建筑力學課件7

1、10.1 形心、靜矩及其相互關系形心、靜矩及其相互關系10.2 慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑10.3 慣性矩、慣性積的平行移軸和轉軸公式慣性矩、慣性積的平行移軸和轉軸公式10.4 主慣性軸和主慣性矩主慣性軸和主慣性矩結論與討論結論與討論 構件在外力作用下產生的應力和變形，都與截面的構件在外力作用下產生的應力和變形，都與截面的形狀和尺寸有關。與平面圖形幾何形狀和尺寸有關的形狀和尺寸有關。與平面圖形幾何形狀和尺寸有關的幾何量，如截面面積幾何量，如截面面積A與拉壓應力計算有關、與拉壓應力計算有關、EA為拉為拉壓桿的剛度，與變形計算有關；極慣性矩壓桿的剛度，與變

2、形計算有關；極慣性矩IP與扭轉切與扭轉切應力計算有關、應力計算有關、GIP為扭轉剛度，與扭轉變形計算有關；為扭轉剛度，與扭轉變形計算有關；慣性矩慣性矩Iz與受彎的應力計算有關，與受彎的應力計算有關，EIz為彎曲剛度，與為彎曲剛度，與彎曲變形有關；彎曲變形有關；iz為慣性半徑，與壓桿的穩(wěn)定性計算有為慣性半徑，與壓桿的穩(wěn)定性計算有關。平面圖形的幾何量統(tǒng)稱為截面的幾何性質。關。平面圖形的幾何量統(tǒng)稱為截面的幾何性質。這些幾何量不僅與截面的大小有關，而且與截面的這些幾何量不僅與截面的大小有關，而且與截面的幾何形狀有關。它們與研究對象的力學性質無關，但幾何形狀有關。它們與研究對象的力學性質無關，但研究桿件

3、的應力與變形，研究失效問題以及強度、剛研究桿件的應力與變形，研究失效問題以及強度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及截面圖形幾何性質。度、穩(wěn)定問題，都要涉及截面圖形幾何性質。為什么要研究截面圖形的幾何性質為什么要研究截面圖形的幾何性質截面圖形的幾何性質包括：形心、靜矩、截面圖形的幾何性質包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸、主慣性矩等。主軸、主慣性矩等。 截面圖形的幾何性質內容包括截面圖形的幾何性質內容包括10.1 形心、靜矩及其相互關形心、靜矩及其相互關系系Centroid of area, static moment1. 形心 Centroi

4、d of area 對于等厚度的平板，其重心坐標對于等厚度的平板，其重心坐標AcAy dAydAAcAz dAzdA截面的形心就是截面圖形的幾何中心，重心是針對實物體而言的，而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實物體，即 ，則形心坐標形心坐標與重心坐標重合。與重心坐標重合。constAydAyAcAzdAzAcAyAzSd2. 靜矩 static momentyzOdAzyAzAySd圖形對于圖形對于 z 軸的靜矩軸的靜矩圖形對于圖形對于 y 軸的靜矩軸的靜矩靜矩量綱：靜矩量綱：長度長度3 ，可正、可負、可為零，可正、可負、可為零dzACy ASyAA形心、靜矩及其相互關系形心、靜矩及

5、其相互關系CyAzSAyAzSdAzAySdCzAyS dyACz ASzAA形心軸的概念；對稱軸為形心軸形心軸的概念；對稱軸為形心軸組合圖形的形心、靜矩及其相互關系組合圖形的形心、靜矩及其相互關系112211112211nnzziCCnCniCiinnyyiCCnCniCiiSSA yA yA yA ySSAzA zA zAz1111niCiziCniiniCiyiCniiA ySyAAAzSzAA例例1 求形心位置求形心位置解解： 建立參考坐標系建立參考坐標系oyzyz0zs802012010201202211ccyzAzAs3310216mm0zcSyA3216 1045120202yc

6、SZmmA對于由型鋼組合的截面圖形，對于由型鋼組合的截面圖形，必須查表必須查表確定確定各個圖形的各個圖形的 面積、形心坐標等參數面積、形心坐標等參數！10.2 慣性矩、慣性積、極慣慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑性矩與慣性半徑（Moment of inertia; Production of inertia; Polar moment of inertia; Radius of gyration）2dzAIyAAArId2PAyzAyIzd2dyAIzA圖形對圖形對 z 軸的軸的慣性矩慣性矩圖形對圖形對 y軸的軸的慣性矩慣性矩圖形對圖形對 y z 軸的軸的慣性積慣性積圖形對圖形對 O 點的點

7、的極慣性矩極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩的計算方法慣性矩、慣性積、極慣性矩的計算方法yzOdAzyrA量綱：量綱：長度長度4AIiyyAIizz圖形對圖形對 y 軸的軸的慣性半徑慣性半徑圖形對圖形對 z 軸的軸的慣性半徑慣性半徑慣性半徑的計算方法慣性半徑的計算方法yzOdAzyAyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2 0 0 0 0, 0慣性矩、慣性積、極慣性矩的特征慣性矩、慣性積、極慣性矩的特征若有一軸為對稱軸，則0yzIyzOdAzyAyAzId2AArId2PAzAyId2zyIIIP222ryz222Pd(+z )dAAIrAyA22d +z dAAyAA例例2 已

8、知：圓截面直徑已知：圓截面直徑d 求求：Iy， IzdrdrdACzyd2 dAr r42202 dr32ddrr44P3232DdI =-P=/ 2yzIII44P/ 2()64yzI = I = ID -dDdzyPyzIII2P=AIr dA4p264yyIdII已知：矩形截面已知：矩形截面b h，求求：Iy，Iz ，iy，iz2yAIz dACzybhy dydAzdzdA322212hhybhIz bdzdAbdz2zAIy dA322212bbzhbIy hdydAhdy312ybhI 312zhbI 慣性半徑慣性半徑3/1236yyIbhhiAbh3/1236zzIb hbiAb

9、h 思 考 題判斷 的正負yzIAyzAyIzd12zdzdyzAAIyAyA12AAA11zd0AIyA22zd0AIyA120yzIIIA1A210.3 慣性矩、慣性積的慣性矩、慣性積的平行移軸和轉軸公式平行移軸和轉軸公式 移軸定理（移軸定理（parallel-axis theorem）是指）是指圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關系。即通過的關系。即通過已知圖形已知圖形對于一對坐標的慣對于一對坐標的慣性矩、慣性積，求圖形對性矩、慣性積，求圖形對另一對坐標另一對坐標的慣性的慣性矩與慣性積。矩與慣性積。IyIy1Iz1Iy1z1IzIyz y1=y

10、b z1=za 已知已知： Iy、Iz、Iyz求：求： Iy1、Iz1、Iy1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211ab22dddyAzAyzAIzAIyAIyz A2221=(2)yAAI=z+adAz + azadA21211 122yyyzzzy zyzzyI= I + aS +a AI= I + bS +b AI= I+aS +bS +abAab222AAAz dA+ azdAadA2221(2)zAAI=y+bdAy + byb dA222AAAy dA+ bydAbdA1 1ddy zAAIybzaAyzyabzbaAAAAAyzdA+aydAbzdAab

11、dAddyAzASz ASy A21211 122yyyzzzy zyzzyIIaSa AIIbSb AIIaSbSabA21211 1yyzzy zyzI= I +a AI= I +b AI= I+abA在所有互相平行的軸中，截面對形心軸的慣性在所有互相平行的軸中，截面對形心軸的慣性矩最小矩最小假定假定x, y為形心軸則有以下結論：為形心軸則有以下結論：1 1x yxyI= I+abA1 1x yxyI= I例例 求右圖對形心軸的慣性矩、慣性積。求右圖對形心軸的慣性矩、慣性積。解：解：4633211096. 212201201212020mmIIIzzz21yyyIII3322641 111

12、11202012020353.02 101212ybhIAamm3322642222220 12012020(6025)5.82 101212yb hIA amm461084. 8mmIy0yzIzy112212CCCAzA zzAAy(yc, zc)20 120 13020 120609520 12020Cy 思 考 題bzhczy已知已知123bhIz，求，求 zcI2zzcIIa A由平行軸定理得：由平行軸定理得：其中，a為形心到z軸的距離，A為三角形的面積。2zczIIa A332()123236bhhbhbh1cossinyyz已知已知：Iy、Iz、Iyz、求：求： Iy1、Iz1、

13、Iy1z1211dyAIzA1cossinzzy211dzAIyA1 11 1dy zAIy z AAzyAzAyAzyIAyIAzIddd11112112111 1sin2cos22yzy zyzIIII11cos2sin222cos2sin222yzyzyyzyzyzzyzIIIIIIIIIIII11cossincossinzzyyyzP22211ddIArAzyIIIIAAzyzy11cos2sin222cos2sin222yzyzyyzyzyzzyzIIIIIIIIIIII10.4主慣性軸和主慣性矩主慣性軸和主慣性矩11dd12 ()sin2cos2 dd2yzyzyzIIIII 01

14、00,d12 ()sin2cos20d2yyzyzIIII 令時0dd0dd11zyII，11cos2sin222cos2sin222yzyzyyzyzyzzyzIIIIIIIIIIIIzyyzIII2tan20009090可得相差的兩個角度和從而確定了一對互相垂直的坐標軸從而確定了一對互相垂直的坐標軸y0軸軸z0軸。軸。yz22min0max04212yzzyzyzyIIIIIIIII坐標軸坐標軸y0軸軸z0軸稱為軸稱為。0 000sin2cos202yzy zyzIIII 圖形尺寸如圖所示，求：圖形尺寸如圖所示，求：圖形的形心主矩圖形的形心主矩1 1將所給圖形分解為簡單圖形的組合將所給圖形

15、分解為簡單圖形的組合 yzyC233312333310270 1050 10150 10m300 1030 10270 1050 10iCiiCiiA yyA mm90yzyCyz4-93-3-93-3m12105010270121030010304745mm10037m10037.yz Iz0=Iz0()+Iz0() -33-9300 1030101212100721050-93-34844mm10042m10042.-3-362103010300109026-3-346010270 1050 10m試求圖示平面圖形的形心主慣性矩。試求圖示平面圖形的形心主慣性矩。 (a) 10 10 16

16、2 2 2 C o22 z y z0 y0 (-4, 9) (4, -9) 1求形心位置，由對稱性可知，對稱求形心位置，由對稱性可知，對稱中心中心C為形心。為形心。 2求圖形對軸和軸的慣性矩和慣性積求圖形對軸和軸的慣性矩和慣性積3936121622921012210323yImm4984122162421012102323zImm4101101298982d d2/ 2dyzIyz y zy zz 101028880 d404036z zz 1440 (a) 10 10 16 2 2 2 C o22 z y z0 y0 (-4, 9) (4, -9) 3求形心主軸的位置求形心主軸的位置976. 098439361440222tan0zyyzIII 或或o220o112 (a) 10 10 16 2 2 2 C o22 z y z0 y0 (-4, 9) (4, -9) 4求形心主慣性矩求形心主慣性矩4222200mm 3984522 20622460 1440498439362129843936 4212yzzyzyzyIIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIIxy=0，Ix=Iy=a4/12代入轉