2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷解析

1、2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1已知集合，則 【答案】?！局饕e(cuò)誤】2,4，1,6。2某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取 名學(xué)生【答案】15?！局饕e(cuò)誤】24,25,20等。3設(shè)，（i為虛數(shù)單位），則的值為 【答案】8?！局饕e(cuò)誤】4，2，-4，5+3i，40/3，6，等?！痉治觥坑傻?，所以，。4下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的k的值是 【答案】5。【主要錯(cuò)誤】4，10，1，3，等?！痉治觥扛鶕?jù)流程圖所示的順序

2、，程序的運(yùn)行過程中變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)k循環(huán)前00第一圈是10第二圈是22第三圈是32第四圈是40第五圈是54第六圈否輸出5 最終輸出結(jié)果k=5。5函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】?！局饕e(cuò)誤】（0，6），等?！窘馕觥扛鶕?jù)二次根式和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件，得。6現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 【答案】?！局饕e(cuò)誤】，?！窘馕觥恳?為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列的10個(gè)數(shù)為1，3，9，-27，···其中有5個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)正數(shù)1計(jì)6個(gè)數(shù)小于8， 從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，它小于8的概率是

3、。7如圖，在長(zhǎng)方體中，則四棱錐的體積為 cm3【答案】6?！局饕e(cuò)誤】，3，30?！窘馕觥块L(zhǎng)方體底面是正方形，中 cm，邊上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱錐的體積為。8在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則m的值為 【答案】2?！局饕e(cuò)誤】-2，5，3，1?！窘馕觥坑傻?。 ，即，解得。9如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是 【答案】?！局饕e(cuò)誤】，3，-2, ，2，-1，-等20余種?！窘馕觥坑?，得，由矩形的性質(zhì)，得。 ，。 記之間的夾角為，則。 又點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，。 。本題也可建立以為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)后求解。10設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上

4、，其中若，則的值為 【答案】-10?！局饕e(cuò)誤】-2，-3，4，10，5等十余種。【解析】是定義在上且周期為2的函數(shù)，即 又， 聯(lián)立，解得，。11設(shè)為銳角，若，則的值為 【答案】，?！局饕e(cuò)誤】，等30余種。【解析】為銳角，即，。 ，。 。 。12在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則K的最大值是 【答案】?！局饕e(cuò)誤】1，2，等。【解析】圓C的方程可化為：，圓C的圓心為，半徑為1。由題意，直線上至少存在一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)；存在，使得成立，即。即為點(diǎn)到直線的距離，解得。的最大值是。13已知函數(shù)的值域?yàn)?，若關(guān)

5、于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為 【答案】9。【主要錯(cuò)誤】1，2，3，4，7，6，等?！窘馕觥坑芍涤?yàn)?，?dāng)時(shí)有，即， 。 解得，。不等式的解集為，解得。14已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是 【答案】。【主要錯(cuò)誤】（0,1），1,+)，(1, 2)， 0,7，1/e，e,(1，e) ，1，2?！窘馕觥織l件可化為：。 設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍。 作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過切點(diǎn)的切線為，則，要使它最小，須。 的最小值在處，為。此時(shí)，點(diǎn)在上之間。 當(dāng)（）對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)， ， 的最大值在處，為7。 的取值范圍為，即的取值范圍是?！咀ⅰ孔钚≈礶的主要求法： 法一， 。

6、令，導(dǎo)數(shù)法。法二，令，則， ，令，則， 駐點(diǎn)x=1，x>1; x<1 故。二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15在中，已知（1）求證：；（2）若求A的值【答案】解：（1），即。 2分 由正弦定理，得，。2分又，。即。 2分 （2） ，。 2分 ，即。 2分。 由 （1） ，得，解得。 ，。 4分【典型錯(cuò)誤】（1）由結(jié)論分析，而又不按分析法書寫。，即。 AC=sinB，BC=sinA，。誤用余弦定理。(2)典型解法近10種，除用正切公式的兩種方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不償失。解法的優(yōu)化是關(guān)

7、鍵。 16如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn) 不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)求證：（1）平面平面； （2）直線平面證明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 3分 又平面，平面。 3分 又平面，平面平面。 2分 （2），為的中點(diǎn)，。 2分 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 2分 又平面平面，直線平面。 2分【典型錯(cuò)誤】A.概念含混不清由直三棱柱得到是直角三角形。B.思維定勢(shì)致錯(cuò)由和直接得出，忽視了該命題在立體幾何中并不一定成立。C想當(dāng)然使用條件在第(1)小題證明線面垂直時(shí)，不少考生直接根據(jù)圖形的特點(diǎn)將點(diǎn)當(dāng)作是的中點(diǎn)，從而得到，再由條件得出平面。（一般僅能得7分）17如圖，建

8、立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由解：（1）在中，令，得。 2分 由實(shí)際意義和題設(shè)條件知， 2分 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 炮的最大射程是10千米。 2分（2），炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在，使成立， 2分即關(guān)于的方程有正根。 2分 由得。 2分 此時(shí)，（不考慮另一根）。 當(dāng)不超過6千米時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo)。 2分【考點(diǎn)】函

9、數(shù)、方程和基本不等式的應(yīng)用?！镜湫湾e(cuò)誤】（1）說對(duì)稱軸是，得0分。 由直接得，扣2分。 （2）， 所以， （耗費(fèi)大量時(shí)間，僅能得2分）18若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。已知是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】解：（1）由，得。 1和-1是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)， ，解得。 2分 （2） 由（1）得， ， ，解得。 2分 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 是的極值點(diǎn)。 2分 當(dāng)或時(shí)， 不是的極值點(diǎn)。 的極值點(diǎn)是2。 2分（3）令，則。先討論關(guān)于 的方程 根的情況：當(dāng)時(shí)，由（ 2 ）可知，的兩個(gè)不同的根為1 和-2

10、 ，是奇函數(shù)，的兩個(gè)不同的根為-1和2。2分當(dāng)時(shí)， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當(dāng)時(shí)， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時(shí)在無實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)增函數(shù)。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。同理，在（一2 ，一I ）內(nèi)有唯一實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又， ，的圖象不間斷，在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的根滿足；當(dāng) 時(shí)有三個(gè)不同的根，滿足。3分現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：( i ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，滿足。而有三個(gè)不同的根，有兩個(gè)不同的根，故有5 個(gè)零點(diǎn)。( ）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，滿足。而有三個(gè)不同的根，故有9 個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)

11、有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)。 3分【典型錯(cuò)誤】（2） ， ，解得。 所以，極值點(diǎn)為1，-2。 （丟分情況嚴(yán)重）19如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【答案】解：（1）由題設(shè)知，由點(diǎn)在橢圓上，得，。由點(diǎn)在橢圓上，得2分橢圓的方程為。 2分（2）由（1）得，又，設(shè)、的方程分別為，。2分。同理，。（i） 由得，解 2分得=2。，直線的斜率為。 2分（ii） 證明：，即。 。由點(diǎn)在橢圓上知，。同理。由得， 4分。 是

12、定值。 2分【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，直線方程，兩點(diǎn)間的距離公式。【典型狀況】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解。計(jì)算錯(cuò)誤嚴(yán)重。 （2）（）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解。 含參式子的運(yùn)算能力低。十幾種方法中，利用直線的參數(shù)方程、橢圓的極坐標(biāo)方程相對(duì)簡(jiǎn)單些，但最簡(jiǎn)單的莫過于向量法：設(shè)，則，由，得。又，故，而，得，于是，。所以，。（）平幾知識(shí)欠缺，解答情況很差。20已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。（2），。（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，當(dāng)時(shí)，

13、與（）矛盾。 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 綜上所述，。，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾。 。 。【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。【典型狀況】（1）寫出而不知道給出結(jié)論。 寫出了，不能進(jìn)行下一步的變換。 根據(jù)前三項(xiàng)成等差，說明結(jié)論，不給分。 羅列幾個(gè)條件下結(jié)論，不給分。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。憑感覺下結(jié)論。第（1）小題：32%得滿分；5.4%得3分；62%得零分.在解決這個(gè)問題的過程中，約有40%的學(xué)生沒有做（時(shí)間不夠），在做這一問的學(xué)生中，主要錯(cuò)誤有：沒有明確的證等差數(shù)列的方法，只是將

14、兩個(gè)條件輪流代換；計(jì)算能力差，在代換過程中，出現(xiàn)了錯(cuò)誤；做成了，導(dǎo)致錯(cuò)誤.第（2）小題：沒有學(xué)生全對(duì)，主要得分包括：猜對(duì)答案2分；由利用累乘得出，2分；得出的范圍，3分.數(shù)學(xué)(附加題)21選做題本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修4 - 1：幾何證明選講 如圖，是圓的直徑，為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)求證：證明：連接。 是圓的直徑，（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。 （垂直的定義）。 又，是線段的中垂線（線段的中垂線定義）。 （線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）。 （等腰

15、三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）。 又為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)， （同弧所對(duì)圓周角相等）。 （等量代換）?！究键c(diǎn)】圓周角定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。【解析】要證，就得找一個(gè)中間量代換，一方面考慮到是同弧所對(duì)圓周角，相等；另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線，從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到。從而得證。 本題還可連接，利用三角形中位線來求證。B選修4 - 2：矩陣與變換 已知矩陣的逆矩陣，求矩陣的特征值 解：，。 ，。 矩陣的特征多項(xiàng)式為。 令，解得矩陣的特征值?！究键c(diǎn)】矩陣的運(yùn)算，矩陣的特征值?！窘馕觥坑删仃嚨哪婢仃嚕鶕?jù)定義可求出矩

16、陣，從而求出矩陣的特征值。C選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)中，已知圓經(jīng)過點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程【答案】解：圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，在中令，得。 圓的圓心坐標(biāo)為（1，0）。 圓經(jīng)過點(diǎn)，圓的半徑為。 圓經(jīng)過極點(diǎn)。圓的極坐標(biāo)方程為?！究键c(diǎn)】直線和圓的極坐標(biāo)方程。【解析】根據(jù)圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo)；根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)求出圓的半徑。從而得到圓的極坐標(biāo)方程。D選修4 - 5：不等式選講 已知實(shí)數(shù)x，y滿足：求證：【答案】證明：， 由題設(shè)。 【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的基本知識(shí)?！窘馕觥扛鶕?jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求證?！颈刈鲱}】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)?/p>

17、答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望【答案】解：（1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱， 共有對(duì)相交棱。 。 （2）若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對(duì)， ，。 隨機(jī)變量的分布列是：01 其數(shù)學(xué)期望。 【考點(diǎn)】概率分布、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)?！窘馕觥浚?）求出兩條棱相交時(shí)相交棱的對(duì)數(shù)，即可由概率公式求得概率。 （2）求出兩條棱平行且距離為的共有6對(duì)，即可求出，從而求出（兩條棱平行且距離為1和兩條棱異面），因此得到隨機(jī)變量的分布列，求出其數(shù)學(xué)期望。23設(shè)集合