2009年江西高考文科數(shù)學(xué)卷（含詳細(xì)答案解析）

1、絕密啟用前2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）文科數(shù)學(xué)本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第卷1至2頁(yè)，第卷3至4頁(yè)，共150分?？忌⒁猓?. 答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2. 第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。第卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫作答。在試題卷上作答，答案無(wú)效。3. 考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回。參考公式如果事件互斥，那么 球的表面積公式

2、如果事件，相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑 第卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1下列命題是真命題的為 A若,則 B若,則 C若,則 D若,則 答案：A【解析】由得,而由得,由,不一定有意義,而得不到 故選A. 2函數(shù)的定義域?yàn)锳BCD答案：D【解析】由得或,故選D. 350 名學(xué)生參加甲、乙兩項(xiàng)體育活動(dòng)，每人至少參加了一項(xiàng)，參加甲項(xiàng)的學(xué)生有30名，參加乙項(xiàng)的學(xué)生有25名，則僅參加了一項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為A50 B45 C40

3、 D35答案：B【解析】?jī)H參加了一項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)=50-(30+25-50)=45, 故選B.4函數(shù)的最小正周期為A B C D 答案：A【解析】由可得最小正周期為,故選A.5已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，則的值為A B C D答案：C【解析】,故選C.6若能被整除，則的值可能為 A B C D答案：C【解析】,當(dāng)時(shí),能被7整除, 故選C. 7.設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn), 若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為 A B C D3答案：B【解析】由有,則,故選B.8公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng), ,則等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90答

4、案：C【解析】由得得,再由得 則,所以,.故選C9如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為. . 截面 . . 異面直線與所成的角為答案：C【解析】由，可得，故正確；由可得截面，故正確； 異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯(cuò)誤的，故選.10甲、乙、丙、丁個(gè)足球隊(duì)參加比賽，假設(shè)每場(chǎng)比賽各隊(duì)取勝的概率相等，現(xiàn)任意將這個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組兩個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為A B C D答案：D【解析】所有可能的比賽分組情況共有種，甲乙相遇的分組情況恰好有6種，故選. 11如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)在平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不 變，其在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度的圖象大

5、致為 答案：B【解析】由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)的速度先由正到0、到負(fù)數(shù)，再到0，到正，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近0，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在開(kāi)始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)的速度為常數(shù)，因此是錯(cuò)誤的，故選.12若存在過(guò)點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于 A或 B或 C或 D或答案：A【解析】設(shè)過(guò)的直線與相切于點(diǎn)，所以切線方程為即，又在切線上，則或，當(dāng)時(shí)，由與相切可得，當(dāng)時(shí)，由與相切可得，所以選.絕密啟用前2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）文科數(shù)學(xué)第卷注意事項(xiàng)： 第卷2頁(yè)，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫作答，若在試題上作答，答案無(wú)效。二.填空題：本大題共4小題，每小

6、題4分，共16分。請(qǐng)把答案填在答題卡上 13已知向量， ，若 則= 答案： 【解析】因?yàn)樗?14體積為的一個(gè)正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于 答案：【解析】設(shè)球的半徑為，依題設(shè)有，則，球的體積為 15若不等式的解集為區(qū)間，且,則 答案：【解析】由數(shù)形結(jié)合，半圓在直線之下必須，則直線過(guò)點(diǎn)，則 16設(shè)直線系,對(duì)于下列四個(gè)命題： 存在一個(gè)圓與所有直線相交 存在一個(gè)圓與所有直線不相交 存在一個(gè)圓與所有直線相切 中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號(hào)是 （寫出所有真命題的代號(hào)）答案：ABC 【解析】因?yàn)樗渣c(diǎn)到中每條直線的距離即為圓:的全體切線組成的集合,所以存在圓心在,

7、半徑大于1的圓與中所有直線相交, 也存在圓心在,半徑小于1的圓與中所有直線均不相交, 也存在圓心在,半徑等于1的圓與中所有直線相切,故ABC正確,又因中的邊能組成兩類大小不同的正三角形,故D錯(cuò)誤,故命題中正確的序號(hào)是ABC 三.解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟17（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) （1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍 解：(1) , 因?yàn)? 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值為 (2) 因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ; 所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ; 當(dāng)時(shí),取極小值 ; 故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)

8、實(shí)根. 解得 或.18（本小題滿分12分）某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予5萬(wàn)元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助求：(1) 該公司的資助總額為零的概率；（2）該公司的資助總額超過(guò)15萬(wàn)元的概率解：（1）設(shè)表示資助總額為零這個(gè)事件，則（2）設(shè)表示資助總額超過(guò)15萬(wàn)元這個(gè)事件，則 19（本小題滿分12分）在中，所對(duì)的邊分別為，（1）求；（2）若，求,，解：（1）由 得 則有 = 得 即.（2） 由 推出 ；而,即得, 則

9、有 解得 20（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離解：方法（一）：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則.因?yàn)槠矫妫瑒t，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)椋云矫?，則，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離.因?yàn)樵赗tPAD中，所以為中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為. （3）設(shè)所求距離為，由，得：21（本小題滿分12分）數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 兩式相減得故 22（本小題滿分14分）如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點(diǎn). （1）求圓的半徑;（2）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)