函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

1、1第三章第三章 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分3.1 導(dǎo)數(shù)的概念3.2 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則3.3 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.4 高階導(dǎo)數(shù)3.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.6 函數(shù)的微分( )dyfx dx 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分引言引言：研究變量與變量之間的依賴(lài)關(guān)系即研究函數(shù)關(guān)系；研究變量的變化趨勢(shì)即研究函數(shù)極限；除此之外, 還要研究各變量之間相對(duì)變化快慢的程度; 如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度、城市人口增長(zhǎng)的速度、國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的速度等等, 這就需要用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究. 本章將介紹導(dǎo)數(shù)和微分的概念以及它們的計(jì)算方法. 33.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 勻速直線運(yùn)動(dòng)的(瞬時(shí))速度：svt 0t0 t

2、t tP00()()s tts tsvtt 即路程的改變量與時(shí)間的改變量之商. 設(shè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)P (運(yùn)動(dòng)軌跡為 s = s(t) 從 t0時(shí)刻到t0+t時(shí)刻, 動(dòng)點(diǎn)P在t 這段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為 s = s(t0+t)- -s (t0) ，平均速度為 1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度一一. .引例引例當(dāng)t變化, v也隨之而變; 當(dāng)t時(shí), 可看作是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0 的“瞬時(shí)速度”的近似值. 從而對(duì)平均速度取極限, 便有v0000()( )limlimtts tts tstt 如果極限 存在, 則稱(chēng)此極限值為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度, 即0000()()limlimtts tts tstt 000

3、00()()()limlimtts tts tsv ttt 2.平面曲線的切線斜率 當(dāng)某一質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí), 不僅在速度上有變化, 而且在運(yùn)動(dòng)方向上也有變化. 欲知做曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向,就是要求曲線上該點(diǎn)的切線方程,而求切線方程的關(guān)鍵是求出切線的斜率.yox 設(shè)曲線L的方程為y=(x), M0(x0 ,y0)為L(zhǎng) L上一定點(diǎn), 動(dòng)點(diǎn)M(x0+x,y0+y), 作割線 M0M, 與x軸夾角為, 則割線M0M的斜率為L(zhǎng)：y=(x)0M0 x0 xx MT000()()tanM Mf xxf xykxx 0y0yy xyL 沿曲線當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M 趨向定點(diǎn) M0時(shí), 有x0 此時(shí)割線 M0M 的

4、極限位置就是曲線 L 過(guò)定點(diǎn) M0 的切線 M0T;1M60M T0tanlim tanxk 那么割線斜率的極限就是切線 的斜率, 即0000()()limlimxxf xxf xyxx 0000()()limlimxxf xxf xykxx 如果極限 存在, 此極限值便是曲線在點(diǎn)x0處切線的斜率,即 0000()()limlimxxf xxf xyxx 存在. 則稱(chēng)此極限值為函數(shù)(x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)(或微商). 也稱(chēng)(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo). 記作 以上引例一個(gè)是物理學(xué)中的瞬時(shí)速度, 一個(gè)是幾何學(xué)中的切線斜率. 僅從數(shù)量關(guān)系來(lái)看, 二者的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極

5、限, 簡(jiǎn)稱(chēng)差商的極限.定義定義1 1. 設(shè)函數(shù) y =(x)在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 設(shè)自變量在點(diǎn) x0 處有改變量x 0 時(shí) (x0+x也在該鄰域內(nèi)) , 函數(shù)有相應(yīng)改變量y = f(x0+x)- -f(x0), 若極限 0000()()limlimxxfxxfxyxx 0000(),.xxxxxxdfdyfxydxdx 二.導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念8若此極限不存在, 則稱(chēng)(x)在點(diǎn) x0 處不可導(dǎo). 若令 則0 xxx 00 xxx 0000( )()()limxxf xf xfxxx , 從而注注1:1: 反映的是函數(shù)在點(diǎn) x0 處的變化速度, 也稱(chēng)為函數(shù)在 x0 處的變化率. 的值由

6、x0 唯一確定(極限的唯一性).00()()f xxf xyxx 00()limxyfxx 0()fx 反映的是自變量x從x0 改變到x0+x時(shí)函數(shù)的平均變化速度, 稱(chēng)為函數(shù)的平均變化率.而導(dǎo)數(shù)注注2：導(dǎo)數(shù) (三統(tǒng)一)可變化為0000()()()limxf xxf xfxx 0000000()()()()()limlimhxxfxhfxfxfxfxhxx 若 則0(),f x 存在0000()()lim()xf xxf xfxx 00000()()()()lim2hf xhf xf xhf xh 000()()lim2hf xhf xhh 0()fx 000()()limhf xf xhh 0

7、()fx定義2. 如果函數(shù)(x)在某區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo), 則稱(chēng)(x)在該區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo).例例1 1.求函數(shù) 在x = 1處的導(dǎo)數(shù) .(分幾個(gè)步驟)2( )2f xx(1)f 221,2(1)22()4xxyxxx 解 在處取得一個(gè)增量相應(yīng)地 24yxx 00(1)limlim (24)4xxyfxx 11設(shè)函數(shù)(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 由注1知 , 都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值 與之對(duì)應(yīng), 從而得到一個(gè)定義在(a, b)內(nèi)的新函數(shù) .將它稱(chēng)為(x)的導(dǎo)函數(shù);簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù), 記為 ,xa b ( )fx ( )fx (),.dfdyfxydxdx 結(jié)論: 例1中的 可先求 再將其中的

8、 x 代為x0=1即可.由引例知(1)f ( ),fx ( )( );( ).s tv tkf x 例2 (1) 求常數(shù)函數(shù) y = C的導(dǎo)數(shù). (2) 求三角函數(shù)y = sin x的導(dǎo)數(shù). (3) 求對(duì)數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). (4) 求冪函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).log(01,0)ayxax nyxn （ 為正整數(shù)）證 求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例(1) (,),0 xxyCC 自變量增量為相應(yīng)的函數(shù)增量為 00lim00 xyyCxx 13(2)(,),xx 自變量增量為相應(yīng)的函數(shù)增量為2cos()sinsin2222cos()2xxxxyxxxxx (sin )cosxx 000sin2limlimcos() l

9、imcos22xxxxyxxxxx sin()sin2cos()sin22xxyxxxx (3)(0,),xx 自變量增量為相應(yīng)的函數(shù)增量為11log (1)log (1)xxaayxxxxxxx 1(log)(0).lnaxxxa (4)(,),xx 自變量增量為相應(yīng)的函數(shù)增量為122(1)()()2!nnnn nnxxxxx log ()loglog (1)aaaxyxxxx 00111limlimlog (1)loglnxxaaxxyxexxxxxa ()nnyxxx 1(ln)(0).xxx 特別地0C 故由前述可知2111( )1,(),( )2xxxxx 特別地121100(1)l

10、imlim()2!nnnnxxyn nnxxxxnxx 1().nnxnx 121(1)()()2!nnnyn nnxxxxx (sin)cos;(cos)sinxxxx 11(log);(ln)lnaxxxax 11()()()nnxnxxx 可為任意實(shí)數(shù)0000()()limlimxxf xxf xyxx 如果極限000( )()(lim)xxf xf xxx 存在, 則稱(chēng)此極限值為函數(shù) (x) 三三. .左右導(dǎo)數(shù)左右導(dǎo)數(shù)定義定義3. 如果極限0000()()limlimxxf xxf xyxx 000( )()(lim)xxf xf xxx 存在,則稱(chēng)此極限值為函數(shù)(x)在點(diǎn) x0 處的

11、右導(dǎo)數(shù). 也稱(chēng)(x)在點(diǎn) x0 右可導(dǎo). 記作0000()()()lim.xf xxf xfxx 17定理定理1. (x)在 x0 處可導(dǎo), 導(dǎo)數(shù)為 0()fx 00()()fxfx （存在且相等）定義定義4. 若函數(shù)(x)在區(qū)間(a, b) 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo), 且 則稱(chēng)函數(shù)(x)在a, b內(nèi)可導(dǎo).( ),( ).f a f b 存在在點(diǎn) x0 處的左導(dǎo)數(shù). 也稱(chēng)(x)在點(diǎn) x0 左可導(dǎo).0000()()()lim.xf xxf xfxx 記作211sin 0sin 0(1) ( );(2) ( );0 00 0(3) ( ).xxxxf xf xxxxxf xx 0( )(0) (1)lim0

12、 xf xfx 解解2001sin( )(0)(2)limlim0 xxxf xfxxx 01sinlimxxxx 01limsinxx 不不存存在在(0).f 不存在(0)0.f 01limsin0 xxx0000( )(0)(3)limlimlim0 xxxxxf xfxxx 0(0)lim1,xxfx 而0(0)lim1,xxfx (0)(0).ff 例例3. .討論下列函數(shù)在x = 0點(diǎn)處的可導(dǎo)性(0)f 不存在. 由例3(3)知 (x) = |x| 在 x = 0 處不可導(dǎo); 但由第一章例24(1)知(x)=|x|在x = 0處卻是連續(xù)的.定理定理2.2. 若函數(shù)y = (x)在 x

13、0 處可導(dǎo), 則y = (x)在 x0 處必連續(xù).00 lim(),xyfxx 證因注意：注意：連續(xù)卻不一定可導(dǎo).不連續(xù)一定不可導(dǎo)四四. .可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系000limlim() 00.xxyyxfxx 則有20例4.設(shè)函數(shù) 在x = 0處可導(dǎo), 求a和b.2 0( )5 0 xexf xa xbx ( )0f xx 證 因在處可導(dǎo)(0 )(0 )( ;0)fff ( )0f xx 在處連續(xù)1(0 )(0)1,(0 )5;5fffbb 由于0000222000()(0)1(0)limlimlimlim1()(0)51(0)limlimlimxxxxxxxxyfxfexfxxxxfxfaxbaxfaxxx 而211.aa oxyL：y=(x)0 xT函數(shù)y = (x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù) f(x0) 便是曲線y = (x)在點(diǎn) M0(x0