調(diào)增加極大3單調(diào)減少； 解：函數(shù)導(dǎo)數(shù)為，解出駐點(diǎn)為，不可導(dǎo)點(diǎn)為，函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性見表格所示。不存在0單調(diào)增加極大0單調(diào)減少極小單調(diào)增加解：，駐點(diǎn)為，不可導(dǎo)點(diǎn)為，劃分區(qū)間并判斷增減性與極值單調(diào)增加無極值單調(diào)增加單調(diào)減少極小單調(diào)增加 20. 設(shè)，求函數(shù)的極值，曲線的拐點(diǎn)。解：， 解出， ，極小值 ，解出，10+0y凸ln2凹ln2凸 拐點(diǎn)21.利用二階導(dǎo)數(shù)，判斷下列函數(shù)的極值：； 解：，駐點(diǎn)：，因此在點(diǎn)函數(shù)取極大值；，因此在點(diǎn)函數(shù)取極小值；解：，駐點(diǎn)為，由于，因此在處函數(shù)取得極小值。22.曲線過原點(diǎn)，在

7、點(diǎn)處有水平切線，且點(diǎn)是該曲線的拐點(diǎn)，求解：因?yàn)榍€過原點(diǎn)，有，在點(diǎn)處有水平切線，點(diǎn)是該曲線的拐點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，聯(lián)立方程組解出23.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：； 解：，令，得駐點(diǎn)為，計算出駐點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)處所有的函數(shù)值為， 比較上述函數(shù)值，知最大值為； 最小值為。；解：，令，得駐點(diǎn)為，計算出駐點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)處所有的函數(shù)值為，比較上述函數(shù)值，知最大值為；最小值為； 解：，令，得駐點(diǎn)為，計算出駐點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)處所有的函數(shù)值為，比較上述函數(shù)值，知最大值為；最小值為。解：，函數(shù)單調(diào)增加，計算端點(diǎn)處函數(shù)值為， 知最大值為；最小值為24.已知函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求的值。解

8、：，令，解出駐點(diǎn)為，且，因?yàn)?，所以故為最大值，為最小值，即，解出?5. 欲做一個底為正方形，容積為的長方體開口容器，怎樣做所用材料最省？解：設(shè)底面正方形的邊長為，高為，則表面積為， 又體積為，有得，解出，即取底面邊長為，高為時，做成的容器表面積最大。26.欲用圍墻圍成面積為的一塊矩形土地，并在正中間一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最??？解：所用的建筑材料為，其中面積，因此有， ，解出，即當(dāng)取寬為米，長為米時所用建筑材料最省。27.某廠生產(chǎn)某種商品，其年銷量為萬件，每批生產(chǎn)需增加準(zhǔn)備費(fèi)元，而每件的庫存費(fèi)為元，如果年銷售率是均勻的，且上批銷售完成后，立即再

9、生產(chǎn)下一批（此時商品庫存數(shù)為批量的一半），問應(yīng)分幾批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫存費(fèi)之和最??？解：設(shè)100萬件分批生產(chǎn)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫存費(fèi)之和為，則，解出，問5批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)及庫存費(fèi)之和最小。28.確定下列曲線的凹向與拐點(diǎn)：； 解：， 令凹小凸； 解：， 令凸拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸；解：， 令不存在凹拐點(diǎn)凸； 解：，令凸拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹； 解：， 令凸拐點(diǎn)凹 解：，所以在內(nèi)是凹的，無拐點(diǎn)。29.某化工廠日產(chǎn)能力最高為噸，每天的生產(chǎn)總成本（單位：元）是日產(chǎn)量（單位：噸）的函數(shù)：（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時的邊際成本；（2）求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時的平均單位成本。解：（1）邊際成本， （2）平均單位成本，30.生產(chǎn)

10、單位某產(chǎn)品的總成本為的函數(shù)：，求（1）生產(chǎn)單位時的總成本和平均單位成本；（2）生產(chǎn)單位到單位時的總成本的平均變化率；（3）生產(chǎn)單位和單位時的邊際成本。解：（1）， （2） （3）邊際成本為， 31設(shè)生產(chǎn)單位某產(chǎn)品，總收益為的函數(shù)：，求：生產(chǎn)50單位產(chǎn)品時的總收益、平均收益和邊際收益。解：總收益，平均收益，邊際收益， 32.生產(chǎn)單位某種商品的利潤是的函數(shù)：，問生產(chǎn)多少單位時獲得的利潤最大？解：，解出所以生產(chǎn)個單位時，獲得的利潤最大？33.某廠每批生產(chǎn)某種商品單位的費(fèi)用為，得到的收益是，問每批生產(chǎn)多少單位時才能使利潤最大？解：， 令，解出所以每批生產(chǎn)個單位時才能使利潤最大。34.某商品的價格與需求

11、量的關(guān)系為，求（1）求需求量為及時的總收益、平均收益及邊際收益；（2）為多少時總收益最大？解：總收益函數(shù) 平均收益函數(shù)，邊際收益函數(shù)，（1）， ， (2) 解出時總收益最大。35.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，日總成本為元，其中固定成本為200元，每多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10元。該商品的需求函數(shù)為，求為多少時，工廠日總利潤最大？解：成本函數(shù)，令，解得，所以，總利潤最大。高二數(shù)學(xué)（文）選修1-1 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 回扣練習(xí)一、 選擇題1下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ） A、 B、C、 D、 2、已知函數(shù)f(x)=ax2c,且=2,則a的值為( )A0 B C1 D13函數(shù)的遞增區(qū)間是（ ）A B C D4(200

12、9年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 5已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是( )A. B. C. D. 6設(shè)為過拋物線的焦點(diǎn)的弦，則的最小值為（ ）A B C D無法確定7函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A B C D8函數(shù)的最大值為（ ）A B C D9函數(shù)在上 （ ）A是增函數(shù) B是減函數(shù)C有最大值 D有最小值10函數(shù)有（ ）A、極大值5，極小值27 B、極大值5，極小值11C、極大值5，無極小值 D、極小值27，無極大二、 填空題11、函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為_；12函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 。13若在增函數(shù)，則的關(guān)系式為是 。14、曲線在點(diǎn)M(e,1)處的切線的方程為_；