高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第42講)圓的方程

1、題目 第七章直線(xiàn)和圓的方程圓的方程高考要求 1掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程 2了解參數(shù)方程的概念 理解圓的參數(shù)方程 3掌握?qǐng)A的方程的兩種形式并會(huì)根據(jù)具體情況選擇其中的一種解題;4掌握?qǐng)A系方程并會(huì)運(yùn)用它解決有關(guān)問(wèn)題;5靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)解決問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)歸納1圓的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)叫圓2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方程中有三個(gè)參量a、b、r，因此三個(gè)獨(dú)立條件可以確定一個(gè)圓3圓的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得（x+）2+（y+）2=把方程其中，半徑是，圓心坐標(biāo)是叫做圓的一般方程（1）圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程的代數(shù)特點(diǎn)：x

2、2、y2項(xiàng)系數(shù)相等且不為零 沒(méi)有xy項(xiàng)（2）當(dāng)D2+E24F=0時(shí)，方程（*）表示點(diǎn)（，）；當(dāng)D2+E24F0時(shí)，方程（*）不表示任何圖形（3）根據(jù)條件列出關(guān)于D、E、F的三元一次方程組，可確定圓的一般方程4圓的參數(shù)方程圓心在O（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程是：圓心在點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程是：在中消去得x2+y2=r2，在中消去得（xa）2+（yb）2=r2，把這兩個(gè)方程相對(duì)于它們各自的參數(shù)方程又叫做普通方程5二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓，則有A=C0，B=0，這僅是二元二次方程表示圓

3、的必要條件，不充分在A=C0，B=0時(shí)，二元二次方程化為x2+y2+x+y+=0，僅當(dāng)D2+E24AF0時(shí)表示圓故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：A=C0，B=0，D2+E24AF06 線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程： 若，則以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程是7經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓交點(diǎn)的圓系方程：經(jīng)過(guò)，的交點(diǎn)的圓系方程是：在過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圖象方程中，若=1，可得兩圓公共弦所在的直線(xiàn)方程 8 經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與圓交點(diǎn)的圓系方程： 經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的圓系方程是：9確定圓需三個(gè)獨(dú)立的條件（1）標(biāo)準(zhǔn)方程： ， （2）一般方程：，（ 題型講解 例1 (1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),B(3,2),圓心在直線(xiàn)

4、2xy3=0上的圓的方程;(2)求以O(shè)(0,0),A(2,0),B(0,4)為頂點(diǎn)的三角形OAB外接圓的方程解：(1)設(shè)圓心P(x0,y0),則有,解得 x0=4, y0=5, 半徑r=, 所求圓的方程為(x4)2+(y5)2=10(2)采用一般式,設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解得：D=2, E=4, F=0點(diǎn)評(píng)：第(1),(2)兩小題根據(jù)情況選擇了不同形式例2 設(shè)A（c，0）、B（c，0）（c>0）為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a（a>0），求P點(diǎn)的軌跡分析：給曲線(xiàn)建立方程是解析幾何的兩個(gè)主要問(wèn)題之一，其基本方法

5、就是把幾何條件代數(shù)化；主要問(wèn)題之二是根據(jù)方程研究曲線(xiàn)的形狀、性質(zhì)，即用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由=a（a>0）得=a，化簡(jiǎn)，得（1a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0當(dāng)a=1時(shí)，方程化為x=0當(dāng)a1時(shí)，方程化為 =所以當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為y軸；當(dāng)a1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)（c，0）為圓心，|為半徑的圓點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)、圓、曲線(xiàn)和方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決問(wèn)題的能力，對(duì)代數(shù)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)能力有較高要求同時(shí)也考查了分類(lèi)討論這一數(shù)學(xué)思想例3 一圓與y軸相切，圓心在直線(xiàn)x3y=0上，且直線(xiàn)y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2，求

6、此圓的方程分析： 利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形解：因圓與y軸相切，且圓心在直線(xiàn)x3y=0上，故設(shè)圓方程為又因?yàn)橹本€(xiàn)y=x截圓得弦長(zhǎng)為2，則有+=9b2，解得b=±1故所求圓方程為或點(diǎn)評(píng)：在解決求圓的方程這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（1）確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長(zhǎng)等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個(gè)數(shù)例4 已知O的半徑為3，直線(xiàn)l與O相切，一動(dòng)圓與l相切，并與O相交的公共弦恰為O的直徑，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：?jiǎn)栴}中的幾何性質(zhì)十分突出，切線(xiàn)、直徑、垂直、圓

7、心，如何利用這些幾何性質(zhì)呢？解：取過(guò)O點(diǎn)且與l平行的直線(xiàn)為x軸，過(guò)O點(diǎn)且垂直于l的直線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），O與M的公共弦為AB，M與l切于點(diǎn)C，則|MA|=|MC|AB為O的直徑，MO垂直平分AB于O由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|化簡(jiǎn)得x2=6y，這就是動(dòng)圓圓心的軌跡方程點(diǎn)評(píng)：求軌跡的步驟是“建系，設(shè)點(diǎn)，找關(guān)系式，除瑕點(diǎn)”例5 已知y軸右側(cè)一動(dòng)圓與一定圓外切，也與y軸相切 （1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C； （2）過(guò)點(diǎn)T（2，0）作直線(xiàn)l與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，求一點(diǎn)，使得 是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角

8、三角形解（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)（2,0）與到定直線(xiàn)的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以定點(diǎn)（2,0）為焦點(diǎn)，定直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)所以點(diǎn)M的軌跡方程為又點(diǎn)M在原點(diǎn)時(shí)，圓并不存在，所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以（0，0）為頂點(diǎn)，以（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，除去原點(diǎn)（2）設(shè)直線(xiàn) 設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，所以，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為而軸上存在一點(diǎn)E，使AEB為以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且 直線(xiàn)EF的方程為：令得E點(diǎn)坐標(biāo)為，則 所以 解之得 ，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（10,0）例6 已知圓C的圓心在直線(xiàn)xy4=0上,并且通過(guò)兩圓C1:x2+y24x3=0和C2:x2+y24y3=0的交點(diǎn),(1)求圓C的方程;

9、 (2)求兩圓C1和C2相交弦的方程解：(1)因?yàn)樗蟮膱A過(guò)兩已知圓的交點(diǎn),故設(shè)此圓的方程為：x2+y24x3+(x2+y24y3)=0,即 (1+)(x2+y2)4x4y33=0,即 =0,圓心為 (,),由于圓心在直線(xiàn)xy4=0上,4=0, 解得 =1/3所求圓的方程為：x2+y26x+2y3=0(2)將圓C1和圓C2的方程相減得：x+y=0,此即相交弦的方程點(diǎn)評(píng)：學(xué)會(huì)利用圓系的方程解題例7 求過(guò)直線(xiàn)2x+y+4=0和圓x2+y2+2x4y+1=0的交點(diǎn),且面積最小的圓的方程解法一：因?yàn)橥ㄟ^(guò)兩個(gè)交點(diǎn)的動(dòng)圓中，面積最小的是以此二交點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，于是解方程組得交點(diǎn)A(11/5,2/5),

10、B(3,2),利用圓的直徑式方程得:(x+11/5)(x+3) +(y2/5)(y2)=0,化簡(jiǎn)整理得 (x+13/5)2+(y6/5)2=4/5解法二: (運(yùn)用曲線(xiàn)系方程)設(shè)過(guò)直線(xiàn)與用圓的交點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+2x4y+1+(2x+y+4)=0, 即 (x+1)2+(y+)2=要使圓面積最小，必須半徑最小，由于r=³=,當(dāng)且僅當(dāng)=8/5時(shí)，r最小 故所求圓的方程是 (x+13/5)2+(y6/5)2=4/5例8 求圓關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圓方程解：圓方程可化為, 圓心O(-2,6),半徑為1設(shè)對(duì)稱(chēng)圓圓心為，則O與O關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，因此有解得所求圓的方程為點(diǎn)評(píng)：圓的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(

11、圓心)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知對(duì)稱(chēng)圓半徑相等例9 設(shè)方程，若該方程表示一個(gè)圓，求m的取值范圍及這時(shí)圓心的軌跡方程解：配方得： 該方程表示圓，則有，得，此時(shí)圓心的軌跡方程為 ，消去m，得，由得x=m+3所求的軌跡方程是，點(diǎn)評(píng)：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時(shí)，一定要討論變量的取值范圍，如題中例10 已知圓x2+y2=16,A（2，0），若P,Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè)PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），由已知圓的參數(shù)方程，可設(shè)，-（1）又，化簡(jiǎn)得代入（1）式，得 ，所以所求軌跡方程為小結(jié)：1不論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，都有三個(gè)字母（a、b、r或D、E、F）的值需要確定，因此需要

12、三個(gè)獨(dú)立的條件利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a、b、r（或D、E、F）的三個(gè)方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值2求圓的方程的一般步驟：（1）選用圓的方程兩種形式中的一種（若知圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標(biāo)間的關(guān)系，通常選用標(biāo)準(zhǔn)方程）；（2）根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D、E、F或a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求圓的方程3解析幾何中與圓有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題學(xué)生練習(xí) 1方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圓方程，則t的取值范圍是A1&

13、lt;t< B1<t< C<t<1 D1<t<2解：由D2+E24F>0，得7t26t1<0，即<t<1答案：C2點(diǎn)P（5a+1，12a）在圓（x1）2+y2=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是Aa1 Ba Ca Da解：點(diǎn)P在圓（x1）2+y2=1內(nèi)部（5a+11）2+（12a）21a答案：D3已知圓的方程為（xa）2+（yb）2=r2（r>0），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A當(dāng)a2+b2=r2時(shí)，圓必過(guò)原點(diǎn) B當(dāng)a=r時(shí)，圓與y軸相切C當(dāng)b=r時(shí)，圓與x軸相切 D當(dāng)b<r時(shí)，圓與x軸相交解：已知圓的圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，當(dāng)

14、b<r時(shí)，圓心到x軸的距離為|b|，只有當(dāng)|b|<r時(shí)，才有圓與x軸相交，而b<r不能保證|b|<r，故D是錯(cuò)誤的故選D答案：D4圓的圓心和半徑分別是（ ）A (2,-1), B (2,-1), 5 C (-2,1), D (-2,1), 5答案: A5點(diǎn)（1，1）在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（ ）A , B , C 或 D 答案: A6已知直線(xiàn)ax+by+c=0 ()與圓x2+y2=1相切,則三條邊長(zhǎng)分別為的三角形（ ）A 是銳角三角形 B 是直角三角形 C 是鈍角三角形 D 不存在答案: B7與y2的系數(shù)相同,且不等于零,并且沒(méi)有xy這樣的項(xiàng)是二元二次方程表示圓的（

15、 ）A 必要條件 B充分條件 C充分且必要條件 D既不充分也不必要條件答案: A8方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（ ）A B C D 答案: C9已知圓心為點(diǎn)（2，-3），一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好落在兩個(gè)坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（ ）A B C D 答案: D10圓的圓心在x軸上，半徑r=2， 且D>E，則D=（ ）A B C 1 D 2答案: D11M（3，0）是圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)最長(zhǎng)的弦所在的直線(xiàn)方程是（ ）A B C D 答案: B12過(guò)點(diǎn)C(-1，1)和D（1，3），圓心在x軸上的圓的方程是_答案: （x-2）2+y2=1013方程表示的曲線(xiàn)是_答案：兩個(gè)半圓14已知圓C的圓心在

16、直線(xiàn)上，與直線(xiàn)相切，且截直線(xiàn)所得弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程：_（答案：）15過(guò)點(diǎn)A（1，2）和B（1，10）且和直線(xiàn)相切的圓方程為_(kāi)答案: （x-3）2+（y-6）2=80或（x+7）2+（y-6）2=8016圓 上到直線(xiàn)的距離等于1的點(diǎn)有_個(gè)答案: 217已知BC是圓的弦，且，則BC的中點(diǎn)的軌跡方程是_答案: x2+y2=1618圓關(guān)于點(diǎn)（1，1）的對(duì)稱(chēng)圓方程是_答案: （x-4）2+（y+4）2=40-3q19圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圓的方程是_答案: 20將圓x2+y2=1按向量平移得到圓（x+1）2+（y2）2=1，則的坐標(biāo)為_(kāi)解：由向量平移公式即得=（1，2）答案：（1，2）21已知P（1，2）為圓x2+y2=9內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)P作兩條互相垂直的任意弦交圓于點(diǎn)B、C，則BC中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)解：RtOMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜邊上的中線(xiàn)是斜邊的一半）故所求軌跡方程為x2+y2x2y2=0答案：x2+y2x2y2=022已知直線(xiàn)與x軸和y軸分別