2008考研數(shù)一真題及解析

1、2008年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：18小題,每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)X2設(shè)函數(shù)f(x)°ln(2t)dt,則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()A0B1C2D3x函數(shù)f(x,y)arctan在點(diǎn)(0,1)處的梯度等于()yAiB-iCjD在卜列微分方程中，以yC1exC2cos2xC3sin2x(C1,C2,C3為任意常數(shù))為通解的是()ayy4y4y0.Byy4y4y0.cyy4y4y0.Dyy4y4y0.設(shè)函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)單調(diào)有界,xn為數(shù)列，下列命題正確的是()A若xn收斂，則f(x

2、n)收斂.B若Xn單調(diào)，則f(xn)收斂C若f(Xn)收斂，則xn收斂D若f(xn)單調(diào)，則Xn收斂.3設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，滿足A0,則()AEA不可逆,EA不可逆.BEA不可逆,EA可逆.CEA可逆,EA可逆.DEA可逆,EA不可逆.x設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，如果二次曲面方程(x,y,z)Ay1在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程z的圖形如圖，則A的正特征值個(gè)數(shù)為()A0.A0.B1.C2.D3.，且X分布函數(shù)為(7) 設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立同分布maxX,Y分布函數(shù)為()AF2x.2C11Fx(8)設(shè)隨機(jī)變量XN0,1,丫N1,4，且相關(guān)系數(shù)xy1,則()APY2X11.BPY2X11.C

3、PY2X11.DPY2X11.二、填空題：9-14小題,每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9) 微分方程xyy0滿足條件y11的解是y.(10) 曲線sinxyInyxx在點(diǎn)0,1處的切線方程為.(11) 已知幕級(jí)數(shù)anx2°在x0處收斂，在x4處發(fā)散，則幕級(jí)數(shù)anx3°的n0n0收斂域?yàn)?(12) 設(shè)曲面是Z寸的上側(cè)，貝Uxydydzxdzdxx2dxdy.(13) 設(shè)人為2階矩陣，1,2為線性無(wú)關(guān)的2維列向量，A10,A2212,則A的非零特征值為.2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則PXEX.三、解答題：15-23小題，共94分請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題

4、紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟(14) (本題滿分9分)求極限limx0求極限limx0sinxsinsinxsinx(15) (本題滿分9分)計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分sin2xdx2Lx21ydy,其中L是曲線ysinx上從點(diǎn)0,0至U點(diǎn),0的一段.(17)(本題滿分11已知曲線2z23z0，求曲線C距離XOY面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn).(18)(本題滿分10分）設(shè)fx是連續(xù)函數(shù)，(I)利用定義證明函數(shù)(I)利用定義證明函數(shù)xftdt可導(dǎo),且Fx0(II)當(dāng)fx是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)證明函數(shù)Gx(II)當(dāng)fx是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)證明函數(shù)Gxx2ftdt02xftdt也

5、0是以2為周期的周期函數(shù)(本題滿分11分)2fx1x0x展開(kāi)成（以2為周期的)余弦級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)nn112的和。1n(本題滿分10分)ATT,是三維列向量，T為的轉(zhuǎn)置，T為的轉(zhuǎn)置(I) 證r(A)2;(II) 若，線性相關(guān)，則r(A)2.(19) (本題滿分12分)2a1設(shè)矩陣A2a2a.,現(xiàn)矩陣A滿足方程AXB,其中1a22annTTXXi,，Xn,B1,0，0(I)求證Ann1a(II)a為何值，方程組有唯一解，求Xi(III)a為何值，方程組有無(wú)窮多解，求通解(本題滿分11分)1設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的概率分布為PXi-i1,0,1,Y的概率密310y1度為fYy，記ZXY0其匕1

6、(I) 求PZ-X02(II) 求Z的概率密度.(20) (本題滿分11分)設(shè)X1,X2，Xn是總體為N(設(shè)X1,X2，Xn是總體為N(2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本記XXi,212212S2(XiX)2,Tx2s2n1i1n2(I) 證T是的無(wú)偏估計(jì)量.(II) 當(dāng)0,1時(shí)，求DT.2008年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、選擇題【答案】B2【詳解】f(x)ln(2x)2x,f(0)0，即x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)已知函數(shù)為通解的微分方程是已知函數(shù)為通解的微分方程是yy4y4y0有根r1,r又f(x)2ln(22)4x2x)2x20,從而f(x)單調(diào)增加(x(,)所以f(x)只有一'個(gè)

7、零點(diǎn)【答案】A【詳解】因?yàn)閒x1yfxy2/2,所以fx(0,1)1,fy(0,1)01xy/22,Ty1xy所以gradf(0,1)1i0ji【答案】D【詳解】由微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x知齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的特征方程2i，所以特征方程為(r1)(r2i)(r2i)0,即r3r24r40.故以【答案】B)內(nèi)單調(diào)有界，且Xn單調(diào)所以f(xn)單調(diào)且有界故【詳解】因?yàn)閒(x)在(f(xn)一定存在極限【答案】C【詳解】(EA)(EAA2)EA3E,(EA)(EAA2)EA3E故EA,EA均可逆.【答案】B【詳解】圖示的二次曲面為雙葉雙曲面2x，其方程為務(wù)a2yb22z2c1

8、，即二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為2x-2a2芻,而標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)即為cA的特征值.【答案】【詳解】FZzPmaxX,Y2zPXzPYzFzFzFz【答案】D【詳解】用排除法設(shè)YaXb,由XY1,知道X,Y正相關(guān)，得a0,排除A、C由XN(0,1),YN(1,4)，得EX0,EY1,所以E(Y)E(aXb)aEX1,所以b1.排除B.故選擇D二、填空題(9)【答案】1/x【詳解】由,兩端積分得IndxxyInx1C1,所以,|C|x|,又y(1)1,所以(10)【答案】【詳解】設(shè)F(x,y)sin(xy)In(yx)x,則dydx【詳解】設(shè)F(x,y)sin(xy)In(yx)x,則dydxFxFy1ycos

9、(xy)1yx_1xcos(xy)將y(0)1代入得dydx1,所以切線方程為y0,即(11)【答案】(1,5【詳解】幕級(jí)數(shù)【詳解】幕級(jí)數(shù)an(x2)n的收斂區(qū)間以x02為中心，因?yàn)樵摷?jí)數(shù)在x0處收斂,在x4處發(fā)散，所以其收斂半徑為2,收斂域?yàn)閤4處發(fā)散，所以其收斂半徑為2,收斂域?yàn)?,0,即2x22時(shí)級(jí)數(shù)收斂，亦即antn的收斂半徑為2,收斂域?yàn)?2,2.貝Uan(x3)n的收斂半徑為2,由n0n02x32得1x5,即幕級(jí)數(shù)an(x3)n的收斂域?yàn)?1,5(12)【答案】【詳解】加【詳解】加1：z0(x2y24)的下側(cè)，記與1所圍空間區(qū)域?yàn)?，則xydydzxdzdx2dxdyxydydzxd

10、zdx1x2dxdyxydydzxdzdxx2dxdyydxdydz(x2dxdy)412X2y2(x24y2)dxdy，則APPB1dr0(佝【答案】1【詳解】A(1,2)(A1，A2)(0,212)(1,02)02)，B因?yàn)?線性無(wú)關(guān),所以P可逆從而B(niǎo)1AP，即A與B相似.B|(1)0,得0及1為B的特征值.(14)【答案】【詳解】由12eDXEX(EX)2,得EX2DX(EX)2,又因?yàn)閄服從參數(shù)為1的泊松分布,所以DXEX1,所以EX2112,所以PX2e1-e1又相似矩陣有相同的特征值，故A的非零特征值為1.22三、解答題（15）【詳解】方法lim沁x0sin(sinx)sinx4x

11、lim沁x0sin(sinx)x方法叫IKcosxcos(sinx)cosxlim1cos(sinx)x03x22sinx23x2rsinxx!x3o(x3)6lim沁x0sin(sinx)133sinxsinxo(sinx)6sin(sinx)sinx4x.4sinxlim廠x06xo(sin4x)4x（佝【詳解】方法一：（直接取x為參數(shù)將對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成定積分計(jì)算）2Sin2xdx2（x1）ydysin2x2(x21)sinxcosxdxx2sin2xdx02xcos2x20xcos2xdx2x-sin2x221sin2xdx2002方法二：（添加x軸上的直線段用格林公式化成二重積分計(jì)

12、算）取L1為x軸上從點(diǎn)（，0）到點(diǎn)（0,0）的一段，D是由L與L1圍成的區(qū)域sin2xdxLL,2(x21)ydy04xydxdyDsin2xdxx(1cos2x)dx2x0Lsin2xdx2(x21)ydy2sin2xdx2(x1)ydyJsinx12dx004xydycos2x22xsinxdx00x12一sin2xsin2xdx2200厶22l2xydy，前者與路徑無(wú)關(guān)，選擇沿x軸上的直線段方法三：（將其拆成Sin2xdx2ydy積分，后者化成定積分計(jì)算）2Lsin2xdx2(x1)ydy2Lsin2xdx2(x1)ydy2Lsin2xdx2ydyl2xydy1112對(duì)于丨1,因?yàn)?,故

13、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，?。?,0）到（，0）的直線段積分yxI10sin2XdX0丨22x2ydy2x2sinxcosxdx212xsin2xdxxdcos2xL00201x2cos2x12xcos2xdx12-xdsin2x220022201211小12-xsin2x-cos2x22202所以，原式丄2(17)【詳解】點(diǎn)(x,y,z)到xOy面的距離為|z|,故求C上距離xOy面的最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)的坐標(biāo)，等價(jià)于求函數(shù)Hz2在條件x22z20與xy3z5下的最大值點(diǎn)和最小2值點(diǎn)(18)(18)【詳解】(I)對(duì)任意的x,由于f是連續(xù)函數(shù)，所以由于limix0limF(x5丄x0F(x)lim-丄x0

14、X丄Xf(t)dtx0f(t)dt厶xlimjx0f()1Xf(t)dtlimx0f(宀xlim0f()，其中二x0f(x),可知函數(shù)F(x)在x處可導(dǎo)，且F(x)f(x)介于x與x也X之間令L(x,y,z,)2z(x22y2z2)(xy3z5)Lx2x0(1)Ly2y0(2)所以Lz2z4z302x22y2z0xy3z5(5)2z20J由(2)得xy，代入(5)有x2x3z5x5x1解得y5或y1z5z1(II)方法一：要證明G(x)以2為周期，即要證明對(duì)任意的x,都有H(x)x22f02tdt(x2)0ftdtx2ft0dtx2f0tdt222f(x2)/0ftdt2f(x)f0:tdt0

15、又因?yàn)镠(0)G(2)G(0)220ftdt22f0tdt00所以H(x)0，即G(x2)G(x)由于f是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，所以對(duì)任意的x,有x22x2G(x2)G(x)2ftdt0(x2)f/0tdt2ft0dtxftdt02x22x2ftdtftdtftdtftdt0200x20ftdtxfu2du02xft02ftdt0G(x2)G(x),H(x)G(x2)G(x),則即G(x)是以2為周期的周期函數(shù)(19)【詳解】由于所以a。anf(x)0,有(1x2)dx222(1a02f(0)又f(0)1，所以x2)cosnxdxancosnx1)nn1,2/1-cosnx(1)n12n1n1

16、)n1212(20)【詳解】(1)r(A)r(TT)r(T)r(T)r()r()2(II)由于：,線性相關(guān)，不妨設(shè)k.于是r(A)/TT、r()r(1k2)Tr()12n1n(21)【詳解】（I）證法2a2a2a2a12a2a2a3a22a1r2a*23a"22a2a2an1rnarn1n證法二：記Dn1時(shí),D12時(shí),D2假設(shè)結(jié)論對(duì)小于Dn|A|證法三：所以Dn4a3(n1)a|A|,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明Dn2a,結(jié)論成立.2a1a22a3a2,結(jié)論成立.n的情況成立.2aDn12aDn1(n1)anDn按第行展開(kāi)得2a(na2Dn2a2a2a2anan(n2a1)an2記Dn|A|

17、，將其按第一列展開(kāi)得2aDn1aDn1aDn2a(Dn3a4a231)an.(n1)an(n上(n1)annDn2aDn1aDn2,aDn2)a2(Dn2aDn3)na2(D2aDJanDnanaDn1ana(an1aDn2)2ana2Dn2(n2)anan2D2(n1)anan1D1(n1)anan12a(n1)an(II)因?yàn)榉匠探M有唯一解，所以由AxB知A0,又A(n1)an即由克萊姆法則將Dn的第1列換成b，得行列式為，故a0.1012a2a12a2a12a、2a2a12a*1-亠.112a2ann2a2a(n1)(n1)n1Dn1na(III)方程組有無(wú)窮多解，由A0,有a0，則方程

18、組為01101X2001Xn100Xn0此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n1，所以方程組有無(wú)窮多解，其通解為T(mén)Tk10000100,k為任意常數(shù).所以(22)【詳解】Dn1n3?(n1)a(I)P(Z丄|x0)P(XY21X0)1P(X0,Y)2P(X0)1P(Y1)(II)Fz(z)PZzPX丫zPXYz,X1PXYz,X0PX1PYz1,X1PY乙X0PYz1,X1PYz1PXPYz1PX1PYzPX0PYz1PX11-PYz1PYzPYz11Fy(z1)Fy(z)Fy(z1)3所以所以fz3fY(Z1)fY(Z)fY(Z1)0,其它（23）【詳解】22(I)因?yàn)閄N(-,），所以X-N（，-),從而EX,DXnn因?yàn)镋仃）212E(Xs2)2EX-e（s2）nndX2121(EX)2-e(s2)-22122nnn所以,T是2的無(wú)偏估計(jì)(II)方法一：D(T)ET2(ET)2,E(T)0,E(S2)21s4"2n24222所以D(T)ETE(X-XSn4221E(X)-E(X)E(S2)-E(S