第7講聯(lián)立方程模型初步

1、1第七講第七講 聯(lián)立方程模型初步聯(lián)立方程模型初步一一 什么是聯(lián)立方程模型什么是聯(lián)立方程模型二二 聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤三三 聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別四四 聯(lián)立方程模型的估計聯(lián)立方程模型的估計2研究對象研究對象經(jīng)濟系統(tǒng)，而不是單個經(jīng)濟活動經(jīng)濟系統(tǒng)，而不是單個經(jīng)濟活動;相互依存、互為因果，而不是單向因果關相互依存、互為因果，而不是單向因果關系系; ;必須用一組方程才能描述清楚必須用一組方程才能描述清楚. . 3什么是聯(lián)立方程模型什么是聯(lián)立方程模型例題：需求與供給模型例題：需求與供給模型（恒等式）SDtttStttDttttQQvTPQuYPQ2102104內(nèi)生變量內(nèi)生變量 （Endoge

2、nous Variables）內(nèi)生變量是具有某種概率分布的隨機變量，它的參數(shù)是聯(lián)立方程系統(tǒng)估計的元素。內(nèi)生變量是由模型系統(tǒng)決定的，同時也對模型系統(tǒng)產(chǎn)生影響。內(nèi)生變量與隨機項相關。在聯(lián)立方程模型中，內(nèi)生變量既作為被解釋變量，又可以在不同的方程中作為解釋變量。5外生變量外生變量 (Exogenous Variables)外生變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分布的隨機變量，其參數(shù)不是模型系統(tǒng)研究的元素。外生變量影響系統(tǒng)，但本身不受系統(tǒng)的影響。一般情況下，外生變量與隨機項不相關。6先決變量（先決變量（Predetermined Variables，亦稱前定變量）亦稱前定變量） 外生變量與滯后內(nèi)

3、生變量(Lagged Endogenous Variables)統(tǒng)稱為先決變量。滯后內(nèi)生變量是聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型中重要的不可缺少的一部分變量，用以反映經(jīng)濟系統(tǒng)的動態(tài)性與連續(xù)性。先決變量只能作為解釋變量。 7什么是聯(lián)立方程模型什么是聯(lián)立方程模型例題：例題：IS模型模型GrITYYCGICYTYYwYTvrIuYCdttttttdttttttttdtt外外生生變變量量：、內(nèi)內(nèi)生生變變量量：（恒恒等等式式）（恒恒等等式式）（結結構構方方程程）（結結構構方方程程）（結結構構方方程程） 101010 8tttttttttttGICYYYIYC21210110什么是聯(lián)立方程模型什么是聯(lián)立方程模型例題：

4、簡單的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)模型例題：簡單的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)模型由國內(nèi)生產(chǎn)總值Y、居民消費總額C、投資總額I和政府消費額G等變量構成簡單的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)。9什么是聯(lián)立方程模型什么是聯(lián)立方程模型例題：犯罪率與警察部門規(guī)模例題：犯罪率與警察部門規(guī)模EduPoliceCrimevCrimePoliceuEduPoliceCrimettttttt外生變量：外生變量：、內(nèi)生變量：內(nèi)生變量：（結構方程）（結構方程）（結構方程）（結構方程） 10210 10什么是聯(lián)立方程模型什么是聯(lián)立方程模型幾個概念幾個概念聯(lián)立方程模型（聯(lián)立方程模型（simultaneous equation model, SEM）內(nèi)生變量（內(nèi)生變量（e

5、ndogenous variable）外生變量（外生變量（exogenous variable）結構方程結構方程/行為方程（行為方程（structural/behavioral equation）恒等式（恒等式（identity）結構系數(shù)（結構系數(shù)（structural coefficient）前定變量（前定變量（predetermined variable）外生變量外生變量滯后內(nèi)生變量滯后內(nèi)生變量11結構式模型結構式模型 Structural ModelStructural Model12根據(jù)經(jīng)濟理論和行為規(guī)律建立的描述經(jīng)濟變量之間直接結構關系的計量經(jīng)濟學方程系統(tǒng)稱為結構式模型。 將一個內(nèi)生

6、變量表示為其它內(nèi)生變量、先決變量和隨機誤差項的函數(shù)形式，被稱為結構方程的正規(guī)形式。 什么是結構式模型什么是結構式模型13 行 為 方 程 技 術 方 程 隨 機 方 程 制 度 方 程 統(tǒng) 計 方 程 定 義 方 程 恒 等 方 程 平 衡 方 程 經(jīng) 驗 方 程 結構式模型的方程類型結構式模型的方程類型14具有g個內(nèi)生變量、k個先決變量、g個結構方程的模型被稱為完備的結構式模型。在完備的結構式模型中，獨立的結構方程的數(shù)目等于內(nèi)生變量的數(shù)目，每個內(nèi)生變量都分別由一個方程來描述。 完備的結構式模型完備的結構式模型15習慣上用Y表示內(nèi)生變量，X表示先決變量，表示隨機項，表示內(nèi)生變量的結構參數(shù)，表示

7、先決變量的結構參數(shù)，如果模型中有常數(shù)項，可以看成為一個外生的虛變量，它的觀測值始終取1。 YX()YX 結構式模型的矩陣表示結構式模型的矩陣表示16Y YYYyyyyyyyyygnngggn12111212122212XXXXxxxxxxxxxknnkkkn121112121222121712111212122212gnngggn111212122212gggggg 111212122212kkkkkk18tttttttttttGICYYYIYC21210110YCIYC CCIIIY YYtttnnn121212X1111101112YGYYYG GGttnn例：簡單的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)模型例：簡

8、單的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)模型191211121212220000nn() 100001011100110102tttttttttttGICYYYIYC2121011020簡化式模型簡化式模型 Reduced-Form ModelReduced-Form Model21用所有先決變量作為每個內(nèi)生變量的解釋變量，所形成的模型稱為簡化式模型。簡化式模型中每個方程稱為簡化式方程(Reduced-Form Equations)(Reduced-Form Equations)，方程的參數(shù)稱為簡化式參數(shù)(Reduced-Form Coefficients)(Reduced-Form Coefficients) 。

9、簡化式模型簡化式模型22YX111212122212kkgggk12111212122212gnngggn簡化式模型的矩陣形式簡化式模型的矩陣形式23CYGIYGYYGtttttttttttt101111220211223031132例：簡單的宏觀經(jīng)濟模型的簡化式模型例：簡單的宏觀經(jīng)濟模型的簡化式模型24參數(shù)關系體系參數(shù)關系體系25該式描述了簡化式參數(shù)與結構式參數(shù)之間的關該式描述了簡化式參數(shù)與結構式參數(shù)之間的關系，稱為參數(shù)關系體系。系，稱為參數(shù)關系體系。 1YX YXYX 11YX參數(shù)關系體系參數(shù)關系體系26聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤如果忽略解釋變量的內(nèi)生性而使用如果忽略解釋變量

10、的內(nèi)生性而使用OLS估計，會得估計，會得到系數(shù)的有偏非一致估計量，稱為到系數(shù)的有偏非一致估計量，稱為聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤（simultaneity bias）出現(xiàn)偏誤的根本原因是解釋變量是隨機變量，并且出現(xiàn)偏誤的根本原因是解釋變量是隨機變量，并且與誤差項是相關的與誤差項是相關的27聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤：內(nèi)生變量與誤差項相關聯(lián)立性偏誤：內(nèi)生變量與誤差項相關010101122111()()11( )()()11( )1cov( ,)( )( )11()011tttttttttttttttttttttCYuYCIYIuE YIYE YuY uE YE YuE uE u28聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏

11、誤聯(lián)立性偏誤：聯(lián)立性偏誤：OLS估計量的有偏性估計量的有偏性112211211()()()()()()()()()()()cov( ,)01()tttttttttttttCC YYYY uYYYYYY uuEEYYYY uuY unE證明參見有關序列相關估計偏誤的證明樣本協(xié)方差29聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤：聯(lián)立性偏誤：OLS估計量的非一致性估計量的非一致性112121111 )Yvar()u,Ycov()n/()YY()n/()uu)(YY(limp)YY(u)YY(limp)lim(p)lim(pttttttttt30聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別定義定義不可識別（不可識別（un

12、identified/ under-identified ）的方程：聯(lián)的方程：聯(lián)立方程模型中無法估計出結構系數(shù)的結構方程立方程模型中無法估計出結構系數(shù)的結構方程恰可識別（恰可識別（exactly identified）的方程）的方程：聯(lián)立方程模型中：聯(lián)立方程模型中能夠唯一地估計出結構系數(shù)的結構方程能夠唯一地估計出結構系數(shù)的結構方程過度識別（過度識別（over-identified ）的方程）的方程：聯(lián)立方程模型中可：聯(lián)立方程模型中可以估計出一組結構系數(shù)的結構方程以估計出一組結構系數(shù)的結構方程可識別的聯(lián)立方程模型可識別的聯(lián)立方程模型：每一個結構方程都可識別的聯(lián)立：每一個結構方程都可識別的聯(lián)立方程

13、模型方程模型不可識別的聯(lián)立方程模型不可識別的聯(lián)立方程模型：至少有一個結構方程不可識別：至少有一個結構方程不可識別的聯(lián)立方程模型的聯(lián)立方程模型31聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別例題：恰可識別例題：恰可識別1222212122212222111222231223122213222212222112112221122223131222131212222111112232221113121122322211131211 uuv,uuv,vTYQvTYPQQuTPQuYPQSDtttStttDtttt32聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別例題：恰可識別例題：恰可識別個結構系數(shù)?？梢晕ㄒ坏卮_定個簡

14、化系數(shù)再計算結構系數(shù)。而且出簡化系數(shù)，在本例中，可以先估計6622322211131211vTYQvTYP33聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別例題：過度識別例題：過度識別1222212122212222111222231224122222142312221322221222211211222112222314122214131222131212222111112242322211141312112232221114131211 uuv,uuv,vTWYQvTWYPQQuTPQuWYPQSDtttSttttDtttt34聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別例題：過度識別的模型例題：過度識別的

15、模型在本例中，有在本例中，有7個待估結構系數(shù)，卻有個待估結構系數(shù)，卻有8個簡化系數(shù)，個簡化系數(shù)，無法確定唯一的結構系數(shù)無法確定唯一的結構系數(shù)35聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別例題：不可識別例題：不可識別個個簡簡化化方方程程只只有有個個待待估估的的結結構構系系數(shù)數(shù)，但但有有241222212122212222111222211211222112222111112211112222111211 uuv,uuv,vQvPQQQuPQuPQSDttSttDtttt36聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別例題：不可識別例題：不可識別122221212221222211122213222212222

16、1121122211222131212222111112222111211222211131211 uuv,uuv,vYQvYPQQuPQuYPQSDttStttDtttt37聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別例題：不可識別例題：不可識別別別的，而需求方程不可識的，而需求方程不可識因此供給方程是可識別因此供給方程是可識別，。但是，可以證明：。但是，可以證明：因而模型是不可識別的因而模型是不可識別的個簡化方程。個簡化方程。有有個待估結構系數(shù)，但只個待估結構系數(shù)，但只在本例中，有在本例中，有1122212112222245 38聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別結構方程識別的結構式條件結構方程

17、識別的結構式條件P201例例6.3.1ii000000iiiigikiBig-1RBiRBik1k1gkkgkg：模型中內(nèi)生變量的個數(shù)：模型中先決變量的個數(shù)(含常數(shù)項)：第 個方程中內(nèi)生變量的個數(shù)：第 個方程中先決變量的個數(shù)(含常數(shù)項)：第 個方程中未包含的變量在其他個方程中對應系數(shù)所組成的矩陣若 （） g-1，則第 個結構方程不可識別若 （） g-1，則第 個結構方程可識別，并且若，方程恰可識別若，方程過度識別39聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別結構方程識別的階條件結構方程識別的階條件gg111iiiiiiiikKKkKkgKkg：該方程中內(nèi)生變量的個數(shù)：該方程中前定變量的個數(shù)：模型中前

18、定變量的個數(shù)若，方程不可識別若，方程恰可識別若，方程過度識別40聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的識別階條件的另一種描述階條件的另一種描述見見P202例例6.3.2111gkkgkgkg：模型中內(nèi)生變量的個數(shù)：不包括在該方程中的變量個數(shù)（包括內(nèi)生和前定變量）若，方程不可識別若，方程恰可識別若，方程過度識別41聯(lián)立方程模型的估計聯(lián)立方程模型的估計估計方法估計方法1.單方程估計法：對模型中每一個可識別的方程逐一單獨進單方程估計法：對模型中每一個可識別的方程逐一單獨進行估計，最后獲得整個模型的結構系數(shù)，也將單方程估計行估計，最后獲得整個模型的結構系數(shù)，也將單方程估計方法稱為有限信息估計方法。方法稱為有

19、限信息估計方法。 a.間接最小二乘法（間接最小二乘法（ILS）b.兩階段最小二乘法（兩階段最小二乘法（2SLS）c.有限信息最大似然法（有限信息最大似然法（LIML）2.系統(tǒng)估計法：對整個模型的所有結構方程同時進行估計系統(tǒng)估計法：對整個模型的所有結構方程同時進行估計，也將系統(tǒng)估計方法稱為完全信息估計方法。也將系統(tǒng)估計方法稱為完全信息估計方法。 a.三階段最小二乘法（三階段最小二乘法（3SLS）b.完全信息最大似然法（完全信息最大似然法（FIML）42聯(lián)立方程模型的估計聯(lián)立方程模型的估計恰可識別方程的估計恰可識別方程的估計間接最小二乘法間接最小二乘法(ILS, (ILS, Indirect Le

20、ast Squares)Indirect Least Squares)對于恰可識別的方程，可先將結構方程轉(zhuǎn)化為簡化方程，對于恰可識別的方程，可先將結構方程轉(zhuǎn)化為簡化方程，用用OLS估計出簡化系數(shù)，再解出結構系數(shù)。稱為估計出簡化系數(shù)，再解出結構系數(shù)。稱為間接最小間接最小二乘法（二乘法（indirect least square, ILS）利用利用ILS，可以得到結構系數(shù)的有偏一致估計量，可以得到結構系數(shù)的有偏一致估計量43Y1001 (,)YX00Y100001YX1010010YXY4400000001YX YX000000000000XX 0000000000XXX* 45000010020

21、00010000020 用OLS估計簡化式模型，得到簡化式參數(shù)估計量，代入該參數(shù)關系體系，先由第2組方程計算得到內(nèi)生解釋變量的參數(shù)，然后再代入第1組方程計算得到先決解釋變量的參數(shù)。于是得到了結構方程的所有結構參數(shù)估計量。 46間接最小二乘法也是一種工具變量方法間接最小二乘法也是一種工具變量方法 ILS等價于一種工具變量方法：依次選擇X作為（Y0,X0）的工具變量。估計結果為：估計結果為：000011ILSYXYXX47聯(lián)立方程模型的估計聯(lián)立方程模型的估計過度識別方程的估計過度識別方程的估計兩階段最小二乘法兩階段最小二乘法由于使用由于使用OLS方法估計結構系數(shù)產(chǎn)生偏誤的原因是內(nèi)生解方法估計結構系

22、數(shù)產(chǎn)生偏誤的原因是內(nèi)生解釋變量與誤差項相關，因此，可以考慮找到一個與該內(nèi)生釋變量與誤差項相關，因此，可以考慮找到一個與該內(nèi)生變量高度相關但與誤差項不相關的變量高度相關但與誤差項不相關的工具變量（工具變量（instrument variable），然后再用這個工具變量作為解釋變量來求解，然后再用這個工具變量作為解釋變量來求解結構系數(shù)。這種方法需要進行兩次結構系數(shù)。這種方法需要進行兩次OLS估計，稱為估計，稱為兩階段兩階段最小二乘法（最小二乘法（two-stage least square, 2SLS）I.階段階段1：以過度識別方程中的內(nèi)生解釋變量為因變量，模：以過度識別方程中的內(nèi)生解釋變量為因變

23、量，模型中所有的前定變量為自變量，進行型中所有的前定變量為自變量，進行OLS估計，得到該內(nèi)估計，得到該內(nèi)生解釋變量的估計值，作為工具變量生解釋變量的估計值，作為工具變量II.階段階段2：以工具變量替代過度識別方程中的內(nèi)生解釋變量，：以工具變量替代過度識別方程中的內(nèi)生解釋變量，進行進行OLS估計，得到該方程結構系數(shù)的估計估計，得到該方程結構系數(shù)的估計48聯(lián)立方程模型的估計聯(lián)立方程模型的估計過度識別方程的估計過度識別方程的估計兩階段最小二乘法兩階段最小二乘法(2SLS, Two Stage Least Squares)兩點說明兩點說明利用利用2SLS，可以得到結構系數(shù)的有偏一致估計量，可以得到結構

24、系數(shù)的有偏一致估計量對于恰可識別的方程，對于恰可識別的方程，ILS和和2SLS的估計量完全相同的估計量完全相同492SLS2SLS是應用最多的單方程估計方法是應用最多的單方程估計方法IV和ILS一般只適用于聯(lián)立方程模型中恰好識別的結構方程的估計。在實際的聯(lián)立方程模型中，恰好識別的結構方程很少出現(xiàn)，一般情況下結構方程都是過度識別的。2SLS是一種既適用于恰好識別的結構方程，又適用于過度識別的結構方程的單方程估計方法。 502SLS2SLS的方法步驟的方法步驟第一階段：對內(nèi)生解釋變量的簡化式方程使用第一階段：對內(nèi)生解釋變量的簡化式方程使用OLSOLS。得到：得到：()YXXX XX Y0010 用估計量代替結構方程中的內(nèi)生解釋變量，用估計量代替結構方程中的內(nèi)生解釋變量，得到新的模型：得到新的模型：Y1001 (,)Y X0051