第五節(jié)反常重積分

1、第五節(jié) 反常重積分本節(jié)將研究無(wú)界區(qū)域或無(wú)界函數(shù)的情形.著重就二重積分進(jìn)行討論.一、無(wú)界區(qū)域上的反常積分 設(shè)是曲線，令記號(hào)： . 定義1 設(shè)D是平面R2中無(wú)界區(qū)域，它的邊界有有限條光滑曲線所組成 , 是任一條面積為0的連續(xù)有界曲線, 將D分割成若干部分, 其中到(0,0) 距離最小的有界部分(或其一)記為D()(如圖), 是D上的函數(shù), 并且在D的任意有界可求面積的子集上可積. 如果存在, 則稱在D上可積, 這個(gè)極限稱為在D上的反常二重積分. 還是記作:yD, 即=. 當(dāng)在無(wú)界區(qū)域D上可積時(shí), 稱收斂. 如果不存在, 我們還用這個(gè)記號(hào), 也稱為在上的反常二重積分, 但這時(shí)我們稱這個(gè)反常二重積分發(fā)

2、散. D()x圖12-5-1 其中我們說(shuō)D()是從D中割出的有界區(qū)域.顯然若和在D上可積，則在D上可積.定理12.16 設(shè)D是平面R2中無(wú)界區(qū)域，是D上的函數(shù),0. 是一列分段光滑曲線,如定義中,它們將D分割出有界子區(qū)域滿足,及,那么收斂的充分必要條件是數(shù)列收斂,并且=.證明 由定義,必要性是顯然的.只要證充分性.注意到是單調(diào)增數(shù)列, 當(dāng)記 時(shí). 對(duì)任意一條分段光滑曲線, 它從D割出的有界可求面積的區(qū)域D(),由于條件知,存在N1, 當(dāng)n>N1時(shí), D()Dn, .對(duì)任意>0, 存在N2>0, 當(dāng)n> N2時(shí), . 所以, 對(duì)分段光滑曲線,D()為有界區(qū)域.當(dāng)>時(shí)

3、, 從而有極限的定義知, ,所以收斂.并有上面的等式.例1求的值.解 設(shè)自然數(shù)n, 取n : . 所以， 即，原反常積分收斂. 對(duì)自然數(shù)n, 再取n : . 那么也有從而我們可得如下的概率積分:.定理12.17 (比較判別法) 設(shè)D是平面R2中無(wú)界區(qū)域，, 是D上的函數(shù),在D的任何有界可求面積的子區(qū)域上可積,并且.那么 (1)當(dāng)收斂時(shí), 收斂時(shí); (2)當(dāng)發(fā)散時(shí), 發(fā)散時(shí).證明留給讀者.定義12.18 設(shè)D是平面R2中無(wú)界區(qū)域， 在D上的可積函數(shù)的充分必要條件是在D上的可積.證明 充分性 設(shè)|f(x,y)|在D上的可積, 令顯然, ，所以在D上的可積. 故=-也在D上的可積. 必要性 用反證法

4、. 設(shè) f(x,y) 在D上的可積, 但 |f(x,y)| =+在D上的不可積 , 即和至少有一個(gè)不可積.不妨設(shè)不可積. 那么對(duì)任意正數(shù)K, 存在一條曲線 , 它從D割出有界的D()滿足:. 一般地,由歸納可得,存在一族分段光滑曲線,它們將D分割出有界子區(qū)域滿足,及,并且 ,(n=1,2,),即 , (n=1,2,).因f(x,y) 在D上的可積, f(x,y)在上的可積. 容易得在上的可積. 其Darboux小和收斂于.所以,當(dāng)把充分細(xì)的分劃P:， 其面積分別是:. 記 , , 有, (n=1,2,).記Pn為的小區(qū)域的并, 那么, (n=1,2,).令En為Dn和Pn的并, y, (n=1

5、,2,).Dn+1-Dn n+1連接區(qū)域 Dnn+1x圖12-5-2n 如果En不是一個(gè)連通區(qū)域，我們可以作幾個(gè)長(zhǎng)條矩形連接各個(gè)不相交的區(qū)域.使得這些長(zhǎng)條矩形和原有的所有區(qū)域形成連通的區(qū)域記為n，這些長(zhǎng)條矩形的取法,使得, (n=1,2,). 顯然,n可以充分大, 與f(x,y) 在D上的可積矛盾.推論 設(shè)D是平面R2中無(wú)界區(qū)域， 是D上的函數(shù),并且在D的任意有界可求面積的子集上可積., 那么 (1) 當(dāng)足夠大時(shí), (c是常數(shù)),如果>2, 則反常二重積分收斂;(2)當(dāng)足夠大時(shí), (c是常數(shù)),如果 2, 則反常二重積分發(fā)散.二、無(wú)界函數(shù)的反常積分 設(shè)D是平面R2中有界可求面積區(qū)域， P

6、是的聚點(diǎn), 是D(可能除P以外)上的函數(shù), 在P的任何鄰域內(nèi)無(wú)界(P稱為奇點(diǎn)或瑕點(diǎn)),. 設(shè)為含有P的任何小區(qū)域, 在D- 上可積. 設(shè) .y如果存在, 則稱在D上可積, 這個(gè)極限也稱為在D上的反常二重積分. 還是記作:, 即=. 當(dāng)在D上可積時(shí), 稱收斂. 如果不存在, 我們還用這個(gè)記號(hào), 也稱為在D上的無(wú)界函數(shù)反常二重積分, 但這時(shí)我們稱這個(gè)反常二重積分發(fā)散. PDx圖12-5-3Ox與無(wú)界區(qū)域的反常二重積分一樣, 可以對(duì)無(wú)界函數(shù)反常二重積分也可以建立相應(yīng)的收斂定理.定理12.18設(shè)D是平面R2中有界區(qū)域，P(x0, y0)是D的聚點(diǎn), 是D(可能除P以外)上的函數(shù), 在P的任何鄰域內(nèi)無(wú)界,. 設(shè)為含有P的任何小區(qū)域, 在D- 上可積,那么 (1)當(dāng)足夠小時(shí),(c是常數(shù)),如果 <2, 則反常二重積分收斂;(2)當(dāng)足夠小時(shí),(c是常數(shù)),如果 2, 則反常二重積分發(fā)散.對(duì)于非負(fù)函數(shù),也有與無(wú)界區(qū)域的反常二重積分一樣的結(jié)果.例2 求.解 顯然函數(shù)是區(qū)域上.(0,0)可能為奇點(diǎn), 取: , 那么 當(dāng),當(dāng), 發(fā)散. 類似于反常二重積分,我們可以定義一般的反