第一章函數(shù)與極限(四)

1、第一章 函數(shù)與極限授課題目：§1.7無(wú)窮小的比較§1.8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)教學(xué)目的與要求：1.會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量簡(jiǎn)化極限運(yùn)算2.理解連續(xù)性的定義；知道連續(xù)性的三個(gè)要素3.了解間斷點(diǎn)的定義；會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：用等價(jià)無(wú)窮小簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，連續(xù)性的概念難點(diǎn)：間斷點(diǎn)的類型的判斷，分段函數(shù)分界點(diǎn)是否連續(xù)的判斷方法教學(xué)內(nèi)容：§1.7無(wú)窮小的比較復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容，做下面求極限的練習(xí)題：、（） （） （）、（） （） （）兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、乘積仍是無(wú)窮小。但關(guān)于兩個(gè)無(wú)窮小的商，卻會(huì)出現(xiàn)不同的情況。例如：都是無(wú)窮小，但兩個(gè)無(wú)窮小之比的極

2、限的各種不同情況，反映了不同的無(wú)窮小趨向零的“快慢”程度。定義：如果，就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小，記作；如果，就是說(shuō)是比低的無(wú)窮小如果，就說(shuō)與是同階無(wú)窮小如果，就說(shuō)是關(guān)于的階無(wú)窮小如果，就說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮小，記作因?yàn)樗援?dāng)是比高階無(wú)窮小，即因?yàn)樗援?dāng)是比低階無(wú)窮小。 因?yàn)樗援?dāng)與是等價(jià)無(wú)窮小，即例1 證明：當(dāng)證 因?yàn)?,所以關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的重要性質(zhì)：定理1是等階無(wú)窮小的充分必要條件為定理2 設(shè)且存在，則注：根據(jù)定理2，可利用等階無(wú)窮小簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，即求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)分 子和分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替。例3 求解 當(dāng)，所以例4 求解 當(dāng)，無(wú)窮小與自身等價(jià)，所以例5 求解 當(dāng)所以給出一個(gè)錯(cuò)誤利用等

3、價(jià)無(wú)窮小的例子。*補(bǔ)充例題 求 解：原式=×原式因?yàn)?，所以所以原式注：常見的等價(jià)無(wú)窮小量：§1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)自然界有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等，都是連續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性。例如就氣溫的變化來(lái)看，當(dāng)時(shí)間變化很微小時(shí)，氣溫的變化也很微小，這種特點(diǎn)就是所謂連續(xù)性。一、增量、函數(shù)的連續(xù)性1、自變量的增量：設(shè)變量有初值，終值，則稱的增量，記：，即：注 時(shí)，；時(shí)，。2、函數(shù)的增量：，稱為的函數(shù)的增量。注：是由引起的。3、連續(xù)函數(shù)的概念：定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量趨向零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量也

4、趨向于零，即那么就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。等價(jià)定義：4、左、右連續(xù)概念：若()則稱在左(右)連續(xù)。5、區(qū)間上連續(xù)：若在內(nèi)任一點(diǎn)連續(xù)，則在內(nèi)連續(xù)，又在右連續(xù)、左連續(xù)，則稱在閉區(qū) 上連續(xù)。注：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 從書上例題可以看出，下列函數(shù)連續(xù)：（1）有理整函數(shù)在上連續(xù)。（2）有理分式函數(shù)在定義域上連續(xù)。（3）在內(nèi)連續(xù)。（4）在上連續(xù)。*證明見P62（）在上連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)1、概念：若在不滿足連續(xù)的條件，則稱在是不連續(xù)的或稱是間斷的，稱的間斷點(diǎn)。不連續(xù)點(diǎn)（間斷點(diǎn)）的情形：（1） 在沒有定義（2） 雖在有定義，但不存在（3） 雖在有定義，且存在，但間斷點(diǎn)類型： 第一類間斷點(diǎn) 左右

5、極限相等（可去間斷點(diǎn)）間斷點(diǎn) （左右極限都存在） 左右極限不相等（跳躍間斷點(diǎn)） 第二類間斷點(diǎn) （左右極限至少有一個(gè)不存在）2、判斷：若在滿足以下條件之一；，則為的間斷點(diǎn)。例1 研究在處的連續(xù)性。解 為間斷點(diǎn)，此時(shí)稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)。例2 函數(shù)的圖形如下，其在點(diǎn)沒有定義；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值在-1與+1間變動(dòng)無(wú)數(shù)次，所以稱點(diǎn)稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)。例3 研究在的連續(xù)性。解 ， 為間斷點(diǎn)， 又：，可補(bǔ)充定義：于是：在 時(shí)連續(xù)，稱 為可去間斷點(diǎn)。例4 設(shè) 考察在處的連續(xù)性。解 為間斷點(diǎn)，此時(shí)，可改變函數(shù)定義使其在連續(xù)，如：，在 連續(xù)，稱可去間斷點(diǎn)。例5 設(shè)：，考察在的連續(xù)性。解為間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn)，不可去)。注 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱第類間斷點(diǎn)，特點(diǎn)：在的左右極限存在。間斷點(diǎn)：類：可去、跳躍；類：無(wú)窮、振蕩。*補(bǔ)充例題 設(shè)：，問(wèn)：是否存在？當(dāng)在連續(xù)時(shí)，解 1，又：，。*補(bǔ)充例題函數(shù)，在處連續(xù)，則？解：分析：因?yàn)?，又，根?jù)在連續(xù)的定義可知，即*補(bǔ)