正態(tài)總體均值的假設檢驗

1、第二節(jié) 正態(tài)總體均值的假設檢驗一、單個總體均值一、單個總體均值 的檢驗的檢驗二、兩個總體均值差的檢驗二、兩個總體均值差的檢驗(t 檢驗檢驗)三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗(t 檢驗檢驗) 四、小結(jié)四、小結(jié)一、單個總體 均值 的檢驗),(2 N)( ,. 12檢檢驗驗的的檢檢驗驗關(guān)關(guān)于于為為已已知知Z ),( 2 N體體在上節(jié)中討論過正態(tài)總在上節(jié)中討論過正態(tài)總: ,02的檢驗問題的檢驗問題關(guān)于關(guān)于為已知時為已知時當當 . : , : )3( ; : , : )2( ; : , : )1(010001000100 HHHHHH假設檢驗假設檢驗假設檢驗假設檢驗假設檢驗假設檢驗 . ,

2、/ )1 , 0(00檢驗法檢驗法檢驗法稱為檢驗法稱為這種這種來確定拒絕域的來確定拒絕域的的統(tǒng)計量的統(tǒng)計量分布分布為真時服從為真時服從討論中都是利用討論中都是利用ZnXZNH 一個有用的結(jié)論一個有用的結(jié)論和和檢檢驗驗問問題題檢檢驗驗問問題題0100:,: HH0100:,: HH有相同的拒絕域有相同的拒絕域. , 時時當顯著性水平均為當顯著性水平均為 證明證明,10小小中中的的都都比比中中的的因因為為 HH, :,: 0100中中在在檢檢驗驗問問題題 HH從直觀上看從直觀上看, 合理的檢驗法則是合理的檢驗法則是:, 000kxxx 即即過過分分大大的的差差與與若若觀觀察察值值. 10HH 接受

3、接受則我們拒絕則我們拒絕. )( , 0待待定定拒拒絕絕域域的的形形式式kkx | 00為為真真拒拒絕絕HHP)(00kxP 由標準正態(tài)分布的分布函數(shù)由標準正態(tài)分布的分布函數(shù) 的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知,)( nknxP/000 0/)(10 nk0/)(0 nk nk/)(00 ,/ nk , | 00 為為真真拒拒絕絕因因此此要要控控制制HHP ,/ nk只只需需令令 ,)/( znk 即即的的拒拒絕絕域域為為檢檢驗驗問問題題 :,: 0100 HH ,)/(0 znx ./ 0 znx 即即的兩種檢驗問題的兩種檢驗問題對均值對均值已知時已知時在方差在方差比較正態(tài)總體比較正態(tài)總體 ,),(2

4、2N, :,: :,:01000100 HHHH和和. , ,0它它們們的的拒拒絕絕域域相相同同于于相相同同的的顯顯著著性性水水平平但但對對實實際際意意義義也也不不同同的的形形式式不不同同盡盡管管原原假假設設 H第二類形式的檢驗問題可歸結(jié)為第一類形式討論第二類形式的檢驗問題可歸結(jié)為第一類形式討論.例例1 某切割機在正常工作時某切割機在正常工作時, 切割每段金屬棒的切割每段金屬棒的平均長度為平均長度為10.5cm, 標準差是標準差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取品中隨機的抽取15段進行測量段進行測量, 其結(jié)果如下其結(jié)果如下:7 .102 .107 .105 .108 .106

5、 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的長度服從正態(tài)分布假定切割的長度服從正態(tài)分布, 且標準差沒有變且標準差沒有變化化, 試問該機工作是否正常試問該機工作是否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因因為為 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要檢檢驗驗假假設設 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 則則,516. 0 查表得查表得,645. 105. 0 z 1.645,0.516/ 05. 00 znx 于是于是 . , 0認為該機工作正常認為該機工作正常故接受故接受 H,15 n

6、,48.10 x,05. 0 )( ,. 22檢檢驗驗的的檢檢驗驗關(guān)關(guān)于于為為未未知知t . , , ),(22 顯著性水平為顯著性水平為未知未知其中其中設總體設總體NX . : , : 0100的的拒拒絕絕域域求求檢檢驗驗問問題題 HH , , 21的的樣樣本本為為來來自自總總體體設設XXXXn2 , 因為未知0 ./Xn不能利用來確定拒絕域 , 22的的無無偏偏估估計計是是因因為為 S, 來來取取代代故故用用S0 ./ XtSn采用來作為檢驗統(tǒng)計量即 ,/ 00Hnsxt過過分分大大時時就就拒拒絕絕當當觀觀察察值值 ./ 0knsxt 拒拒絕絕域域的的形形式式為為),1(/ ,00 ntn

7、SXH 為為真真時時當當,00HHP拒拒絕絕為為真真當當 , /00 knSXP定理三定理三根據(jù)根據(jù)第六章第六章2定理三定理三知知, , )1( 2/ ntk 得得 . )1(/ 2/0 ntnsxt 拒拒絕絕域域為為.8.1 , , ),(22中中給給出出單單邊邊檢檢驗驗的的拒拒絕絕域域在在表表的的關(guān)關(guān)于于未未知知時時當當對對于于正正態(tài)態(tài)總總體體 N 在實際中在實際中, 正態(tài)總體的方差常為未知正態(tài)總體的方差常為未知, 所以所以我們常用我們常用 t 檢驗法來檢驗關(guān)于正態(tài)總體均值的檢檢驗法來檢驗關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗問題驗問題.上述利用上述利用 t 統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t

8、 檢驗法檢驗法. 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的長度服從正態(tài)分假定切割的長度服從正態(tài)分布布, 問該機切割的金屬棒的平均長度有無顯著變問該機切割的金屬棒的平均長度有無顯著變化化?)05. 0( 解解 , , ),( 22均均為為未未知知依依題題意意 NX , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要檢檢驗驗假假設設,15 n,48.10 x,05. 0 ,237. 0 s 15/237. 05 .1048.10/0 nsxt ,327. 0 查表得查表得)14()1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0 t . , 0無無顯顯著著變變化化認認為為金金屬屬棒棒的的平

9、平均均長長度度故故接接受受 Ht t分布表分布表例例2 某種電子元件的壽命某種電子元件的壽命X(以小時計以小時計)服從正態(tài)服從正態(tài)分布分布, 均為未知均為未知. 現(xiàn)現(xiàn)測得測得16只元件的壽命如只元件的壽命如下下:170485260149250168362222264179379224212101280159問是否有理由認為元件的平均壽命大于問是否有理由認為元件的平均壽命大于225(小時小時)?2, 例例3解解 ,225:,225:100 HH依題意需檢驗假設依題意需檢驗假設 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s查表得查表得7531. 1)15(05. 0 t 6

10、685. 0/0 nsxt .225 , 0小時小時大于大于認為元件的平均壽命不認為元件的平均壽命不故接受故接受 Ht t分布表分布表典型例題解解 設某次考試的考生成績服從正態(tài)分布設某次考試的考生成績服從正態(tài)分布, 從中從中隨機地抽取隨機地抽取36位考生的成績位考生的成績, 算得平均成績?yōu)樗愕闷骄煽優(yōu)?6.5分分, 標準差為標準差為15分分, 問在顯著性水平問在顯著性水平0.05下下, 是否可是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)橐哉J為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分分? 并并給出檢驗過程給出檢驗過程. , X為為設該次考試的學生成績設該次考試的學生成績),( 2 NX則則, , SX

11、樣本標準差為樣本標準差為樣本均值為樣本均值為需檢驗假設需檢驗假設:.70:,70:10 HH,05. 0 例例1, 2未知未知因為因為 , 檢驗法檢驗法故采用故采用t, 0為真時為真時當當H),1(/70/0 ntnSXnSXt 統(tǒng)計量統(tǒng)計量查表查表 8-1 知拒絕域為知拒絕域為),1(/702/ ntnSXt ,0301. 2)35(,15, 5 .66,36 025. 0 tSXn由由4 . 136/15705 .66/70 nSXt得得,0301. 2 .70 , 0分分績是績是認為全體考生的平均成認為全體考生的平均成所以接受所以接受 H二、兩個總體 的情況),(),(222211 NN

12、. . ,),(,),( , 22212121注意兩總體的方差相等注意兩總體的方差相等且設兩樣本獨立且設兩樣本獨立樣本樣本的的為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體的樣本的樣本為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體設設 NYYYNXXXnn 利用利用t檢驗法檢驗具有相同方差的兩正態(tài)總檢驗法檢驗具有相同方差的兩正態(tài)總體均值差的假設體均值差的假設. , , , 2212221均均為為未未知知方方差差是是樣樣本本分分別別是是總總體體的的樣樣本本均均值值又又設設 SSYX .)( : , : 211210的拒絕域的拒絕域為已知常數(shù)為已知常數(shù)求檢驗問題求檢驗問題 HH . 取顯著性水平為取顯著性水平為 : 統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)

13、計量統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)計量引入引入 t,11)(21nnSYXtw .2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中 ,0為真時為真時當當H).2(21 nntt定理四定理四根據(jù)根據(jù)第六章第六章2定理四定理四知知,其拒絕域的形式為其拒絕域的形式為,11)(21knnsyxw , 00HHP拒拒絕絕為為真真 knnSYXPw2111)(21).2( 212/ nntk 得得故拒絕域為故拒絕域為 2111)(nnsyxtw ).2(212/ nnt 關(guān)于均值差的其它兩個檢驗問題的拒絕域關(guān)于均值差的其它兩個檢驗問題的拒絕域見表見表8.1, 當兩個正態(tài)總體的方差均為已知當兩個正態(tài)總體的方差

14、均為已知(不一定相不一定相等等)時時,我們可用我們可用 Z 檢驗法來檢驗兩正態(tài)總體均值檢驗法來檢驗兩正態(tài)總體均值差的假設問題差的假設問題, 見表見表8.1 . 0 的的情情況況常常用用 例例4 在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率的建議是否會增加鋼的得率, 試驗是在同一只平試驗是在同一只平爐上進行的爐上進行的. 每煉一爐鋼時除操作方法外每煉一爐鋼時除操作方法外, 其它條其它條件都盡可能做到相同件都盡可能做到相同.先采用標準方法煉一爐先采用標準方法煉一爐, 然然后用建議的新方法煉一爐后用建議的新方法煉一爐, 以后交替進行以后交替進行

15、, 各煉了各煉了10爐爐, 其得率分別為其得率分別為(1)標準方法標準方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 設這兩個樣本相互獨立設這兩個樣本相互獨立, 且分別來自正態(tài)總且分別來自正態(tài)總體體),( ),(2221 NN和和 ,221均為未知均為未知 問建議的新操作方法能否提高得率問建議的新操作方法能否提高得率? )05. 0( 取取解解 0. : 0, : 211210

16、 HH需需要要檢檢驗驗假假設設分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本方差方差:,101 n,23.76 x,325. 321 s,102 n,43.79 y,225. 222 s,775. 221010)110()110( 22212 sssw且且,7341. 1)18( 05. 0 t查查表表可可知知101101 wsyxt因為因為,295. 4 , 0H所以拒絕所以拒絕即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu).附表附表8.18.1).2(21 nntt ,7341. 1)18(05. 0 t查表查表8.1知其

17、拒絕域為知其拒絕域為例例5 有甲有甲、乙兩臺機床加工相同的產(chǎn)品乙兩臺機床加工相同的產(chǎn)品, 從這兩臺從這兩臺機床加工的產(chǎn)品中隨機地抽取若干件機床加工的產(chǎn)品中隨機地抽取若干件, 測得產(chǎn)品直測得產(chǎn)品直徑徑(單位單位:mm)為為機床甲機床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9機床乙機床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 試比較甲試比較甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑有無顯著乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑有無顯著差異差異? 假定假定兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布分

18、布, 且總體方差相等且總體方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分別服從正態(tài)分布分別服從正態(tài)分布和和兩總體兩總體依題意依題意 , 221均為未知均為未知 )05. 0( . : , : 211210 HH需需要要檢檢驗驗假假設設, 81 n,925.19 x,216. 021 s, 72 n,000.20 y,397. 022 s,547. 0278)17()18( 22212 sssw且且,160. 2)13( 05. 0 t查查表表可可知知7181 wsyxt,160. 2265. 0 , 0H所以接受所以接受即甲即甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑無顯著差異乙兩臺機床加工的

19、產(chǎn)品直徑無顯著差異. 三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗( t 檢驗 ) （不作要求，可以忽略） 有時為了比較兩種產(chǎn)品有時為了比較兩種產(chǎn)品, 或兩種儀器或兩種儀器, 兩種方兩種方法等的差異法等的差異, 我們常在相同的條件下作對比試驗我們常在相同的條件下作對比試驗, 得到一批成對的觀察值得到一批成對的觀察值. 然后分析觀察數(shù)據(jù)作出然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷推斷. 這種方法常稱為這種方法常稱為逐對比較法逐對比較法.例例6 有兩臺光譜儀有兩臺光譜儀Ix , Iy ,用來測量材料中某種用來測量材料中某種金屬的含量金屬的含量, 為鑒定它們的測量結(jié)果有無顯著差為鑒定它們的測量結(jié)果有無顯著差異異, 制備了制備了9件試塊件

20、試塊(它們的成分、金屬含量、均它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同勻性等各不相同), 現(xiàn)在分別用這兩臺機器對每一現(xiàn)在分別用這兩臺機器對每一試塊測量一次試塊測量一次, 得到得到9對觀察值如下對觀察值如下: 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx問能否認為這兩臺儀器的測量結(jié)果有顯著的差異問能否認為這兩臺儀器的測量結(jié)果有顯著的差異?解解 本題中的數(shù)據(jù)是

21、成對的本題中的數(shù)據(jù)是成對的, 即對同一試塊測出即對同一試塊測出一對數(shù)據(jù)一對數(shù)據(jù), 我們看到一對與另一對之間的差異是我們看到一對與另一對之間的差異是由各種因素由各種因素, 如材料成分、金屬含量、均勻性等如材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的因素引起的. 這也表明不能將光譜儀這也表明不能將光譜儀Ix 對對9個試個試塊的測量結(jié)果塊的測量結(jié)果(即表中第一行即表中第一行)看成是一個樣本看成是一個樣本, 同樣也不能將表中第二行看成一個樣本同樣也不能將表中第二行看成一個樣本, 因此不因此不能用表能用表8.1中第中第4欄的檢驗法作檢驗欄的檢驗法作檢驗.)01. 0( 而同一對中兩個數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅而同

22、一對中兩個數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺儀器性能的差異所引起的由這兩臺儀器性能的差異所引起的. 這樣這樣, 局限局限于各對中兩個數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因于各對中兩個數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因素素, 而只考慮單獨由儀器的性能所產(chǎn)生的影響而只考慮單獨由儀器的性能所產(chǎn)生的影響.表中第三行表示各對數(shù)據(jù)的差表中第三行表示各對數(shù)據(jù)的差,iiiyxd ),( , 221 dnNddd來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體設設 ., 2均為未知均為未知這里這里 d若兩臺機器的性能一樣若兩臺機器的性能一樣,21屬屬隨隨機機誤誤差差則則各各對對數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的差差異異nddd隨機誤差可以認為服從正態(tài)分布隨機誤差可以認為服從正

23、態(tài)分布, 其均值為零其均值為零. 0. : 0, : 10 ddHH 要要檢檢驗驗假假設設,221sddddn樣樣本本方方差差的的樣樣本本均均值值設設按表按表8.1中第二欄中關(guān)于單個正態(tài)分布均值的中第二欄中關(guān)于單個正態(tài)分布均值的 t 檢檢驗驗, 知拒絕域為知拒絕域為 , )1(/0 2/ ntnsdt , 9 n由由,3554. 3)8()8(005. 02/ tt,06. 0 d,1227. 0 s467. 1 t可知可知,3554. 3 , 0H所以接受所以接受認為這兩臺儀器的測量結(jié)果無顯著的差異認為這兩臺儀器的測量結(jié)果無顯著的差異. 四、小結(jié)本節(jié)學習的正態(tài)總體均值的假設檢驗有本節(jié)學習的正

24、態(tài)總體均值的假設檢驗有:; . 1檢驗檢驗的檢驗的檢驗單個總體均值單個總體均值Z ; . 221檢檢驗驗的的檢檢驗驗兩兩個個總總體體均均值值差差t ;. 3檢檢驗驗基基于于成成對對數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的檢檢驗驗t正態(tài)總體均值、方差的檢驗法見下表正態(tài)總體均值、方差的檢驗法見下表 ) ( 顯著性水平為顯著性水平為 4)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww0H原假設檢驗統(tǒng)計量1H備擇假設拒絕域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222

25、121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz32 17),(21222122212221未知)(000成對數(shù)據(jù)DDDnSDtD/0000DDD) 1() 1() 1(2/nttnttntt0H原假設檢驗統(tǒng)計量1H備擇假設拒絕域)(202202202未知2022) 1(Sn2221SSF 202202202222122212221) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或65附表附表8

26、.1 40H原假設檢驗統(tǒng)計量1H備擇假設拒絕域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww)2(21 nntt 321第六章2定理三).1(/ ,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 則有則有方差方差分別是樣本均值和樣本分別是樣本均值和樣本的樣本的樣本是總體是總體設設

27、第六章2定理四 2121211222212121121122212121)(11,)(11,1,1,),(, ),(,niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX值值分別是這兩個樣本的均分別是這兩個樣本的均設設且這兩個樣本互相獨立且這兩個樣本互相獨立本本的樣的樣相同方差的兩正態(tài)總體相同方差的兩正態(tài)總體分別是具有分別是具有與與設設 則則有有差差分分別別是是這這兩兩個個樣樣本本的的方方, (2);1, 1(/(1)222212122212221時時當當 nnFSS.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnS

28、YX 其其中中 t分布表a )()(ntntP =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.160