第三章平面一般力系

1、第三章 平面一般力系【本章重點內(nèi)容】平面一般力系向作用面內(nèi)一點簡化平面一般力系的平衡條件與平衡方程 3-1 平面一般力系的概念平面一般力系的概念平面一般力系平面一般力系 ： 作用在物體上諸力的作用線都分布在同一平面內(nèi)，既不匯交于同一點，也不完全平行，這種力系稱為平面一般力系。 它是工程實際中最常見的力系。)(10111FMMFFiiRFFF)(iOiOFMMM平面匯交力系的合成：平面力偶系的合成：合力合力偶主矢與簡化中心無關(guān)，而主矩一般與簡化中心有關(guān)。當(dāng)提到主矩時必須明確對哪一點而言。二、主矢與主矩的定義二、主矢與主矩的定義 xixixRxFFFFyiyiyRyFFFF三、主矢和主矩的計算三、

2、主矢和主矩的計算主矢大小22)()(iyixRFFF方向cos( , )ixRRFFiFcos( , )iyRRFFjF主矢的計算方法與匯交力系的計算方法相同。主矢的計算：解析法：主矢作用點： 簡化中心簡化結(jié)果及分析簡化結(jié)果及分析結(jié)果結(jié)果：平面一般力系向平面內(nèi)一點簡化，得到一個主矢和一個主矩，主矢的大小和方向與簡化中心的選擇無關(guān)。主矩的值一般與簡化中心的選擇有關(guān)。 分析分析：（1）若 ，則原力系簡化為一個力和 一個力偶。在這種情況下，根據(jù)力的平移定理，這 個力和力偶還可以繼續(xù)合成為一個合力F FR R，其作用 線離O點的距離為 ，利用主矩的轉(zhuǎn)向來 確定合力F FR R的作用線在簡化中心的哪一側(cè)

3、。00ORMF，/ORdMFOF FR R MoOF FR R d OMoF FR R OF FR R d (2)若 ，則原力系簡化為一個力。在這種情況下，附加力偶系平衡，主矢即為原力系的合力F FR R，作用于簡化中心。 （此時簡化結(jié)果與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）(3)若 ，則原力系簡化為一個力偶，其矩等于原力系對簡化中心的主矩。此時剛體等效于只有一個力偶的作用，因為力偶可以在剛體平面內(nèi)任意移動，故這時，主矩與簡化中心O無關(guān)。即無論力系向哪一點簡化都是一個力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若 ，則原力系是平衡力系。 00ORMF，00ORMF，00ORMF，練習(xí)練習(xí)四、平面固定端約

4、束四、平面固定端約束固定端約束:物體的一端完全固定在另一個物體上。約束反力認(rèn)為Fi這群力在同一平面內(nèi); =固定端約束簡化： A固定端約束簡化為AxFAyFAM 平面任意力系簡化主矢、主矩分解主矢固端約束力四、平面固定端約束四、平面固定端約束第三章第三章 平面一般力系平面一般力系 物體在平面一般力系的作用下平衡的充分和必要條件是：力系的主矢和力系對任意點的主矩都等于零。00 oRMF即3-3平面一般力系的平面一般力系的 平衡方程平衡方程一、平面一般力系的平衡條件一、平面一般力系的平衡條件)()()(22iOOyxRFMMFFF主矢和力系對任意點的主矩分別為：平面任意力系平衡的解析條件：（1）各力

5、在兩個任選坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和 分別等于零。（2）各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零。000oyxMFF)()()(22iOOyxRFMMFFF因為平面任意力系的平衡方程一、平面一般力系的平衡條件一、平面一般力系的平衡條件懸臂吊車如圖示，橫梁AB長l2.5m；0 xF 求圖示位置a2m時，拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。 例題拉桿CB傾斜角450，質(zhì)量不計。重量P1.2kN；載荷Q7.5kN；解：1）取AB梁為研究對象ABC2lalPQTFAxFAyFABxyPQ畫受力圖2）寫平衡方程cos0AxTFF0yF sin0AyTFPQF 0AMF sin02TlFlPQa 3）解平衡方程sin13

6、.2kN2TlFPQal（1）（2）（3）由（3）式懸臂吊車如圖示，橫梁AB長l2.5m；0 xF 求圖示位置a2m時，拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。 例題拉桿CB傾斜角450，質(zhì)量不計。重量P1.2kN；載荷Q7.5kN；解：ABC2lalPQTFAxFAyFABxyPQ2） 寫平衡方程cos0AxTFF0yF sin0AyTFPQF 0AMF sin02TlFlPQa 3）解平衡方程sin13.2kN2TlFPQalcos11.43kNAxFT2.1kNAyF由（1）和（2）式得（1）（2）（3）練習(xí)：如圖所示為高爐加料小車。小車由鋼索牽引沿傾角為a=30的軌道勻速上升，已知小車的質(zhì)量G=

7、10kN，繩與斜面平行，a=05m，b=02m，不計摩擦。求鋼絲繩的拉力及軌道對車輪的約束力。練習(xí)練習(xí)已知：AC=CB=l,P=10kN;求： 鉸鏈A和DC桿受力。（用平面任意力系方法求解）解：練習(xí)已知：AC=CB=l,P=10kN;求： 鉸鏈A和DC桿受力。（用平面任意力系方法求解）解：取AB梁，畫受力圖。 0 xF 0yF0cos450AxcFF0sin450AycFFP0AM0cos4520cFlPl 解得20kN,10kNAxAyFF 28.28kNCF 討論平面任意力系平衡方程的其他形式二、平面任意力系平衡方程的三種形式二、平面任意力系平衡方程的三種形式一般式000AyxMFF二矩式

8、000BAxMMF兩個取矩點連線，不得與投影軸垂直,A B三矩式000CBAMMM三個取矩點，不得共線, ,A B C懸臂吊車如圖示，橫梁AB長l2.5m；0 xF 求圖示位置a2m時，拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。 例題拉桿CB傾斜角450，質(zhì)量不計。重量P1.2kN；載荷Q7.5kN；解：ABC2lalPQTFAxFAyFABxyPQ2） 寫平衡方程cos0AxTFF0yF sin0AyTFPQF 0AMF sin02TlFlPQa 3）解平衡方程sin13.2kN2TlFPQalcos11.43kNAxFT2.1kNAyF由（1）和（2）式得（1）（2）（3）懸臂吊車如圖示，橫梁AB長l

9、2.5m；0 xF 求圖示位置a2m時，拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。 例題拉桿CB傾斜角450，質(zhì)量不計。重量P1.2kN；載荷Q7.5kN；ABC2lalPQTFAxFAyFABxyPQ4）其他形式平衡方程的求解cos0AxTFF 0AMF sin02TlFlPQa 求解結(jié)果相同：sin13.2kN2TlFPQalcos11.43kNAxFT2.1kNAyF 0BMF 02AylQ laPFl AB連線不能與X軸垂直練習(xí)：剛架ABCD的A處為固定鉸支座，D處為輥軸支座。此剛架上有水平載荷和垂直載荷。已知F1=10 kN，F(xiàn)2=20 kN， a=3 m。求支座A、D的約束反力。 練習(xí)：剛架A

10、BCD的A處為固定鉸支座，D處為輥軸支座。此剛架上有水平載荷和垂直載荷。已知F1=10 kN，F(xiàn)2=20 kN， a=3 m。求支座A、D的約束反力。 解：（1）取剛架整體為研究對象，畫出受力圖。(3) 列平衡方程：(4) 求解：A12D( )0, 20yMFF aFaFaD21A( )0, 20yMFF aF aFa A10, 0 xxFFFA110 kNxFF A21()/25 kNyFFFD15 kNyF練習(xí)： 水平外伸梁如圖所示。若均布載荷q=20kN/m，F(xiàn)=20kN，力偶矩M=20kNm ，a=0.8m，求A、B點的約束反力。 解：（1）取梁為研究對象。（2）受力分析如圖。例 水平

11、外伸梁如圖所示。若均布載荷q=20kN/m，F(xiàn)=20kN，力偶矩M=20kNm ，a=0.8m，求A、B點的約束反力。 (3) 列平衡方程：(4) 聯(lián)立求解：AAB24 kN,0,12 kNyxyFFFAB( )0,202yaMFqaMFaFaAB0,0yyyFFFFqaA0,0 xxFF練習(xí)斜坡傾角為30例題均布荷載均勻連續(xù)分布的力叫均布荷載；均布荷載作用范圍內(nèi)，單位長度上承受的力叫載荷集度q.均布荷載的合力Q在均布荷載作用范圍的中點（圖中不畫），Q的大小等于載荷集度與均布荷載分布長度的乘積。 Q=q l (上圖中為Q=q 2a)yx例5已知：, , ,;P q a Mpa求： 支座A、B處

12、的約束力。解：取AB梁，畫受力圖。 0 xF0AM 0yF0AxF4220BFaMPaqa a解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得342AyPFqa練習(xí)練習(xí)例6已知：20kN m,M 100kN,P 400kN,F kN20,mq 1m;l 求： 固定端A處約束力。解：11330kN2Fql 0 xF01sin600AxFFF316.4kNAxF 0yF060cosFPFAykN300AyF0AM解得0360sin60cos1lFlFlFMMAmkN1188AM平面平行力系例題練習(xí)第三章第三章 平面一般力系平面一般力系3-4 物體系統(tǒng)的平衡問題3、靜定和靜不定問題 物體系統(tǒng)的平衡問題

13、 以上討論的都是單個物體的平衡問題。對于物體系統(tǒng)的平衡問題，其要點在于如何正確選擇研究對象，一旦確定了研究對象，則計算步驟與單個物體的計算步驟完全一樣。下面舉例講解如何正確選擇研究對象的問題。例8 已知圖示物體系上的各力M、q、F，判斷物體系是否是靜定問題。解:BD桿為二力桿，力為FB，AC、CD、B桿組成物體系。cxFcyF分別畫AC、CD桿的受力圖。AC桿的受力圖，約束力5個，CD桿的受力圖，約束力3個， 未知力數(shù)為6個，兩個物體的平衡方程數(shù)為6個。結(jié)論：物體系為靜定結(jié)構(gòu)。注意作用反作用力例 9 已知:F =20kN,q=10kN/m,20mkNMl=1m;求: A,B處的約束力.解:1）

14、取CD梁,畫受力圖. 0cM0230cos260sin00lFlqllFB解得 FB = 45.77kN解得kN89.32AxF2）取整體,畫受力圖 0 xF030sin60cos00FFFBAxkN89.32AxF 0yF00sin602cos300AyBFFqlF解得2.32kNAyF 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBA解得kN37.10AM2）取整體,畫受力圖例9 已知: F =20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求: A,B處的約束力.1）取CD梁,畫受力圖FB = 45.77kN例10練習(xí)已知： OA=R，AB= l,F不計物體自重與摩擦,系

15、統(tǒng)在圖示位置平衡;求：力偶矩M 的大小，軸承O處的約束力，連桿AB受力，沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。解:練習(xí)已知： OA=R，AB= l,F不計物體自重與摩擦,系統(tǒng)在圖示位置平衡;求：力偶矩M 的大小，軸承O處的約束力，連桿AB受力，沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。解:1）取沖頭B,畫受力圖。 0yF0cosBFF解得22cosRlFlFFB 0 xF0sinBNFF解得22tanRlFRFFN2）取輪,畫受力圖（AB桿為二力桿）.0 xF0sinAoxFF解得22tanoxFRFFlR 0yF0cosAoyFF解得FFoy 0oM0cosMRFA解得FRM 練習(xí)已知： OA=R，AB= l,F不計物體自重與摩擦

16、,系統(tǒng)在圖示位置平衡;求：力偶矩M 的大小，軸承O處的約束力，連桿AB受力，沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。cosABFFF練習(xí)已知: P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,風(fēng)載F=10kN,尺寸如圖;求:A,B處的約束力。練習(xí)已知: P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,風(fēng)載F=10kN,尺寸如圖;求:A,B處的約束力。解:1）取整體,畫受力圖 0AM05246101221FPPPPFBy解得77.5kNByF 0yF0221PPPFFByAy解得72.5kNAyF2）取吊車梁，畫受力圖 0DM024821PPFE解得12.5kNEF 練習(xí)已知: P=60kN,P2=10kN,P1=20

17、kN,風(fēng)載F=10kN,尺寸如圖；求： A，B處的約束力。解： 1）取整體，畫受力圖77.5kNByF72.5kNAyF3）取右邊剛架，畫受力圖 0 xF0BxAxFFF解得7.5kNAxF4）對整體圖1）取整體,畫受力圖77.5kNByF72.5kNAyF 0AM 0yF2）取吊車梁,畫受力圖 0DM12.5kNEF 0CM04106EBxByFPFF解得17.5kNBxF 兩個相互接觸的物體存在相對運動的趨勢或發(fā)生相對運動時，接觸面之間由于并非絕對光滑，而在接觸面的公切線上存在阻礙兩物體相對運動的力，這種力稱為摩擦力。 摩擦力的物理本質(zhì)很復(fù)雜，與材料性質(zhì)、表面情況、相對運動性態(tài)以及環(huán)境等有

18、關(guān)摩擦學(xué)。 摩擦有利的一面：皮帶靠摩擦傳遞運動，制動器靠摩擦剎車，等等； 摩擦不利的一面：使機件磨損甚至損壞等等。為什么滾動比滑動省力？這個問題涉及到滾動摩擦與滑動摩擦?；瑒幽Σ潦俏矬w沿另一物體表面滑動時產(chǎn)生的摩擦力。滾動摩擦是物體在另一物體上滾動時產(chǎn)生的摩擦。它比最大靜摩擦和滑動摩擦要小得多，在一般情況下，滾動摩擦只有滑動摩擦阻力的1/40到1/60。所以在地面滾動物體比推著物體滑動省力得多。 人們設(shè)計出車輪，就是為了變滑動摩擦為滾動摩擦，而圓形物體最有利于滾動（圓形物體滾動中重心高度相對與地面接觸點是不變的,滾動起來不需要克服重力做功),所以 輪子曾一度是人類最偉大的發(fā)明.摩擦滑動摩擦滾動

19、摩擦靜滑動摩擦動滑動摩擦靜滾動摩擦動滾動摩擦摩擦干摩擦濕摩擦摩擦力的分類：PNF如果施以水平力HFHF可能出現(xiàn)什么情況？F也一定會出現(xiàn)約束反力摩擦力F 一、滑動摩擦力 兩個相互接觸的物體，當(dāng)它們之間產(chǎn)生了相對滑動或者有相對滑動的趨勢時，在接觸面之間產(chǎn)生了彼此阻礙運動的力，這種阻力就稱為滑動摩擦力。 現(xiàn)有一物塊承受重力，在鉛垂方向必有約束反力與之平衡。(1);HHFFF 較小時,物塊有運動趨勢,但沒有發(fā)生運動,此時有max(2);HHFFFFF增大 也增大,物塊運動趨勢也增大,達(dá)到將動未動時,有(3)HHFFF。繼續(xù)增大,物塊開始滑動,摩擦力不再增大,但是此時其大小不確定,因為與力及物體的慣量,

20、運動狀態(tài)有關(guān)PNFHFF水平力作用下可能的現(xiàn)象有：靜滑動摩擦力（靜摩擦力）。臨界平衡狀態(tài)（最大靜摩擦力）。動滑動摩擦力（動摩擦力）。靜滑動摩擦力的特點：1、方向：沿接觸處的公切線，2 、大?。簃ax0FF3、 NFfFsmax（庫侖摩擦定律：最大靜摩擦力的大小與兩 物體間的正壓力成正比）與相對滑動趨勢反向；max0FF可見臨界摩擦力與維持平衡的靜摩擦力的關(guān)系為：sNfF，。靜摩擦因數(shù)，是一個無量綱的正數(shù)它與接觸面的材料，粗糙程度，潤滑情況等等有關(guān)，在一般情況下與接觸面的大小無關(guān)；接觸物體間的正壓力PNFHFF2 大?。篎fF N動滑動摩擦的特點：1 方向：沿接觸處的公切線， 與相對滑動趨勢反向

21、；f稱為動滑動摩擦系數(shù)，與接觸物的材料和表面情況有關(guān)，還與接觸物體間相對滑動的速度大小有關(guān)。PNFHFF動摩擦力的大小與正壓力成正比，比例系數(shù)為動摩擦系數(shù)。思考：物體放在粗糙的桌面上，是否一定會受到摩擦力的作用？不具有，因為摩擦力的條件：1.接觸且有壓力;2.相互運動或具有相互運動的趨勢 考慮摩擦?xí)r的平衡問題，平衡方程照用，求解步驟與前面基本相同。幾個新特點：2 嚴(yán)格區(qū)分物體處于臨界、非臨界狀態(tài)；3 因 問題的解有時在一個范圍內(nèi)。maxFFs01 畫受力圖時，必須考慮摩擦力；例題：用400N的力將一個重80N的物體垂直壓在墻上靜止不動，摩擦系數(shù)為0.25，問該物體所受摩擦力？解答該物體所受摩擦

22、力為80N。由于該物體靜止不動，故所受力平衡。在水平方向上，物體受所施加的壓力和彈力，兩力大小相等，方向相反，豎直方向上同理，物體所受的重力與其所受的靜摩擦力是一對相互作用力，大小相等，均為80N，且兩力方向相反.求：物塊是否靜止，摩擦力的大小和方向。030sin30cos, 0oosxFPFF030cos30sin, 0ooNyFPFF解：取物塊，設(shè)物塊平衡,N1500P已知：,2 . 0sf0.18,f ：N400F例N1499NF物塊處于非靜止?fàn)顟B(tài)269.8N,NFfF向上。NsFfFmaxN8 .299而解得：N6 .403sF(向上)推力為 ， 解（1）使物塊有上滑趨勢時，1F已知：

23、.,sfP水平推力 的大小求：使物塊靜止，F(xiàn)例畫物塊受力圖,0 xF0sincos11sFPF(1),0yF0cossin11NFPF(2)解得：PffFsssincoscossin11N 1SsFf F(3)（2）設(shè)物塊有下滑趨勢時，推力為2F畫物塊受力圖：PffFsssincoscossin2, 0 xF0sincos22sFPF(1), 0yF0cossin22NFPF(2)22NssFfF(3)12sincoscossinsincoscossinFPffFPffFssss為使物塊靜止練習(xí)：P4622題例題練習(xí)：P4621題【本章小結(jié)本章小結(jié)】一、力線平移定理： 平移一力的同時必須附加一

24、力偶，附加力偶的矩等于原來的力對新作用點的矩。 二、平面一般力系的簡化 主矢和主矩 一般情況下，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，即 iRFF這個力偶的矩等于該力系對于簡化中心的主矩，即 作用線通過簡化中心 。niiOOFMM1)(【本章小結(jié)本章小結(jié)】三、平面一般力系簡化結(jié)果0RF主矢主矢主矩主矩最后結(jié)果最后結(jié)果說明說明合力合力合力合力合力作用線過簡化中心合力作用線過簡化中心0RF合力作用線距簡化中心合力作用線距簡化中心合力偶合力偶平衡平衡與簡化中心的位置無關(guān)與簡化中心的位置無關(guān)與簡化中心的位置無關(guān)與簡化中心的位置無關(guān)0OM0OM0OM 0OM ORMF四、平面任意力系平衡的必要和

25、充分條件是： 力系的主矢和對于任一點的主矩都等于零，即 0iRFF0)(1niiOOFMM平面任意力系平衡方程的一般形式為 0ixF 0iyF 0OiMF 【本章小結(jié)本章小結(jié)】【本章小結(jié)本章小結(jié)】二力矩式 000BAxMMF其中：A、B兩點的連線不能與x軸垂直 三力矩式 000CBAMMM其中：A、B、C三點不能選在同一直線上。五、平面一般力系問題計算 在物體系的受力分析時，首先找主動力和未知力所在物體，再找二力桿。平衡方程盡量只含一個未知數(shù)，便于求解【本章作業(yè)本章作業(yè)】習(xí)題：1 , 6, 10, 13, 16, 17 本章結(jié)束習(xí)題1已知：尺寸如圖；求：軸承A、B處的約束力。解： 取起重機，畫

26、受力圖。 0 xF 0yF0AM 0AxBFF解得50kNAyF31kNBF 31kNAxF140kNP 10kNP 01PPFAy05 . 35 . 151PPFB習(xí)習(xí) 題題 課課習(xí)題2已知: DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,450P,各構(gòu)件自重不計。求：A，E支座處約束力及BD桿受力。解： 1）取整體，畫受力圖 0EM2 230AFlPl解得3 24AFP 0 xF 045cos0AExFF解得34ExFP習(xí)習(xí) 題題 課課0 xF 045cos0AExFF0yF 045sin0AEyFPF解得74EyFP2）取DCE桿，畫受力圖。 0CM02245cos0lFlFlFExKDB

27、解得22DBFP(拉)習(xí)題2已知: DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,450P, 各構(gòu)件自重不計， 求：A，E支座處約束力及BD桿受力。解： 1）取整體,畫受力圖34ExFP 0EM2 230AFlPl3 24AFP 習(xí)習(xí) 題題 課課習(xí)題3 已知：q ,a ,M ,2,Mqa且P作用于銷釘B上；求：固定端A處的約束力和銷釘B對BC桿、AB桿的作用力。解：1）取CD桿，畫受力圖0DM02CxaFaqa解得12CxFqa2）取BC桿（不含銷釘B)，畫受力圖0ixF0BCxCxFF解得12BCxFqa習(xí)習(xí) 題題 課課3）取銷釘B，畫受力圖0ixF0ABxBCxFF解得12ABxFqa則12ABxFqa 0iyF0AByBCyFFP解得AByFPqa則()AByFPqa 0CM0BCyMFa解得BCyFqa習(xí)題3 已知：q ,a ,M ,2,Mqa且P作用于銷釘B上；求：固定端A處的約束力和銷釘B對BC桿,AB桿的作用力。習(xí)習(xí) 題題 課課4）取AB桿（不含銷釘B），畫受力圖0ixF1302AxABxFqaF 解得AxFqa 0iyF0AyAByFF解得AyFPqa0AM31302AABxaAByMqa aFFa 解得()AMPqa a習(xí)題3 已知：q ,a ,M ,2,Mqa且P作用于銷釘B上；求：固定