2010年北京西城區(qū)高考一模試題：數(shù)學(xué)（理）

1、北京市西城區(qū)2010年抽樣測試高三數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷分第I卷和第II卷兩部分，第I卷1至2頁，第II卷3至5頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第I卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1設(shè)集合，則下列結(jié)論正確的是ABCD2函數(shù)的最小值和最小正周期分別是ABCD3設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則等于A10B12C15D304甲乙兩名運動員在某項測試中的8次成績?nèi)缜o葉圖所示，分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的平均數(shù)，分別表示甲乙兩名

2、運動員這項測試成績的標準差，則有ABCD5閱讀右面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果為ABCD6某會議室第一排共有8個座位，現(xiàn)有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法種數(shù)為A12B16C24D327已知平面區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機投一點P，點P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為ABCD8如圖，平面平面，=直線，A，C是內(nèi)不同的兩點，B，D是內(nèi)不同的兩點，且A，B，C，D直線，M，N分別是線段AB，CD的中點。下列判斷正確的是A當時，M，N兩點不可能重合BM，N兩點可能重合，但此時直線AC與不可能相交C當AB與CD相交，直線AC平行于時，直線BD可以與相交D當AB，CD是異面直線時，直線MN可能與平行

3、第II卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9若，其中，i為虛數(shù)單位，則 。10已知，、的夾角為60°，則 。11將極坐標方程化成直角坐標方程為 。12如圖，切于點，割線經(jīng)過圓心，弦于點。已知的半徑為3，則 。 。13已知雙曲線的左頂點為，右焦點為 ，為雙曲線右支上一點，則最小值為 。14設(shè)函數(shù)的定義域為D，若存在非零實數(shù)使得對于任意，有，且，則稱為M上的高調(diào)函數(shù)。如果定義域為的函數(shù)為上的高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是 。如果定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)，當時，且為R上的4高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是 。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)

4、寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15(本小題滿分12分)已知為銳角，且。(I)求的值；(II)求的值。 16（本小題滿分13）在一個選拔項目中，每個選手都需要進行4輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為、，且各輪問題能否正確回答互不影響.（I）求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；（II）求該選手至多進入第三輪考核的概率；（III）該選手在選拔過程中回答過的問題的個數(shù)記為，求隨機變量的分布列和期望17（本小題滿分14分）在四棱錐中，側(cè)面底面，為中點，底面是直角梯形，=90°,，.（I）求證：平面；（

5、II）求證：平面；（III）設(shè)為側(cè)棱上一點，試確定的值，使得二面角為45°.18（本小題滿分14分） 橢圓：的離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為 （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，若為直角三角形，求直線的斜率19（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，其中，其中（I）求函數(shù)的零點； （II）討論在區(qū)間上的單調(diào)性； （III）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由20（本小題滿分13分） 對于各項均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)” 不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同時

6、滿足下面兩個條件：是的一個排列；數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)” （I）設(shè)數(shù)列的前項和，證明數(shù)列具有“性質(zhì)”； （II）試判斷數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列1，2，3，11是否具有“變換性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應(yīng)的數(shù)列，不具此性質(zhì)的說明理由； （III）對于有限項數(shù)列：1，2，3，某人已經(jīng)驗證當時，數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，試證明：當”時，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)” 參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.93 10 11 12 13214三、解答題：（本大

7、題共6小題，共80分，若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分.）15解：（I）2分 所以 所以5分 （II） 8分因為，所以，又所以， 10分又為銳角，所以，所以12分16解：設(shè)事件表示“該選手能正確回答第i輪問題”，由已知 （I）設(shè)事件B表示“該選手進入第三輪被淘汰”，則2分 3分 （II）設(shè)事件C表示“該選手至多進入第三輪考核”， 則5分6分 （III）X的可能取值為1，2，3，4 7分 8分9分10分 11分所以，X的分布列為X1234P 12分 13分17解：（I）取PD的中點F，連結(jié)EF，AF，因為E為PC中點，所以EF/CD，且在梯形ABCD中，AB/CD，AB=1，所

8、以EF/AB，EF=AB，四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE/AF， 2分BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE/平面PAD. 4分 （II）平面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD. 3分如圖，以D為原點建立空間直角坐標系Dxyz.則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）. 6分所以8分又由PD平面ABCD，可得PDBC，所以BC平面PBD.9分 （III）平面PBD的法向量為10分所以，11分設(shè)平面QBD的法向量為n=（a，b，c），由n，n，得 所以，所以n= 12分所以 13分注意到，得 14分18解：（I）由已知 3分又

9、，解得所以橢圓C的方程為 5分 （II）根據(jù)題意，過點D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)聯(lián)立，消去y得，6分，令，解得 7分設(shè)E、F兩點的坐標分別為， （i）當EOF為直角時，則，8分因為EOF為直角，所以，即，9分所以，所以，解得 11分 （ii）當OEF或OFE為直角時，不妨設(shè)OEF為直角，此時，所以，即12分又將代入，消去x1得解得或（舍去），13分將代入，得 所以，14分經(jīng)檢驗，所求k值均符合題意，綜上，k的值為和19解：（1）解，得所以函數(shù)的零點為a.2分 （2）函數(shù)在區(qū)域（，0）上有意義，5分令因為7分當x在定義域上變化時，的變化情況如下：（）+-所以在區(qū)間上是增函數(shù)，8分在區(qū)間是減函數(shù).9分 （III）在區(qū)間上存在最小值10分證明：由（I）知-a是函數(shù)的零點，因為所以11分由知，當時，12分又函數(shù)在上是減函數(shù)，且所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為且13分所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為計算得14分20解：（I）當時，1分2分又3分所以是完全平方數(shù)，數(shù)列具有“P性質(zhì)”4分 （II）數(shù)列1，2，3，4，5具有“變換P性質(zhì)”，5分數(shù)列為3，2，1，5，46分數(shù)列1，2，3，11不具有“變換P性質(zhì)”7分因為11，4都只有5的和才能構(gòu)成完全平方