玩轉(zhuǎn)一副三角板

1、 銳角三角函數(shù)與解直角三角形是中考的必考內(nèi)容，近幾年的中考都有一題銳角三角函數(shù)與解直角三角形是中考的必考內(nèi)容，近幾年的中考都有一題，題型多是解答題或填空題的形式，近幾年隨著中考試題重視對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能，題型多是解答題或填空題的形式，近幾年隨著中考試題重視對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的考查，解直角三角形的內(nèi)容多以實(shí)際應(yīng)用出現(xiàn)，力的考查，解直角三角形的內(nèi)容多以實(shí)際應(yīng)用出現(xiàn)，2016年濰坊，臨沂，菏年濰坊，臨沂，菏澤，濟(jì)寧，德州等地區(qū)中考對(duì)解直角三角形就結(jié)合實(shí)際進(jìn)行考查。澤，濟(jì)寧，德州等地區(qū)中考對(duì)解直角三角形就結(jié)合實(shí)際進(jìn)行考查。三角板與解直角三角形三角板與解直角三角形 在一副三角板中，含45銳角三角板三邊比為1：1：

2、 ，含30銳角三角板三邊比為1： ：2，利用這個(gè)結(jié)果可以很快看出題目的答案234504506001231121、如圖、如圖1，將一塊直角三角板，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中放在平面直角坐標(biāo)系中B(2,0)，AOB=60，點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，過(guò)點(diǎn)在第一象限，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線為的雙曲線為 .在軸上取在軸上取一點(diǎn)一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線作直線OA的垂線的垂線l，以直線，以直線l為對(duì)稱軸，線段為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是稱變換后的像是OB。 （1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式）求反比例函數(shù)的表達(dá)式（2）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 45oCAB60

3、o45oABC45oBCA45o45oCAB45oCAB60oD60oD45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB翻翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)BCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oD旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)E45oCAB60oD45oCAB60oD45oCAB60oD45o60oABDC旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)60oD平移平移60oD60oD60oD60oD60oD60oD30oCAB45oD疊合形疊合形背靠形背靠形1、如圖AB是 O的直徑，CD是 O的弦，連接AC、BC、BD、AD，若CD平分ACB,CBA=30，BC=3 ，則AD的長(zhǎng)為( )A 3 B 6 C

4、 4 D 33662、如圖，為測(cè)量一座山峰、如圖，為測(cè)量一座山峰CF的高度，的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和和BC兩段，每一段山坡近似兩段，每一段山坡近似是是“直直”的，測(cè)得坡長(zhǎng)的，測(cè)得坡長(zhǎng)AB=800米，米，BC=200米，坡角米，坡角BAF=30，CBE=45（1）求）求AB段山坡的高度段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度）求山峰的高度CF（ 1.414，CF結(jié)果精確到米）結(jié)果精確到米）3、如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是、如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿米的旗桿ED，從辦公樓頂，從辦公樓頂端端A測(cè)得旗桿頂端測(cè)得旗桿頂端E的俯角的俯角是是4

5、5，旗桿底端，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離到大樓前梯坎底邊的距離DC是是20米，梯坎坡長(zhǎng)米，梯坎坡長(zhǎng)BC是是12米，梯坎坡度米，梯坎坡度i=1 : ，則大樓，則大樓AB的高度約的高度約為（）（精確到為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)米，參考數(shù)據(jù) 1.41， 1.73， 2.45）3263 以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問(wèn)題成為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題 以三角板為道具，以常見(jiàn)的、熟悉的幾何圖形為載體，并輔之以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換手段衍生的一系列與相似、全等等知識(shí)有關(guān)的問(wèn)題，能為大家動(dòng)手實(shí)踐與操作聯(lián)想提供了思考的空間也能提高對(duì)基本圖形的性質(zhì)掌握程度以及觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力和圖形運(yùn)動(dòng)

6、變化、分類討論思想等綜合運(yùn)用的能力一副三角板與動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題一副三角板與動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題4、一副直角三角板由一塊含一副直角三角板由一塊含30的直角三角板與一塊等腰直角三角板組成，且含的直角三角板與一塊等腰直角三角板組成，且含30角的三角板的較長(zhǎng)直角邊與另一三角板的斜邊相等（如圖角的三角板的較長(zhǎng)直角邊與另一三角板的斜邊相等（如圖1）（1）如圖）如圖1，這副三角板中，已知，這副三角板中，已知AB2，AC ，AD （2）在（）在（1）的條件下，將）的條件下，將ADC固定不動(dòng)，將固定不動(dòng)，將ABC通過(guò)旋轉(zhuǎn)或者平移變換可通過(guò)旋轉(zhuǎn)或者平移變換可使使ABC的斜邊的斜邊BC經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)ADC的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn)D方法一

7、：如圖方法一：如圖2，將，將ABC繞點(diǎn)繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度（0180） 方法二：如圖方法二：如圖3，將，將ABC沿射線沿射線AC方向平移方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度方法三：如圖方法三：如圖4，將，將ABC繞點(diǎn)繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度（0180） 請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：根據(jù)方法一，直接寫(xiě)出根據(jù)方法一，直接寫(xiě)出的值為：的值為： ；根據(jù)方法二，計(jì)算根據(jù)方法二，計(jì)算m的值；的值；根據(jù)方法三，求根據(jù)方法三，求的值的值 旋轉(zhuǎn)、平移求角或線段旋轉(zhuǎn)、平移求角或線段長(zhǎng)長(zhǎng)1 5 5、 圖中是一副三角板，45的三角板RtDEF的直角頂點(diǎn)D恰好在30的三

8、角板RtABC斜邊AB的中點(diǎn)處，A30，E45，EDFACB90，DE交AC于點(diǎn)G，GMAB于M（1）如圖，當(dāng)DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，作CNAB于N，求證：AMDN；（2）如圖，當(dāng)DFAC時(shí)，DF交BC于H，作HNAB于N，（1）的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你說(shuō)明理由旋轉(zhuǎn)得等線段旋轉(zhuǎn)得等線段2 6 6、如圖如圖1 1，已知，已知ABCABC中，中，ABABBCBC1 1，ABCABC9090，把一塊含，把一塊含3030角角的直角三角板的直角三角板DEFDEF的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn)D D放在放在ACAC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DEDE，長(zhǎng)直角邊為長(zhǎng)直角邊為DFDF），將直角三

9、角板），將直角三角板DEFDEF繞繞D D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（1 1）在圖）在圖1 1中，中，DEDE交交ABAB于于M M，DFDF交交BCBC于于N N證明證明DMDM= =DNDN；（2 2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2 2的位置，延長(zhǎng)的位置，延長(zhǎng)ABAB交交DEDE于于M M，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)BCBC交交DFDF于于N N，DMDMDNDN是是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3 3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3 3的位置，延長(zhǎng)的位置，延長(zhǎng)FDFD交交BCBC于于N N，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)EDED交

10、交ABAB于于M M，DMDMDNDN是是否仍然成立？否仍然成立？答：答： （請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，不用證明）（請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，不用證明）圖圖1圖圖3圖圖2旋轉(zhuǎn)得全等旋轉(zhuǎn)得全等4 現(xiàn)有一副直角三角板，按下列要求擺放：現(xiàn)有一副直角三角板，按下列要求擺放：（1）如圖）如圖1，固定等腰直角三角板，固定等腰直角三角板ABC，AOBC于點(diǎn)于點(diǎn)O，另一個(gè)直角三角，另一個(gè)直角三角板板DEF的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)O重合，現(xiàn)讓三角板重合，現(xiàn)讓三角板DEF繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)，使DF、DE分分別交別交AB、AC于點(diǎn)于點(diǎn)M、N，試求，試求 的值；的值；（2）如圖）如圖2，交換兩塊直角三角板的位置，固定直角三角板，交換兩

11、塊直角三角板的位置，固定直角三角板ABC，AOBC于點(diǎn)于點(diǎn)O，另一個(gè)等腰直角三角板，另一個(gè)等腰直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)O重合，重合，DF、DE分別交分別交AB、AC于點(diǎn)于點(diǎn)M、N，試求，試求 出的值出的值A(chǔ)NBMANBM拓展拓展ABC為任意為任意直角三角形直角三角形拓展得相似拓展得相似7、8、孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線 的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)兩直角邊與該拋物線交于、兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題： 若測(cè)得 （如圖7），求a的值 對(duì)同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖8所示位置時(shí)，過(guò)B 作 軸 于點(diǎn)F，測(cè)得

12、 ，寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求點(diǎn)A的橫坐標(biāo) 旋轉(zhuǎn)得相似旋轉(zhuǎn)得相似39、ABC中，中，ABAC2，BAC90，O是是BC的中點(diǎn)，小敏拿著的中點(diǎn)，小敏拿著含含45角的透明三角板，使角的透明三角板，使45角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)O，三角板繞，三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（1）如圖）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)于點(diǎn)E、F時(shí)，求證：時(shí)，求證：BOECFO；（2）操作：將三角板繞點(diǎn)）操作：將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí)，三角板的兩邊分別交情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊的延長(zhǎng)線、邊AC于于E、F探索：探索：BOE與與CFO還相似嗎？（只需寫(xiě)還相似嗎？（只需

13、寫(xiě)結(jié)論）：連接結(jié)論）：連接EF，BOE與與OFE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由設(shè)是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由設(shè)EFx，EOF的面積是的面積是S，寫(xiě)出，寫(xiě)出S與與x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式 如圖1所示，在ABC中，AB=AC=2, A= 90，O為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在AB邊上自由移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F在AC邊上自由移動(dòng)（1）E,F點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中， EOF是否能成為EOF=45的等腰三角形？若能，請(qǐng)指出為等腰三角形時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）當(dāng)EOF=45時(shí)，設(shè)BE= x , CF= y，求y與x之間的函數(shù)解析式，寫(xiě)出x的取值范圍變式變式1 等腰等腰ABC，ABAC8，BAC120，P為為BC的中點(diǎn)，小的中點(diǎn)，小慧拿著含慧拿著含30角的透明三角板，使角的透明三角板，使30角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（1）如圖）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)于點(diǎn)E、F時(shí)求證：時(shí)求證：BPECFP；（2）操作：將三