高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第48講)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、題目 第八章圓錐曲線直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高考要求 1掌握直線與圓錐曲線公共點(diǎn)問題、相交弦問題以及它們的綜合應(yīng)用解決這些問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個(gè)數(shù)問題2會運(yùn)用“設(shè)而不求”解決相交弦長問題及中點(diǎn)弦問題3會利用圓錐曲線的焦半徑公式解決焦點(diǎn)弦的問題 掌握求焦半徑以及利用焦半徑解題的方法4會用弦長公式|AB|=|x2x1|求弦的長；5會利用“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)、設(shè)而不求”的方法求弦所在直線的方程（如中點(diǎn)弦、相交弦等）、弦的中點(diǎn)的軌跡等知識點(diǎn)歸納 1直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題：可以轉(zhuǎn)化為它們所對應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個(gè)數(shù)問題，往往通過消元后最終轉(zhuǎn)化

2、為討論一元二次方程的解的問題或一元二次函數(shù)的最值問題，討論時(shí)特別要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，即解決直線與圓錐曲線的相交問題要用好化歸思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想需要注意的是當(dāng)直線平行于拋物線的對稱軸或雙曲線的漸近線時(shí)，直線與拋物線或雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)2涉及直線與圓錐曲線相交弦的問題：主要有這樣幾個(gè)方面：相交弦的長，有弦長公式|AB|=|x2x1|；弦所在直線的方程（如中點(diǎn)弦、相交弦等）、弦的中點(diǎn)的軌跡等，這可以利用“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)、設(shè)而不求”的方法（設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，并不具體求出坐標(biāo)，而是利用坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系直接導(dǎo)致問題的解決）3涉及到圓錐曲線焦點(diǎn)弦的問題：可以利用圓錐曲線的焦半徑公式（即圓錐曲

3、線的第二定義）4韋達(dá)定理的運(yùn)用：由于二次曲線和二次方程的密切關(guān)系，在解決二次曲線問題時(shí)要充分重視韋達(dá)定理的運(yùn)用5 弦長公式：若直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 ；若直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 6 圓錐曲線的兩個(gè)重要參數(shù)：圓錐曲線的焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離），焦參數(shù)（通徑長的一半）7平移坐標(biāo)軸：使新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（h，k），若點(diǎn)P在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是，則=，=題型講解 例1 已知直線l：y=tan（x+2）交橢圓x2+9y2=9于A、B兩點(diǎn)，若為l的傾斜角，且|AB|的長不小于短軸的長

4、，求的取值范圍分析：確定某一變量的取值范圍，應(yīng)設(shè)法建立關(guān)于這一變量的不等式，題設(shè)中已經(jīng)明確給定弦長2b，最后可歸結(jié)為計(jì)算弦長求解不等式的問題解：將l方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（1+9tan2）x2+36tan2·x+72tan29=0，|AB|=|x2x1|=·=由|AB|2，得tan2，tan的取值范圍是0，），）點(diǎn)評：對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運(yùn)用本題由于l的方程由tan給出，所以可以認(rèn)定，否則涉及弦長計(jì)算時(shí)，還應(yīng)討論=時(shí)的情況變式：若把本題條件|AB|的長不小于短軸的長去掉，改為求|AB|的長的取值范圍解： 設(shè)|AB|=y，由上面已得 |AB|=，即y=，

5、9ytan2+y=6tan2+6， （9y6）tan2+y6=0當(dāng)y時(shí)，由0得y6當(dāng)y=時(shí)，l與x軸垂直，故|AB|的范圍是，6例2 已知拋物線與直線求證：拋物線與直線相交；求當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方時(shí)，的取值范圍；當(dāng)在的取值范圍內(nèi)時(shí)，求拋物線截直線所得弦長的最小值分析：熟練掌握綜合運(yùn)用判別式、不等式討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線與曲線相交弦長等問題解：（1）由直線與拋物線總相交（2）其頂點(diǎn)為，且頂點(diǎn)在直線 的下方，即設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為， 當(dāng)點(diǎn)評：直線與圓錐曲線相交的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解的問題 運(yùn)用“設(shè)而不求”求弦長例3 已知雙曲線和定點(diǎn)（I）過點(diǎn)可以做

6、幾條直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（II）雙曲線的弦中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦是否存在？并說明理由分析：能夠綜合運(yùn)用直線方程、雙曲線方程及對稱性等幾何性質(zhì)來研究直線與雙曲線的位置關(guān)系解：（I）設(shè)過定點(diǎn)的直線的方程為：則，當(dāng)時(shí)，即，解得或與雙曲線分別交于和當(dāng)時(shí)，由得，即得切線切點(diǎn)為，另一切線為，切點(diǎn)為過點(diǎn)有4條直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)（II）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，則因?yàn)闈M足雙曲線方程，所以 ，相減得 若弦存在，則必為，代入雙曲線方程得，方程的判別式，說明中點(diǎn)弦不存在 點(diǎn)評：要明確判斷直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的方法步驟；用“點(diǎn)差法”和“設(shè)而不求”的方法處理中點(diǎn)弦例4 在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+

7、3對稱，求k的取值范圍分析：設(shè)B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對稱，易得直線BC：x=ky+m，由B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對稱可得m與k的關(guān)系式，而直線BC與拋物線有兩交點(diǎn)，0，即可求得k的范圍解法一：設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對稱，直線BC方程為x=ky+m，代入y24x，得y24ky4m=0，設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點(diǎn)M（x0，y0），則y02k，x02k2+m點(diǎn)M（x0，y0）在直線l上，2k=k（2k2m）+3m=又BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，16k216m0把m代入化簡得0，即0，解得1k0解法二：（點(diǎn)差法）設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點(diǎn)M（x

8、0，y0）必在曲線內(nèi)部且x1+x22 x0， y1+y22y0由 即BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)為必在曲線y2=4x內(nèi)部 評述：對稱問題是高考的熱點(diǎn)之一，由對稱易得兩個(gè)關(guān)系式本題運(yùn)用了“設(shè)而不求”，解決本題的關(guān)鍵是由B、C兩點(diǎn)在拋物線上得“0”例5 已知拋物線及定點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動時(shí)（只要存在且與是不同的兩點(diǎn)），直線恒過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)分析：用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，利用曲線過定點(diǎn)的解法求出定點(diǎn)坐標(biāo)解： 設(shè)由三點(diǎn)共線，所以由三點(diǎn)共線，所以因?yàn)榻?jīng)過的直線方程為：整理得 將代入上式，并整理得：對任意恒成立，所以得到故所求的直線恒過

9、定點(diǎn)（1，2） 點(diǎn)評：必須熟練運(yùn)用曲線系是否過定點(diǎn)的問題解法例6 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率（）求橢圓方程；（）一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且組段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線l傾斜角的取值范圍分析：由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知, 由離心率可求解：（）設(shè)橢圓方程為由已知，由解得a=3，為所求（）解法一：設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k0)解方程組將代入并化簡，得將代入化簡后，得解得 解法二：（點(diǎn)差法）設(shè)的中點(diǎn)為在橢圓內(nèi)，且直線l不與坐標(biāo)軸平行因此，兩式相減得 即 點(diǎn)評：通過兩種方法的比較，可以看出使用點(diǎn)差法運(yùn)算簡潔例7 已知橢圓C：1（ab0），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，斜率為k

10、的直線l過右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)l與y軸交點(diǎn)為P，線段PF2的中點(diǎn)恰為B（1）若k，求橢圓C的離心率的取值范圍；（2）若k=，A、B到右準(zhǔn)線距離之和為，求橢圓C的方程解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)F2（c，0），則l：y=k（xc）令x=0，則y=ck，P（0，ck）B為F2P的中點(diǎn)，B（，）B在橢圓上，1k2·（1）（4e2）e25k，e25（5e24）（e25）0 e21 e1（2）k，e a2c2，b2c2橢圓方程為1，即x25y2c2直線l方程為y=（xc），B（，c），右準(zhǔn)線為x=c設(shè)A（x0，y0），則 （cx0）（c），x02c，y0（c）A在橢圓上，（2c）25（c

11、）2c2解之得c=2或c（不合題意，舍去）橢圓方程為x25y25，即y21 小結(jié)：1解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，對于消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)的系數(shù)和判別式，有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便2涉及弦的中點(diǎn)問題，除利用韋達(dá)定理外，也可以運(yùn)用點(diǎn)差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法3求圓錐曲線的弦長時(shí)，可利用弦長公式d=再結(jié)合韋達(dá)定理解決焦點(diǎn)弦的長也可以直接利用焦半徑公式處理，可以使運(yùn)算簡化學(xué)生練習(xí) 1過點(diǎn)（2，4）作直線與拋物線y28x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有A1條 B2條 C3條 D4條答案：B解析：數(shù)形結(jié)合法，同時(shí)注意點(diǎn)在曲線上的情況2已知雙曲線C：x2=

12、1，過點(diǎn)P（1，1）作直線l，使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有A1條 B2條 C3條 D4條答案：D解析：數(shù)形結(jié)合法，與漸近線平行、相切3雙曲線x2y21的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則直線PF的斜率的變化范圍是A （，1）（1，） B（，0）C（，0）（1，+） D（1，）答案：C 解析：數(shù)形結(jié)合法，與漸近線斜率比較4已知對，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）A B C D答案:C 解析:直線恒過點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)時(shí)此直線恒與橢圓有公共點(diǎn)5已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0）直線y=x1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫

13、坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）A BC D答案:D 解析設(shè)雙曲線方程為分別代入雙曲線方程并相減即可求解6設(shè)拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別是，而直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么的關(guān)系是ABCD答案:B 解析:由題意得：故選（B）7若雙曲線x2y21的右支上一點(diǎn)P（a，b）到直線y=x的距離為，則a+b的值為A B C± D±2答案：B解析：P（a，b）點(diǎn)在雙曲線上，則有a2b2=1，即（a+b）（ab）=1d=，|ab|=2又P點(diǎn)在右支上，則有a>b，ab=2|a+b|×2=1，a+b=8已知對kR，直線ykx1=0與橢圓+=1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范

14、圍是A（0，1） B（0，5） C1，5）（5，+） D1，5）答案：C 解析：直線ykx1=0恒過點(diǎn)（0，1），僅當(dāng)點(diǎn)（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)時(shí)，此直線才恒與橢圓有公共點(diǎn)所以，1且m0，得m1 9橢圓與直線交于兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是 （ ）ABCD答案:A解析:設(shè)則，兩式相減得，所以10設(shè)拋物線與過焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則的值A(chǔ) BC D答案:B 解析:11拋物線截直線得弦，若，是拋物線的焦點(diǎn)，則的周長等于答案:12雙曲線的左焦點(diǎn)為，為左支下半支上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則直線的斜率的變化范圍是（目的：能夠理解直線與雙曲線的位置與雙曲線的漸進(jìn)線斜率有關(guān)）答案:13直線，以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作另一橢圓與直線有公共點(diǎn)且使所作橢圓長軸最短時(shí)，公共點(diǎn)坐標(biāo)是答案:解析:設(shè)橢圓與直線的公共點(diǎn)為，其長軸長欲使的值最小，需在直線上找一點(diǎn)使其到兩定點(diǎn)的距離和最小14若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的最大值是答案: 解析:15已知拋物線與直線求證：拋物線與直線相交；求當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方時(shí)，的取值范圍；當(dāng)在的取值范圍內(nèi)時(shí)，求拋物線截直線所得弦長的最小值解：（