李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

1、 第三章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論3.1 穩(wěn)定性基本概念3.2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性3.3 李雅普諾夫第一法3.4 李雅普諾夫第二法3.5 線性定常系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性判別法1.正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普洛夫意義穩(wěn)定 性概念2.熟練掌握李氏第一法,李氏第二法3.掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析和離散系統(tǒng)漸近穩(wěn) 定性分析方法重點內(nèi)容： 李雅普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李 雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別v研究的目的和意義:穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個重要特征。v要求：在受到外界擾動后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動

2、消失后，仍然能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。v穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無關(guān)。v經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)v非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一，二階非線性系統(tǒng))v1982年，俄國學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量來描述，適用于單變量，線性，非線性，定常，時變，多變量等系統(tǒng)。v應(yīng)用：自適應(yīng)，最優(yōu)控制，非線性控制等。主要內(nèi)容：n李氏第一法（間接法）：求解特征方程 的特征值n李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗和技巧來構(gòu)造李氏函數(shù)3.1 穩(wěn)定性基本概念 1.自治系統(tǒng)：輸入為0的系統(tǒng) =Ax

3、+Bu(u=0) 2.初態(tài) =f(x,t)的解為 初態(tài) 3.平衡狀態(tài)： 系統(tǒng)的平衡狀態(tài) a.線性系統(tǒng) A非奇異： A奇異： 有無窮多個x x 00( ;, )x t x t0000),(xtxtx0),(txfxeeexAxx nRx00eexAx 0eAxexb.非線性系統(tǒng) 可能有多個 eg. 令 0),(txfxeex3221211xxxxxx01x 02x 001ex102ex103exn孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分小的領(lǐng)域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。n 對于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點。3.2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定1.李氏意義下的穩(wěn)定如果對每個

4、實數(shù) 都對應(yīng)存在另一個實數(shù) 滿足00),(0t),(00txxe的任意初始態(tài) 出發(fā)的運動軌跡0 x00( ;, )x t x t，在 都滿足：t000( ;, ) , ex t x txtt則稱 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。時變： 與 有關(guān) 定常系統(tǒng)： 與 無關(guān)， 是一致穩(wěn)定的。注意： 向量范數(shù)(表示空間距離) 歐幾里得范數(shù)。exex0t0t 2.漸近穩(wěn)定1）是李氏意義下的穩(wěn)定2） 一致漸進穩(wěn)定3.大范圍內(nèi)漸進穩(wěn)定性對 都有00lim( ;, )0etx t x tx無關(guān)與0t)(0sx 00lim( ;, )0etx t x txx ( ),s 大范圍穩(wěn)定exex初始條件擴展到整個空間，且是漸

5、進穩(wěn)定性。v線性系統(tǒng)(嚴(yán)格)：如果它是漸進穩(wěn)定的，必 是有大范圍漸進穩(wěn)定性(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初 始條件的大小無關(guān))。v非線性系統(tǒng)：只能在小范圍一致穩(wěn)定，由狀 態(tài)空間出發(fā)的軌跡都收斂 或其附近。v當(dāng) 與 無關(guān) 大范圍一致漸進穩(wěn)定。v必要條件：在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài) v 不穩(wěn)定性：不管 ， 有多小，只要 v 內(nèi)由 出發(fā)的軌跡超出 以外，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。0tex)(s0 x)(s 線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定 表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。 非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定 只說明存在局 發(fā)散的軌跡。至于是否趨于無窮遠(yuǎn) 域外是否存在其它平衡狀態(tài)。若存在極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。)(s3

6、.3 李雅普諾夫第一法（間接法） 利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：1）李氏穩(wěn)定的充要條件： 即系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部。Axx 0)0(xx0tRe()0ini, 2 , 1n非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：n 假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展開成臺勞級數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。n 設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：n 在平衡狀態(tài) 附近存在各階偏導(dǎo)數(shù)，于是：n )(xfx )(xf-非線性函數(shù)0ex()()( )eeeTx xfxf xxxg xx其中：)(xg-級數(shù)展開式中二階以上各項之和)nnnnnTxfxfxfxf

7、xfxfxf2112111n上式為向量函數(shù)的雅可比矩陣。 令 則線性化系統(tǒng)方程為： Tnffff21Tnxxxx21()exxf x exxxexxTxfAxA x 結(jié)論：n 若 ，則非線性系統(tǒng)在 處是漸進穩(wěn)定的，與n 無關(guān)。n 若 n 則不穩(wěn)定。n 若 ，穩(wěn)定性與 有關(guān)， n n 則是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。 Re()0ini, 2 , 1ex)(xgRe()0iRe()0jnji, 1Re()0i)(xg0)(xg3.4 李雅普諾夫第二法(直接法)v穩(wěn)定性定理： 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程： 其平衡狀態(tài)滿足 ，假定狀態(tài)空間原點作為平衡狀態(tài)( )，并設(shè)在原點領(lǐng)域存在 對 x 的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。),(

8、txfx 0), 0(tf0ex),(txVn定理1：若(1) 正定； (2) 負(fù)定； 則原點是漸進穩(wěn)定的。 說明： 負(fù)定 能量隨時間連續(xù)單調(diào)衰減。定理2：若(1) 正定； (2) 負(fù)半定； (3) 在非零狀態(tài)不恒為零，則原點是漸進穩(wěn)定的。),(txV),(.txV),(.txV),(txV),(.txV.0 ( ;, ), V x t x t t說明：不存在 ， 經(jīng)歷能量等于恒定，但不維持在該狀態(tài)。 v定理3：若(1) 正定； (2) 負(fù)半定； (3) 在非零狀態(tài)存 在恒為零；則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 0),(.txV00( ;, )0 x t x t),(txV),(.txV.0

9、( ;, ), V x t x t t說明： 系統(tǒng)維持等能量水平運動，使 維持在非零狀態(tài)而不運行至原點。v定理4：若(1) 正定； (2) 正定 則原點是不穩(wěn)定的。說明： 正定 能量函數(shù)隨時間增大， 在 處發(fā)散。0),(.txV0 x00( ;, )x t x t),(txV),(.txV),(.txV00( ;, )x t x tex 線性系統(tǒng)不穩(wěn)定 非線性系統(tǒng)不一定v推論1：當(dāng) 正定， 正半定，且 在非零狀態(tài)不恒為零時,則原點不穩(wěn)定。v推論2： 正定， 正半定，若 ， ，則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定(同定理3)。原點不穩(wěn)定),(txV),(.txV.0 ( ;, ), V x t x t

10、t),(txV),(.txV0 x0),(.txV幾點說明：n 選取不唯一，但沒有通用辦法，n 選取不當(dāng)，會導(dǎo)致 不定的結(jié)果。n 這僅僅是充分條件。1) -單調(diào)衰減(實際上是衰減振蕩),(txV),(.txV),(txV),(.txV李氏第二法的步驟：n構(gòu)造一個 二次型；n求 ，并代入狀態(tài)方程；n判斷 的定號性；1)判斷非零情況下， 是否為零。),(txV),(.txV),(.txV.0 ( ;, ), V x t x t t漸進穩(wěn)定李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定n令 若 成立 李氏意義 下穩(wěn)定 若僅 成立 漸進穩(wěn)定 0),(.txV0),(.txV0),(.txV0,x 0,x 例1：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方

11、程為： 試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。解：)(2221121.xxxxx)(2221212.xxxxx令01.x02.x01x02x原點是唯一平衡點 設(shè)則2221)(xxxV2.21.1.22)(xxxxxV22221.)(2)(xxxV0)( 0.xVx0)( 0.xVx)(.xV負(fù)定 原點是漸進穩(wěn)定的； 只有一個平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)是大范圍漸進穩(wěn)定； 由于V(x)與t無關(guān)，又是大范圍一致漸進穩(wěn)定。定理1n幾何意義：)()(22212221ccxxxV等能量軌跡(整個平面)1c2c),(2010 xx2x1x例2：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：1) 21.xx 212.xxx令02

12、.x01x02x01.x即原點是平衡狀態(tài)。2221)(xxxV22.2)(xxV設(shè)則：0)( 0 , 0.21xVxx0)( .xV)(.xV其它負(fù)半定令0)(.xV01x02x只有全零解0 x非零狀態(tài)時0)(.xV原點 是漸進穩(wěn)定，且是大范圍一致漸進穩(wěn)定。0ex定理2例3：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：由于 設(shè) 則 故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。 )0( 21.kkxx 12.xx 02.1. xx 021 xx則原點是平衡狀態(tài)2221)(kxxxV.1212( )220V xkx xkx x定理3( )V x 正（負(fù)）半定例4：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解: 即 設(shè)

13、則 可見 與 無關(guān)，故非零狀態(tài)(如 )有 ，而對其余任意狀態(tài) 有212.21. xxxxx0 2.1. xx0 21 xx0ex2221)(xxxV22.2)(xxV)(.xV1x01x02x0)(.xV0)(.xV 故 正半定。 令 即非零狀態(tài)時， 不恒為零，則原點不穩(wěn)定即系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(.xV0, 00)(12.xxxV)(.xV推論13.5 線性定常系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性判別法n 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 為唯一平衡狀態(tài)。 設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù) 為李氏函數(shù) 則：Axx .A-非奇異矩陣0ex)(xV( )TV xx Px將 代入：Axx .( )()TTTTV xx Pxx P xxA PPA

14、x 令 由漸進穩(wěn)定性定理1，只要Q正定(即 負(fù)定)，則系統(tǒng)是大范圍一致漸進穩(wěn)定。定理定理：系統(tǒng) 大范圍漸進穩(wěn)定的充要條 件為: 給定一正交實對稱矩陣Q，存在唯一的正定實對稱矩陣P使 成立，則 為系統(tǒng)的一個李氏函數(shù)。 TA PPAQ QxxxVT)(.)(.xVAxx .TA PPAQ ( )Tx PxV x方法1：給定P Q V(x)選取不定 Q不定。 給定正定Q P Q單位陣 p的定號性方法2：Q取正半定(定理2)允許單位矩陣主對 角線上部分元素為零 負(fù)半定。 ( )Tx PxV x)(.xV例1：解：選取xx1110.0ex( )TV xx PxTA PPAQ 11121112122212220101 11111001pppppppp 1212 p0221211ppp1222212 pp121212322121211pppp02311p0121212322121211ppppP正定 是大范圍一致漸進穩(wěn)定ex2211221(322)02TVx Pxxx xx)(2221.xxVn 線性定常離散系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性判別n 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：n 其中 -非奇異陣， 是平衡狀態(tài)。n 設(shè))() 1(kxkx0ex ( )( )( )TV x kxk Px k ( ) (1) ( )(1