中考試題中的數(shù)學(xué)思想方法例析

1、中考試題中的數(shù)學(xué)思想方法例析山東省臨沐縣第一初級中學(xué)劉金廣分析近幾年的中考試題，不難看出，中考命題都遵循著兩條線：一條是明線：以選擇題、填空題、解答題等外在形式考察數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角形、四邊形、圓等初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容；一條是暗線：通過試題重點(diǎn)考察初中數(shù)學(xué)常用的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的生命和靈魂，是數(shù)學(xué)知識的精髓，是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。隨中考改革的深入，中考試題從知識型轉(zhuǎn)到能力型，更加突出了對數(shù)學(xué)思想方法的考察。一、數(shù)學(xué)思想初中階段常用的數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想、（程思想、函數(shù)思想等。1、數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)式與圖形結(jié)吊起來、代數(shù)與幾電結(jié)合起喬進(jìn)

2、彳咐析、研究、解決問題的思維策略。例1已知：a>0,b<0,a+b<0,那么下列各式中正確的是（）A-b<-a<b<aB-a<b<a<-bxCb<-a<-b<aDb<-a<a<-b分析：本題考察數(shù)的大小比較，靈活性強(qiáng)，用代數(shù)的方法思考，極易出錯；若借助數(shù)軸，利用圖形，則一目了然。1x解：根據(jù)a>o,b<0,a+b<0,易在數(shù)軸上標(biāo)出a、b的位置（如圖）,再標(biāo)出-a、-b的位置，顯然有b<-a<a<-b.故應(yīng)選D.例2二次函數(shù)y=x2+x+1與反比例函數(shù)y二在同一直角坐標(biāo)

3、系中交點(diǎn)的個數(shù)是（）A0B1C2D3分析:如果用代數(shù)方法，解方程組代入求得：x3+x2-1=0,來討論三次方程根的個數(shù)，是困難的；如果在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出y=x2+x+1和y=的草圖（如圖2）,容易看到：兩曲線只有一個交點(diǎn)，故應(yīng)2、分類討論思想數(shù)學(xué)中的分類討論就是把研究的對象所可能出現(xiàn)的情況不重復(fù)、無遺漏的分別加以討論，從而獲得完整的解答。例3某單位計(jì)劃5月份組織員工到H地旅游，人數(shù)估計(jì)在10-25人之間。甲、乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時，甲旅行社表示可予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游費(fèi)用，其余游客八折優(yōu)惠。問該單位應(yīng)怎樣選擇，使

4、其支付的旅游費(fèi)用較少？分析：本例是市場決策型分類，具有時代特色，解決此題的關(guān)鍵是以到H地旅游人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，分為三種情況逐一討論。解：設(shè)該單位到H地旅游人數(shù)為x人，選擇甲旅行社所需費(fèi)用為yi元，選擇乙旅行社所需費(fèi)用為y2元,則有yi=200X0.75x,即yi=150x;y2=200X0.8(x-1),即y2=160x-160.(1)若yi=y2,解得x=16；(2)若yi>y2,解得x<16;(3)若yi<y2,解得x>16.所以，當(dāng)人數(shù)為16人時，選擇甲或乙旅行社所付費(fèi)用一樣多，即可任選其一；當(dāng)人數(shù)在17-25人之間時，選擇甲旅行社所需費(fèi)用較少；當(dāng)人數(shù)在10-15人之間

5、時，選擇乙旅行社所需費(fèi)用較少。3、轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)解題的過程實(shí)際就是轉(zhuǎn)化的過程，換句話說,解題就是把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的問題的過程，通過對條件的轉(zhuǎn)化，結(jié)論的轉(zhuǎn)化，使問題化難為易，化生為熟，最終求得問題的解答.o例4如圖,某小區(qū)規(guī)劃在一個長40米，寬26米的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行,其余部分種草，若使每一塊草坪的面積都為144米2,求小路的寬度.x 米，可得(402x)(26-x)= 144 X6, AAD 222=4AE 1分析:若從總面積中減去各條小路的面積，計(jì)算較繁，且因有重合部分，極易出錯;不妨把各條小路平移到邊上，把各小塊草坪

6、轉(zhuǎn)化為一大塊草坪去思考，問題就易解決了.把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，是解決本題的關(guān)鍵.解:設(shè)小路寬為解得x=2答:略.4、方程思想方程思想是指對所求問題通過列方程（組）求解的一種思維方法，中考試題中用方程思想求解的題目隨處可見。同時，方程思想也是解幾何計(jì)算題的重要策略。例5如圖，已知在ABC中，/B=90°,。是AB上一點(diǎn)，以。為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E,與AC切于點(diǎn)D,AD=2,AE=1,求CD的長分析：本題分別應(yīng)用切割線定理和勾股定理，列出方程，問題即得到解決解：由/腳施，8ffl|C，AB. BEE為。O的直徑， .CE）切。干B .AC切。于點(diǎn)D,.CD=CB由切割

7、線定理，可得AD2=AEXAB.AB=設(shè)CD=x，則AC=x+2,由勾股定理，可得AC2=AB2+BC2即(x+2)2=42+x2,化簡，整理并解之，得CD=x=3.5.函數(shù)思想函數(shù)思想就是用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)來觀察、分析問題，并借助函數(shù)關(guān)系思考解決問題。例6某大學(xué)的校I是一拋物線形水港建筑物(如圖1),大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各有一個掛校名橫匾M的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，求校門的高。(精確到0.1米，水泥建筑物464厚度忽略不計(jì))7T分析:將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行研究，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定函數(shù)解析式，再求函數(shù)值.fx+2y=1,2x+4y-1+6x-9y(2x-3y=2

8、,24解:以大門所在平面與地面的交線為x軸，以大門的對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2),則A(-4,0)、B(4,0)、C(3,4)、D(-3,4).設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+4)(x-4).,.C(3,4)在拋物線上，4=a(3+4)(3-4),a=-,y=-(x+4)(x-4).二門高即為函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，如圖頂點(diǎn)(0,y),.當(dāng)x=0時,y=-(0+4)(0-4)=".1(米)6、整體思想-+8( x +2 x) 一x2-1按常規(guī)求某一未知量不易時，2*3(x -1)+2可打麻藕球=11由題目的結(jié)構(gòu)特征,把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體，從而使問題得到解決例7已知方程組3

9、求2的值。x2+2x81x'2x312-分析:此題若從xr程組中解出的值再低入代數(shù)式求值8.解答比較麻煩.若注意到所求代數(shù)式與方程的ii關(guān)系用整體法求解將比較簡便.25整體代入得解:把方程X2,X3得2x+4y=2,6x-9y=6原式=1 21數(shù)學(xué)方法=2x -4x + 3 = 2 (y = 2-x2-4 x+32 c c、1 /2 ,x -8 x + 6) = (x -8 x+16-10)初中數(shù)學(xué)常用的瑜聲袪容0：朋或(x-4)繪5法、參數(shù)法、特殊值法、待定系數(shù)法等。1、換元法就是用新元代替舊元，通過變量代換創(chuàng)造條件，化難為易，化繁為簡，使問題得到解決。例8解方程+=11分析：此題如

10、果用去分母的方法，所得的整式方程為:8(x2+2x)2+3(x2-1)2=11(x2-1)(x2+2)展開整理后，一則很繁，再則不是二次方程，難以解決；仔細(xì)觀察，可以看出方程左邊兩個分式中的與互為例數(shù)6根據(jù)這一特點(diǎn)，可以用換元法來解。丁+4=2+2=2解:設(shè)=y,那么=，于是原方程變形為8y+=11,整理得8y2-11y+3=0,解得y1=1,y2=.8(x2+2x)3(x2-1)由=1,解得x1=-x2-1由x2+2x,解得x2=-3,x3=-經(jīng)檢驗(yàn)，三個都是原方程的根.原方程的根是x1=-；x2=-3,x3=-一x2+2xx2-12 ,2x -1 x +2 x 2、配方法x2+2xx2-1

11、13例9通過配方求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)解:.二對稱軸是x=4,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,-5).3、參數(shù)起k2x2ki+k2 = 0在解題過程中，制入新的變量,5ki+ 4 = 9涉及連等一類的題目x根姆演推理計(jì)算，從而獲解的方法叫參數(shù)法。參數(shù)法常用于解答 L k2 = - 44x例10已知求的值.4、特殊值法在字母的允許值的國怛雌璐集值進(jìn)鄭演的方法，稱為特殊值法。例11已解：%奇20赤a<=a+b,“3ak，y=2+5，a+l6電中，最大的是()Aa+b原式B卷+4kk-6(k=a-2+b=1Da+b2冰-4k+6*5k5解：:1<b<0,0<a<1,不妨取a=0.5,b=-0.5,則a+b=0,a-b=1,a+b2=0.75,a2+b=-0.25,.最大的是a-b,故選B5、待定系數(shù)法先設(shè)出式子的未知系數(shù)，再根據(jù)條件求出未知系數(shù)，從而寫出這個式子的方法，稱為待定系數(shù)法。例12已知y=y1+y2,y1與x+1成正比例，y2與x成反比例，且