惠州市2015屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）答案與評分標(biāo)準(zhǔn)最終版

1、惠州市2015屆高三第二次調(diào)研考試 理科數(shù)學(xué)答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678答案ABCDDABB1【解析】本題考查集合的基本運(yùn)算，意在考查考生對集合概念的掌握由，解得，所以，又，所以，故選A.2【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限3【解析】本題考查雙曲線方程及其簡單幾何性質(zhì)。雙曲線方程可變形為，所以.4【解析】；，故垂直5【解析】由圖可知，30名學(xué)生的得分情況依次為：2個(gè)人得3分，3個(gè)人得4分，10個(gè)人得5分，6個(gè)人得6分，3個(gè)人得7分，2個(gè)人得8分，2個(gè)人得9分，2個(gè)人得10分

2、中位數(shù)為第15,16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù)，即5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)最多，故5，5.97于是得.6【解析】若，又，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得，又因?yàn)?，所以；反過來，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，一定有，但不能保證，即不能推出.7【解析】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題由已知約束條件，作出可行域如圖中ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為直線l：在軸上的截距，知當(dāng)直線l過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最小值為1，則。8【解析】當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，可以看作先用該班人數(shù)除以10再用這個(gè)余數(shù)與3相加，若和大于等于10就增選一名代表，將二者合并便得到推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函

3、數(shù)關(guān)系，用取整函數(shù) (表示不大于的最大整數(shù)）可以表示為二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分每小題5分，滿分30分）第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分9 10 11 12 1314 15559【解析】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法，意在考查學(xué)生的分類討論及化歸能力及運(yùn)算能力由，可得或，解得，所以原不等式的解集為10【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義。考查考生的求導(dǎo)運(yùn)算及求直線方程的能力。由，則.所以，即切線L的斜率為1。又切線L過點(diǎn)(1,0)，所以切線L的方程為. 一般方程為 .11【解析

4、】本題考查二項(xiàng)式定理，意在考查考生的運(yùn)算能力，令，得，故常數(shù)項(xiàng)為.12【解析】本題主要考查銳角三角形的定義、正弦定理與解三角方程，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力與三角變換能力由正弦定理得，可化為，又，所以，又為銳角三角形，得.13【解析】本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力設(shè)等比數(shù)列的公比為由可得即所以，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，由可得，由，可求得的最大值為12，而當(dāng)時(shí)，不成立，所以的最大值為12.14【解析】由可得圓的直角坐標(biāo)方程為，圓心點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，所以.15【解析】如圖所示，連接，則.故，.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（本

5、題滿分12分）解：本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì)(1)由， . （1分） ， .（2分） 及，得. 又，從而， .（4分） 所以 .（6分） （2） ， .（9分） 當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1 .（11分） 所以的最大值為. .（12分）17（本題滿分12分）解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為(件) .（2分）(2)的可能取值為0,1,2. .（3分） .（4分） .（5分） .（6分）012PY的分布列為 .（7分）(3)利用樣本估計(jì)總體，該流水線上產(chǎn)品重量超過505克的概率為0.3.（8分） 令為任取的5件產(chǎn)品中重量超過505克

6、的產(chǎn)品數(shù)量， 則， .（10分） 故所求概率為.（12分）18（本題滿分14分）解：（1）證明：因?yàn)椋?由余弦定理得. .（2分） 從而，故. .（3分） 面面，.（4分） 又 所以平面. .（5分） 故. .（6分）（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DB，DP分別為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 則， .（8分）設(shè)平面PAB的法向量為，則即因此可取 .（10分）設(shè)平面PBC的法向量為，則可取 .（12分）則故鈍二面角APBC的余弦值為. .（14分）注：第二問若使用幾何法按找到并證明二面角的平面角得4分，求出二面角的平面角的余弦值得4分。其它方法酌情給分。19（本題滿分分

7、）解：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和、放縮法等基礎(chǔ)知識和基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，考查考生的運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題能力（1）（解法一） 依題意，又，所以 （2分） 當(dāng)， ，兩式相減得整理得 ，即， （6分）又，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以所以 （8分）（解法二） ， ，得， .（2分） 猜想 .（3分） 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： （1）當(dāng)時(shí)，猜想成立； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也成立，即 .（4分） 當(dāng)時(shí)，= ，.（5分） 時(shí)，猜想也成立 .（6分） 由（1），（2）知，對于，猜想成立。 ，當(dāng)，也滿足此式，

8、故 .（8分）（2）證明：當(dāng)； （9分）當(dāng)； （10分）當(dāng)， （12分）此時(shí)綜上，對一切正整數(shù)n，有 （14分）20(本題滿分14分)解：（1）因?yàn)?、?gòu)成等差數(shù)列， 所以，所以. （2分） 又因?yàn)?，所以?（3分） 所以橢圓的方程為. （4分）（2）假設(shè)存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直 設(shè)方程為 （5分）將其代入，整理得 （6分）設(shè)，所以 故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為所以 （8分）因?yàn)?，所以 ， 解得 ，即 （10分）和相似，若，則 （11分）所以 ， （12分） 整理得 （13分） 因?yàn)榇朔匠虩o解，所以不存在直線，使得 （14分）21.（本題滿分分）解：（1） .(1分)令，解得 .(2分)當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：0遞增極大值遞減.(3分) 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(5分)（2）證明：當(dāng)時(shí)，由(1)知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減令 .(6分)由于在內(nèi)單調(diào)遞