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1、不等式的證明不等式的證明復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 不等式證明的常用方法不等式證明的常用方法: 比較法、綜合法、分析法比較法、綜合法、分析法反證法反證法 先假設(shè)要證明的命題不成立,以此為出發(fā)點先假設(shè)要證明的命題不成立,以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到矛盾,說明假設(shè)不正確,進(jìn)行正確的推理,得到矛盾,說明假設(shè)不正確,從而間接說明原命題成立的方法。從而間接說明原命題成立的方法。1.x y02.1 x 12.yxyyx例 已知 ,且試證:,中至少有一個小于例題例例2、已知、已知a + b + c 0,ab + bc + ca 0,
2、abc 0, 求證:求證:a, b, c 0 證:設(shè)證:設(shè)a 0, bc 0, 則則b + c a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾,矛盾, 必有必有a 0 同理可證:同理可證:b 0, c 0例例3、設(shè)、設(shè)0 a, b, c 641 又又0 a, b, c 1/4, (1 b)c1/4, (1 c)a1/4, 在證明不等式過程中,有時為了證明在證明不等式過程中,有時為了證明的需要,可對有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮的需要,可對有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小,實現(xiàn)證明。例如:小,實現(xiàn)證明。例如: 要證要證bc,只須尋找只須尋找b1使使ba,只須尋找只須尋找b2使使bb
3、2且且b2a(縮小縮小) 這種證明方法這種證明方法,我們稱之為我們稱之為放縮法。放縮法。放縮法放縮法的依據(jù)就是傳遞性。的依據(jù)就是傳遞性。放縮法放縮法例例1、若、若a, b, c, d R+,求證:,求證:21 caddbdccacbbdbaa證:記證:記m =caddbdccacbbdbaa a, b, c, d R+ 1 cbaddbadccacbabdcbaam 2 cdddccbabbaam同時 1 m 2 即原式成立即原式成立2.111abab例 已知a,b是實數(shù),求證:a+bab 法法: bbaababa111證明:在時,顯然成立.0ba當(dāng)時,左邊 0ba111ba1|11111ab
4、baabababab.11bbaa1abab.11bbaa法:法:0,a bab 1 111111111|abababababab |11baabab法:函數(shù)的方法法:函數(shù)的方法*32.2()n n n 例 求證:111( n+1-1)1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232( 10)( 21)( 32)(1)2.nnnn cbacacababa 2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例例4、巳知:、巳知:a、b、c,求證:,求證:R略解略解小結(jié) 在證明不等式過程中,有時為了證明的在證明不等式過程中,有時為了
5、證明的需要,可對有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小,需要,可對有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小,實現(xiàn)證明。例如:實現(xiàn)證明。例如: 要證要證bc,只須尋找只須尋找b1使使ba,只須尋找只須尋找b2使使bb2且且b2a(縮小縮小) 這種證明方法這種證明方法,我們稱之為我們稱之為放縮法。放縮法。放縮法放縮法的依據(jù)就是定理的依據(jù)就是定理2(傳遞性性質(zhì))(傳遞性性質(zhì))課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1、當(dāng)、當(dāng) n 2 時,求證:時,求證:1)1(log)1(log nnnn 證:證:n 2 0)1(log, 0)1(log nnnn2222)1(log 2)1(log)1(log)1(log)1(log nnnnnnnnnn 12log22 nn n 2時時, 1)1(log)1(log nnnn課堂練習(xí)課堂練習(xí) 2、若、若p0,q0,且且p3+q3=2, 求證:求證:p+q2課堂小結(jié)課堂小結(jié) 證明不等式的特殊方法證明不等式的特殊方法: (1)放縮法:放縮法:對不等式中的有關(guān)式子進(jìn)行對不等式中的有關(guān)式子進(jìn)行 適當(dāng)?shù)姆趴s實現(xiàn)證明的方法。適當(dāng)?shù)姆趴s實現(xiàn)證明的
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