《放縮法與反證法證明不等式》課件（新人教選修）

1、不等式的證明不等式的證明復習復習 不等式證明的常用方法不等式證明的常用方法: 比較法、綜合法、分析法比較法、綜合法、分析法反證法反證法 先假設要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點先假設要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件結(jié)合已知條件,應用公理、定義、定理、性質(zhì)等，應用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到矛盾，說明假設不正確，進行正確的推理，得到矛盾，說明假設不正確，從而間接說明原命題成立的方法。從而間接說明原命題成立的方法。1.x y02.1 x 12.yxyyx例 已知 ，且試證：，中至少有一個小于例題例例2、已知、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，

2、abc 0， 求證：求證：a, b, c 0 證：設證：設a 0, bc 0, 則則b + c a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾，矛盾， 必有必有a 0 同理可證：同理可證：b 0, c 0例例3、設、設0 a, b, c 641 又又0 a, b, c 1/4, (1 b)c1/4, (1 c)a1/4, 在證明不等式過程中，有時為了證明在證明不等式過程中，有時為了證明的需要，可對有關式子適當進行放大或縮的需要，可對有關式子適當進行放大或縮小，實現(xiàn)證明。例如：小，實現(xiàn)證明。例如： 要證要證bc,只須尋找只須尋找b1使使ba,只須尋找只須尋找b2使使bb

3、2且且b2a(縮小縮小) 這種證明方法這種證明方法,我們稱之為我們稱之為放縮法。放縮法。放縮法放縮法的依據(jù)就是傳遞性。的依據(jù)就是傳遞性。放縮法放縮法例例1、若、若a, b, c, d R+，求證：，求證：21 caddbdccacbbdbaa證：記證：記m =caddbdccacbbdbaa a, b, c, d R+ 1 cbaddbadccacbabdcbaam 2 cdddccbabbaam同時 1 m 2 即原式成立即原式成立2.111abab例 已知a,b是實數(shù)，求證:a+bab 法法： bbaababa111證明：在時，顯然成立.0ba當時，左邊 0ba111ba1|11111ab

4、baabababab.11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,a bab 1 111111111|abababababab |11baabab法：函數(shù)的方法法：函數(shù)的方法*32.2()n n n 例 求證：111（ n+1-1）1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232( 10)( 21)( 32)(1)2.nnnn cbacacababa 2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例例4、巳知：、巳知：a、b、c，求證：，求證：R略解略解小結(jié) 在證明不等式過程中，有時為了證明的在證明不等式過程中，有時為了

5、證明的需要，可對有關式子適當進行放大或縮小，需要，可對有關式子適當進行放大或縮小，實現(xiàn)證明。例如：實現(xiàn)證明。例如： 要證要證bc,只須尋找只須尋找b1使使ba,只須尋找只須尋找b2使使bb2且且b2a(縮小縮小) 這種證明方法這種證明方法,我們稱之為我們稱之為放縮法。放縮法。放縮法放縮法的依據(jù)就是定理的依據(jù)就是定理2（傳遞性性質(zhì)）（傳遞性性質(zhì)）課堂練習課堂練習 1、當、當 n 2 時，求證：時，求證：1)1(log)1(log nnnn 證：證：n 2 0)1(log, 0)1(log nnnn2222)1(log 2)1(log)1(log)1(log)1(log nnnnnnnnnn 12log22 nn n 2時時, 1)1(log)1(log nnnn課堂練習課堂練習 2、若、若p0,q0,且且p3+q3=2, 求證：求證：p+q2課堂小結(jié)課堂小結(jié) 證明不等式的特殊方法證明不等式的特殊方法: （1）放縮法：放縮法：對不等式中的有關式子進行對不等式中的有關式子進行 適當?shù)姆趴s實現(xiàn)證明的方法。適當?shù)姆趴s實現(xiàn)證明的