楊輝三角(教案)

1、楊輝三角1目的要求1了解有關楊輝三角的簡史，掌握楊輝三角的根本性質。2通過研究楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律，培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納猜想能力。3通過小組討論，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題。探究知識、建構知識的研究型學習習慣及合作化學習的團隊精神。內容分析本課的主要內容是總結楊輝三角的三個根本性質及研究發(fā)現(xiàn)楊輝三角橫行的假設干規(guī)律。楊輝三角的三個根本性質主要是二項展開式的二項式系數(shù)即組合數(shù)的性質，它是研究楊輝三角其他規(guī)律的根底。楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律主要包括橫行各數(shù)之間的大小關系。組合關系以及不同橫行數(shù)字之間的聯(lián)系。研究性課題，主要是針對某些數(shù)學問題的深入探討，或者從數(shù)學角度對某些日常生活中和其他學科中出現(xiàn)的問

2、題進行研究。目的在于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。它要求教師給學生提供研究的問題及背景，讓學生自主探究知識的發(fā)生開展過。從問題的提出、探索的過程及猜想的建立均主要由學生自主完成，教師不可代替，但作為組織者，可提供必要指導。教師首先簡介楊輝三角的相關歷史，激發(fā)學生的民族自豪感和創(chuàng)造欲望，然后引導學生總結有關楊輝三角的根本知識研究的根底及介紹發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律的主要方法研究的策略，并類比數(shù)列的通項及求和，讓學生對n階楊輝三角進行初步的研究嘗試活動，讓學生充分展開思維進入研究狀態(tài)。以下主要分小組合作研究楊輝三角的橫行數(shù)字規(guī)律，重點發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不必在課堂上證明。教學過程一回憶舊知1用電腦展示賈憲三角圖、朱泄杰

3、的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖附后，同時播放用古代民族樂器演奏的音樂。教師介紹楊輝三角的簡史：北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角進行高次開方運算，南宋數(shù)學家楊輝在?詳解九章算法?1961年記載并保存了“賈憲三角，故稱楊輝三角。元朝數(shù)學家朱世杰在?四元玉鑒?1303年擴充了“賈憲三角成“古法七乘方圖。在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學家帕斯卡在13歲時發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角。2用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發(fā)給學生。對照楊輝三角，回憶高二下學期學過的楊輝三角的構造及根本性質，并由學生表達。1°與二項式定理的關系：楊輝三角的第n行就是二項式展開式的系數(shù)列。2°

4、;對稱性：楊輝三角中的數(shù)字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高，即。3°結構特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上的兩數(shù)之和，即。二分組研究楊輝三角橫行規(guī)律將全班學生按前后排四或五人一組分成假設干研究小組1介紹數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法：楊輝三角中蘊涵了許多優(yōu)美的規(guī)律。古今中外，許多數(shù)學家如賈憲、楊輝、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，并將研究結果應用于其他工作。他們研究的方法可以歸納為：   15階楊輝三角2學生嘗試探索活動。1n階楊輝三角中共有多少個數(shù)？2n階楊輝三角的通項公式是什么？即n階楊輝三角中的第k行第r個數(shù)是什么？3n階楊輝三角的第k行各

5、數(shù)的和是多少？所有數(shù)的和是多少？學生獨立思考后，由學生發(fā)言，得出結論。n階楊輝三角中共有個數(shù)，第n+2行第3個數(shù)；通項公式為，。3按研究橫行數(shù)字規(guī)律的方向開展研究工作，工作的重點是發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師巡視指導，必要時可參與某小組的討論活動。最后由小組代表陳述研究結果及建立猜想的大致思路。1楊輝三角的第2k行中第k個數(shù)最大；即；第2k1行中第是k個數(shù)與第kl個數(shù)相等且最大，即；2k階楊輝三角中最大數(shù)為，2k1階楊輝三角中的最大數(shù)為。  2楊輝三角中第行的所有數(shù)都是奇數(shù)kN*，即為奇數(shù)m=0，1，；第行的所有數(shù)除兩端的1以外都是偶數(shù)kN*，即為偶數(shù)r=1，2，；其他行的所有數(shù)中，一定既有偶數(shù)又

6、有除1以外的奇數(shù)。3第pp為素數(shù)行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除，其逆命題也成立。即對任意r1，2，n-1，都有是素數(shù)。4將第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于。5第2n行的第n個數(shù)是第2n-1行的第n-1個數(shù)的2倍，即。 三小結 1請學生小結自己在研究過程中的體驗：如何選定研究線索，使用什么方法發(fā)現(xiàn)結論，碰到什么困難，如何突破創(chuàng)新等。2教師標準對楊輝三角各性質的表述，小結探究思路。布置作業(yè)如圖，每一幅小圖中的圓的個數(shù)及圓上的點、線段、三角形、四邊形、五邊形、六邊形的數(shù)目有一定的變化規(guī)律，研究楊輝三角，你能找出兩者間的關系嗎？ 附1：

7、證明：當時，是奇數(shù)。證明：對任何一個正整數(shù)m，都存在唯一的自然數(shù)與正奇數(shù)，使。設，。當時，上式的分子、分母都是奇數(shù)，且分式值是正整數(shù)，是奇數(shù)。附2： 楊輝三角2目的要求 1探索楊輝三角斜行的數(shù)字規(guī)律，并應用規(guī)律求一類數(shù)列的前n項和；2探索楊輝三角與其他數(shù)學對象之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識方法的能力。 內容分析本節(jié)課的主要內容是繼續(xù)研究楊輝三角的數(shù)字規(guī)律及其與其他數(shù)學問題之間的聯(lián)系。1從研究平行于楊輝三角形“兩腰的斜邊上的數(shù)字規(guī)律的過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)朱世杰恒等式：。這個規(guī)律其實是楊輝三角第三條根本性質的推廣形式。應用朱世杰恒等式，可以求出的和式值。2研究經過兩

8、數(shù)，或的斜邊上的數(shù)字規(guī)律，可以得到著名的斐波那契數(shù)列。由斐波那契數(shù)列的通項公式，可得組合數(shù)的性質：，。3將階楊輝三角形中去掉所有的偶數(shù)，剩下的圖形類似于分形幾何中的謝爾賓斯基三角形如圖，這種三角形是研究自然界大量存在的不規(guī)那么現(xiàn)象海岸線性狀、大氣運動、海洋湍流、野生生物群體漲落，乃至股市升降等的嶄新教學工具。4教科書中的正六棱柱形木板滾球實驗說明楊輝三角與概率統(tǒng)計之間存在聯(lián)系。講授時，老師應制作一個教具，并用16個小球。做實驗假設干次，然后引導學生挖掘實驗結果與楊輝三角之間的關系，并用排列組合知識與概率知識加以解釋。教學過程1用電腦展示8階楊輝三角圖，以備用上節(jié)課主要是研究楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)

9、律，這節(jié)課首先來研究斜行的數(shù)字規(guī)律如圖。 2學生分小組研究，得出的結果可能是：1n階楊輝三角形的第k+1條斜邊上的數(shù)從左到右，從上到下組成的數(shù)列是：。2上述數(shù)列的和為：。3引導學生證明上述等式，并介紹有關朱世杰研究上述組合數(shù)恒等式的情況1證明過程： 2朱世杰問題如象招數(shù)問題：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，今招十五日，問招兵幾何？用數(shù)列語言來說就是：第k日招兵，共招n日，一共招兵多少？問題可轉化為求和： 。4引導學生觀察8階楊輝三角表。研究圖中標出的斜行各數(shù)之間的關系1將各斜邊的數(shù)字相加后按從上而下的順序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。2研究上述數(shù)列的規(guī)律

10、后，可以猜想：無窮階楊輝三角類似的數(shù)列為：3引導學生將表示成組合數(shù)的和，并證明。，根據楊輝三角的根本性質3可以推出。4指出上述數(shù)列是斐波那契數(shù)列，該數(shù)列有廣泛應用。5觀察以下圖15階楊輝三角中，各小正三角形內的數(shù)有什么特點？并推廣到階楊輝三角中 1自上而下第k個正三角形內的數(shù)都是偶數(shù)，即都是偶數(shù)kN*。2第k個正三角形兩腰外的第一條斜邊上的數(shù)都是奇數(shù)，即都是奇數(shù)kN*。這條性質和上節(jié)課推出的性質“第行上的所有數(shù)中既有偶數(shù)也有非1的奇數(shù)相吻合。3階楊輝三角中，偶數(shù)與奇數(shù)，哪個更多？階楊輝三角中，共有個奇數(shù)，共有個偶數(shù)kN*，試比較與的大小留課外思考。6演示實驗教師或學生將16個均勻小球

11、逐個平穩(wěn)地放入如圖的教具內。統(tǒng)計最后各個矩形框內的小球個數(shù)。連續(xù)做三次實驗，分析統(tǒng)計結果；并將結果推廣到有n+1層的教具，個小球的情形，并給出合理解析。1設小球從第一層落入第n層下面的第k個矩形框的通道條數(shù)為Fn，k，那么根據教具的對稱性及小球的均勻性，可建立如下遞推模式：F1，1=1，F(xiàn)n，k=Fn，n-k+1，F(xiàn)n+1，k=Fn，k-1+Fn，k，k=1，2，n+1，規(guī)定Fn，0=Fn，n+1=0nN*。    類比楊輝三角形的根本性質：可猜想：?？梢杂脭?shù)列方法證明結論為真，留課后思考故在理想狀態(tài)下，個小球從第一層落到第n層，從左到右各矩形框內的小球個數(shù)分別為。2小球從某層落到下層可看作進行一次隨機試驗，其中小球向左邊落入的概率為。那么小球從第一層落到第n+1層可以看成是進行n次獨立重復試驗，小球最后落入第k個矩形框內可以看成是小球從左邊落入恰好發(fā)生n-k+1次，其概率為。在大量重復試驗下，統(tǒng)計規(guī)律為：個小球落到第n+1層的第k個矩形框內的小球個數(shù)為。7小結楊輝三角奧秘無窮，只要大家從不同角度運用合情推理及邏輯推理的方法，一定會發(fā)現(xiàn)更多