高中數(shù)學解三角形方法大全

1、解三角形1 .解三角形：一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形。以下若無特殊說明,均設ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,則有以下關系成立:(1)邊的關系:角的關系:b, b c aA、B、C(或滿足：兩條較短的邊長之和大于較長邊)(3)邊角關系:sin A0,sin( AB) sinC,cos(A B) cosC ,A BA B sin2C cos 2正弦定理、余弦定理以及它們的變形7板塊一：正弦定理及其應用1.正弦定理：sin A sin B sin Cc2R ,其中ABC的外接圓半徑42 .正弦定理適用于兩類解

2、三角形問題：(1)已知三角形的任意兩角和一邊，先求第三個角，再根據(jù)正弦定理求出另外兩邊；(2)已知三角形的兩邊與其中一邊所對的角，先求另一邊所對的角(注意此角有兩解、一解、無解的可能)，再計算第三角，最后根據(jù)正弦定理求出第三邊【例1】考查正弦定理的應用(1)ABC中，若60tanA 2BC 2 ,則 AC(2)ABC中，若30(3)ABC中，若458,則C(4)ABC中，若csin A,b的最大值為總結(jié)：若已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解這類三角形時，要注意有兩解、一解和無解的可能如圖，在ABC中，已知a、b、AAf(1)若A為鈍角或直角，則當ab時，ABC有唯一解；否則無解。(2)若A

3、為銳角，則當absinA時，三角形無解；當absinA時，三角形有唯一解；當bsinAab時，三角形有兩解；當ab時，三角形有唯一解實際上在解這類三角形時，我們一般根據(jù)三角形中“大角對大邊”理論判定三角形是否有兩解的可能。板塊二：余弦定理及面積公式1 .余弦定理：在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,則有余弦定理:2.22a b c 2bccosAb2 a2 c2 2accosB , 其變式為:c2 a2 b2 2ab cosCcosAcosBcosC.222b c a2bc22,2a c b2ac2. 22a b c2ab2 .余弦定理及其變式可用來解決以下兩類三角形問題：(1)已

4、知三角形的兩邊及其夾角，先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求較短邊所對的角(或由余弦定理求第二個角)，最后根據(jù)“內(nèi)角和定理”求得第三個角；(2)已知三角形的三條邊，先由余弦定理求出一個角，再由正弦定理求較短邊所對的角(或由余弦定理求第二個角)，最后根據(jù)“內(nèi)角和定理”求得第三個角；說明：為了減少運算量，能用正弦定理就盡量用正弦定理解決3 .三角形的面積公式(1)ABC2aha11,-bhb-chc22(ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高)；(2)ABC1.八1,一absinC-bcsinA(3)ABC22RsinAsinBsinC1c一acsinB2(R為外接圓半徑)(4)ABCabc;

5、4R(5)ABC.p(pa)(pb)(pc)1，、其中p(abc)2(6)ABC1-rl(r是內(nèi)切圓的半徑,2l是三角形的周長)【例】考查余弦定理的基本應用(1)在ABC中，若a2了，b展”，C45,求c、A、B;(2)在ABC中，若aJ13,b4,c3,求邊AC上的高h；(3)在ABC中，若a2JT3,b8,A60,求c【例】(1)在ABC中，若a7,b8,cosC一，則ABC中最大角的余弦值為14111一(2)(10上海理)某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為、，則()13115A.不能作出這樣的三角形B.作出一個銳角三角形C.作出一個直角三角形D.作出一個鈍角三角形(3)以3

6、、4、x為三邊組成一個銳角三角形，則x的取值范圍為【例】考查正余弦定理的靈活使用1 .OO.(1)在ABC中，右acosBbcosAcsinC,其面積S(b2c2a2),則B4(2)在ABC中，若(J3bc)cosAacosC,貝UcosA(3) (07天津理)在ABC中，若a2b2v'3bc,sinC2n'4sinB,則A(4) (10江蘇)在銳角ABC中，若B-6cosC,則"tanC-tanCabtanAtanB【例】判斷滿足下列條件的三角形形狀(1)a2tanBb2tanA；(2)sinC2cosAsinB；(3)cosAcosBabc(4)(a2b2)sin

7、(AB)(a2b2)sin(AB)；(5)basinC,cacosB板塊三：解三角形綜合問題【例】(09全國2)32在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,cos(AC)cosB，bac,求B4_【例】(11西城一模)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且cosB-,b2.5一一(1)當a一時，求角A的度數(shù)；(2)求ABC面積的最大值【例】在ABC中，sinAcosA匕，AC2,AB3,求sinA的值和ABC的面積【例】在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知c2,C(1)若ABC的面積等于J3,求a、b；(2)若sinCsin(BA)2sin2A,求ABC的面

8、積cos A cos B【例5】(09江西理)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且tanCsinAsinBsin(BA)cosC(1)求A、C(2)若SABC3J3,求a、c.一、一，.一.、，1【例】(09安徽理)在ABC中，sin(CA)1,sinB(1)求sinA的值；(2)設AC”6,求ABC的面積III【例】(10遼寧理)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC(1)求A的大??；(2)求sinBsinC的最大值a。【例】在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,SABC(a2b2c2)4(1)求C的大小;(2)求sin Asin B的范圍【例】(11全國2)設ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知AC90,ac&b,求CC【江西理】在ABC中，角A、B、C的對邊分力1J是a、b、c,