空間向量專題練習(xí)答案

1、空間向量專題練習(xí)一、填空題 ( 本大題共4 小題，共20.0 分 )1. 平面 的法向量為（ 1， 0， -1 ），平面 的法向量為（ 0， -1 ，1），則平面 與平面 所成二面角的大小為_【答案】或【解析】解：設(shè)平面 的法向量為=（ 1， 0，-1 ），平面 的法向量為=（ 0， -1 ， 1），則 cos ， =- ，=平面 與平面 所成的角與， 相等或互補(bǔ)， 與 所成的角為或故答案為：或利用法向量的夾角與二面角的關(guān)系即可得出本題考查了利用用法向量的夾角求二面角的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2. 平面 經(jīng)過三點(diǎn) A（ -1 ， 0， 1），B（ 1，1， 2），C（ 2，-1 ， 0

2、），則平面 的法向量可以是 _ （寫出一個(gè)即可）【答案】（ 0， 1，-1 ）【解析】解：=（ 2，1， 1），=（ 3，-1 ， -1 ），設(shè)平面 的法向量=（ x，y， z），則，令 z=-1 ， y=1， x=0 =（ 0， 1， -1 ）故答案為：（ 0， 1，-1 ）設(shè)平面 的法向量=（ x，y， z），則，解出即可本題考查了線面垂直與數(shù)量積的關(guān)系、平面的法向量，屬于基礎(chǔ)題3. 已知 =（ 1， 0， 2）， =（ 2， 1， 1），則平面 ABC的一個(gè)法向量為 _ 【答案】（ -2 ，3，1）【解析】解：=（ 1，0， 2），=（ 2，1， 1），設(shè)平面 ABC的法向量為=（x，

3、y， z），則，即，取 x=-2 ，則 z=1， y=3 =（ -2 ， 3， 1）故答案為：（ -2 ， 3， 1）設(shè)平面 ABC的法向量為=（x， y， z），則，解出即可本題考查了平面的法向量、線面垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題4. 在三角形 ABC中， A（ 1， -2 ， -1 ），B（ 0， -3 ， 1）， C（2， -2 ，1），若向量 與平面ABC垂直，且 |=，則 的坐標(biāo)為_【答案】（ 2，-4 ，-1 ）或（ -2 ，4，1）【解析】解：設(shè)平面ABC的法向量為=（ x， y， z），則=0，且 ? =0， =（ -1 ， -1 ， 2）， =（ 1，0， 2），即，令 z

4、=1，則 x=-2 ， y=4，即 =（-2，4，1），若向量與平面 ABC垂直，向量，設(shè) = =（ -2 ， 4，），|=，?| |=，即 | |=1 ，解得 = 1， 的坐標(biāo)為（ 2，-4 ， -1 ）或（ -2 ，4， 1），故答案為：（ 2， -4 ， -1 ）或（ -2 ， 4，1）根據(jù)條件求出平面的法向量，結(jié)合向量的長(zhǎng)度公式即可得到結(jié)論本題主要考查空間向量坐標(biāo)的計(jì)算， 根據(jù)直線和平面垂直求出平面的法向量是解決本題的關(guān)鍵二、解答題 ( 本大題共3 小題，共36.0 分 )5. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為菱形， BAD=60， Q為 AD的中點(diǎn)（ 1）若 PA=P

5、D，求證：平面 PQB平面 PAD；（ 2）點(diǎn) M在線段 PC上，若平面 PAD平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，求二面角 M-BQ-C的大小【答案】解：（ 1）證明：由題意知：PQ AD， BQ AD， PQ BQ=Q， AD平面 PQB，又 AD? 平面 PAD，平面 PQB平面 PAD（ 2） PA=PD=AD，Q為 AD的中點(diǎn)， PQ AD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD， PQ平面 ABCD，以 Q這坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 QA， QB， QP為 x， y， z 軸，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，由題意知： Q（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0，

6、0），P（0，0，）， B（0，0），C（-2 ，0）=（-，），設(shè)是平面MBQ的一個(gè)法向量，則，又 cos =平面，BQC的一個(gè)法向量，二面角M-BQ-C的大小是60【解析】（ 1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出 PQ AD，BQ AD，從而得到 AD平面 PQB，由此能夠證明平面PQB平面 PAD（ 2）以 Q這坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 QA， QB， QP為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 M-BQ-C的大小本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用6. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面 ABCD

7、，PD=DC=2，點(diǎn) E 是 PC的中點(diǎn)， F 在直線 PA 上（ 1）若 EF PA，求 的值；（ 2）求二面角 P-BD-E 的大小【答案】解：（ 1）在四棱錐P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，以 D 為原點(diǎn)， DA為 x 軸， DC為 y軸，DP為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， PD=DC=2，點(diǎn) E 是 PC的中點(diǎn)， F 在直線 PA上， P（ 0，0，2），A（2，0，0），C（ 0，2， 0）， E（ 0， 1， 1），設(shè) F（ a，0，c），則（a，0，c-2 ） =（ 2， 0， -2 ） =（ 2， 0，-2 ）， a=2，c=2-2 ，F(xiàn)（2，0

8、，2-2 ），=（ 2， -1 ， 1-2 ），=（ 2， 0， -2 ）， EF PA，=4 -2+4 =0，解得， = （ 2） P（0， 0， 2）， B（ 2， 2， 0）， D（0， 0， 0）， E（ 0，1， 1），=（ 0， 0， 2）， =（ 2， 2， 0）， =（ 0， 1， 1），設(shè)平面 BDP的法向量=（ x，y， z），則，取 x=1，得 =（ 1， -1 ， 0），設(shè)平面 BDE的法向量=（ x，y， z），則，取 x=1，得=（ 1， -1 ， 1），設(shè)二面角P-BD-E 的大小為，則 cos =二面角P-BD-E 的大小為arccos【解析】（ 1）以 D為原

9、點(diǎn)， DA為 x 軸， DC為 y 軸， DP為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出 的值（ 2）求出平面 BDP的法向量和設(shè)平面 BDE的法向量，由此能求出二面角 P-BD-E 的大小本題考查線段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用7. 如圖所示的幾何體是由棱臺(tái)ABC-A1B1C1和棱錐 D-AA1C1C拼接而成的組合體，其底面四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為 2 的菱形， 且 BAD=60，BB1平面 ABCD， BB1=2A1B1=2（）求證：平面AB1C平面 BB1D；（）求二面角A1-BD-C1 的余弦值【答案】（）證明：BB1平面 ABCD， BB1 AC， ABCD是菱形， BD AC，又 BD BB1=B， AC平面 BB1D， AC? 平面 AB1C，平面 AB1C平面 BB1D；（）設(shè) BD、 AC交于點(diǎn) O，以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 OA為 x 軸，以 OD為 y 軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)平面A1BD的法向量，由，取 z=，得，設(shè)平面 DCF的法向量，由，取 z=，得設(shè)二面角A1-BD-C1 為 ，則【解析】（）由BB1平面 ABCD，得 BB1 AC，再由 ABCD是菱形，得BD AC，由線面垂直的判定可得AC平面 BB1D，進(jìn)一步得到平面AB1C平面 BB1D；（）設(shè)BD、 AC