材料力學(xué)3(拉伸、壓縮與剪切2)

1、一、應(yīng)力集中的概念 二、軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形三、拉壓超靜定問(wèn)題四、材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能應(yīng)力集中的概念： 前面所介紹的應(yīng)力計(jì)算公式適用于等截面的直桿，對(duì)于橫截面平緩變化的拉壓桿按該公式計(jì)算應(yīng)力在工程實(shí)際中一般是允許的；然而在實(shí)際工程中某些構(gòu)件常有切口、切槽、圓孔、螺紋、軸肩等幾何形狀發(fā)生突然改變的情況。 試驗(yàn)和理論分析表明，此時(shí)橫截面上的應(yīng)力不再是均勻分布，而是在局部范圍內(nèi)急劇增大，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中(stress concentration)。如圖2.32(a)所示的帶圓孔的薄板，承受軸向拉力 的作用，由試驗(yàn)結(jié)果可知：在圓孔附近的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力急劇增大；而在離這一區(qū)域稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力迅速減小

2、而趨于均勻，如圖(b)所示。 在I-I截面上，孔邊最大應(yīng)力 與同一截面上的平均應(yīng)力 之比，用K表示0max0maxK 稱為理論應(yīng)力集中系數(shù)(theoretical stress concentration factor)，它反映了應(yīng)力集中的程度，是一個(gè)大于1的系數(shù)。試驗(yàn)和理論分析結(jié)果表明：構(gòu)件的截面尺寸改變?cè)郊眲?，?gòu)件的孔越小，缺口的角越尖，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。因此，構(gòu)件上應(yīng)盡量避免帶尖角、小孔或槽，在階梯形桿的變截面處要用圓弧過(guò)渡，并盡量使圓弧半徑大一些。 桿件在軸向拉伸或壓縮時(shí)，其軸線方向的尺寸和橫向尺寸將發(fā)生改變。桿件沿軸線方向的變形稱為縱向變形，桿件沿垂直于軸線方向的變形稱為橫向變

3、形。 設(shè)一等直桿的原長(zhǎng)為 ，橫截面面積為A，如圖2.10所示。在軸向拉力F的作用下，桿件的長(zhǎng)度 由變?yōu)?，即其縱向伸長(zhǎng)量為llllll1b FFb1l一一 縱向變形縱向變形1lll ll二二 橫向變形橫向變形bbb1bb,lF l 1lEA 實(shí)驗(yàn)表明：NF lFllEAEA E即：當(dāng)材料應(yīng)力不超過(guò)某一限值 (以后將會(huì)講到，這個(gè)應(yīng)力值稱為材料的“比例極限”)時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。 這就是胡克定律(Hooke law)，是根據(jù)著名的英國(guó)科學(xué)家Robert Hooke命名的。公式(2.6)中的E是彈性模量，也稱為楊氏模量(Youngs modulus)，是根據(jù)另一位英國(guó)科學(xué)家Thomas Young

4、命名的，E隨材料的不同而不同。NF lFllEAEA E 由上式可以看出，若桿長(zhǎng)及外力不變，EA值越大，則變形越小，因此，EA反映桿件抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力，稱為桿件的抗拉(抗壓)剛度(axial rigidity)。llbb縱向變形和橫向變形縱向變形和橫向變形試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，橫向正應(yīng)變與縱向正應(yīng)變之比的絕對(duì)值為一常數(shù)，該常數(shù)稱為泊松比(Poissons ratio)，用 來(lái)表示，它是一個(gè)無(wú)量綱的量，可表示為 如圖所示的鉛垂懸掛的等截面直桿 ，其長(zhǎng)度為l， 橫截面面積為A，材料的比重為r，彈性模量為E 。試求該桿總的伸長(zhǎng)量。 解： (1) 計(jì)算吊桿的內(nèi)力。以吊

5、桿軸線為坐標(biāo)軸，吊桿底部為原點(diǎn)取坐標(biāo)系，則任一橫截面的位置可用x來(lái)表示。任取一橫截面，取下面部分為研究對(duì)象(圖(b)，得桿內(nèi)任意橫截面上的軸力為 xAxNF(2) 計(jì)算吊桿的變形。因?yàn)闂U的軸力是一變量，因此不能直接應(yīng)用胡克定律來(lái)計(jì)算變形，在x處截取微段dx來(lái)研究，受力情況如圖(c)所示。因dx極其微小，故該微段上下兩面的應(yīng)力可以認(rèn)為相等，該微段的伸長(zhǎng)為 ddxxxEANF則桿的總伸長(zhǎng)量為 2 0 0 0ddd2lllxxAxllxxEAEAE NF對(duì)于變截面桿件（如階梯桿），對(duì)于變截面桿件（如階梯桿），或軸力變化。則或軸力變化。則Ni iiiiF lllE A 一. 超靜定問(wèn)題的概念 前面所討

6、論的問(wèn)題中，約束反力和桿件的內(nèi)力都可以用靜力平衡方程全部求出。這種能用靜力平衡方程式求解所有約束反力和內(nèi)力的問(wèn)題，稱為靜定問(wèn)題 但在工程實(shí)踐上由于某些要求，需要增加約束或桿件，未知約束反力的數(shù)目超過(guò)了所能列出的獨(dú)立靜力平衡方程式的數(shù)目，這樣，它們的約束反力或內(nèi)力，僅憑靜力平衡方程式不能完全求得。這類問(wèn)題稱為超靜定問(wèn)題或靜不定問(wèn)題 2NF例如圖2.26(a)所示的結(jié)構(gòu)，其受力如圖2.26(b)所示，根據(jù)AB桿的平衡條件可列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，即 、 、 ；而未知力有4個(gè)，即 、 、 和 。顯然，僅用靜力平衡方程不能求出全部的未知量，所以該問(wèn)題為超靜定問(wèn)題。未知力數(shù)比獨(dú)立平衡方程數(shù)多出的數(shù)目，稱

7、為超靜定次數(shù)，故該問(wèn)題為一次超靜定問(wèn)題。(a) (b)圖2.26 一次超靜定問(wèn)題的受力分析圖(a) 超靜定結(jié)構(gòu)示意圖；(b) 超靜定桿的受力分析0X 0Y 0CMANFAY1NF2NF一、超靜定問(wèn)題的解法超靜定問(wèn)題的解法一般從以下三個(gè)方面的條件來(lái)進(jìn)行考慮：(1)靜力平衡方程；(2) 補(bǔ)充方程(變形協(xié)調(diào)條件)；(3) 物理關(guān)系(胡克定律、熱膨脹規(guī)律等)?，F(xiàn)以一簡(jiǎn)單問(wèn)題為例來(lái)說(shuō)明。3l1l圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，1 、2桿抗拉剛度為桿抗拉剛度為E1A1 ，3桿抗拉剛桿抗拉剛度為度為E3A3 ，在外力，在外力F 作用下，求三桿軸力？作用下，求三桿軸力？1 1、列出獨(dú)立的平衡方程、列出獨(dú)立的平衡方程210

8、NNxFFFFFFFNNy31cos202 2、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系cos321lll3 3、物理關(guān)系、物理關(guān)系1111cosNF llE A 3333NF llE A4 4、補(bǔ)充方程、補(bǔ)充方程131133coscosNNF lF lE AE A5 5、求解方程組，得、求解方程組，得21233311cos,2cosNNFFFE AE A33113312cosNFFE AE A一、力學(xué)性能：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的力學(xué)特性。二、材料的拉伸與壓縮試驗(yàn)1 試件和實(shí)驗(yàn)條件對(duì)于金屬材料，通常采用圓柱形試件，其形狀如圖所示，長(zhǎng)度為標(biāo)距標(biāo)距(gage length)。標(biāo)距一般有兩種，

9、前者稱為短試件，后者稱為長(zhǎng)試件，式中的d為試件的直徑。常溫、靜載常溫、靜載三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能 低碳鋼是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼，過(guò)去俗稱A3鋼。將低碳鋼試件兩端裝入試驗(yàn)機(jī)試驗(yàn)機(jī)(Test-machine)上，緩慢加載，使其受到拉力產(chǎn)生變形。利用試驗(yàn)機(jī)的自動(dòng)繪圖裝置，可以畫(huà)出試件在試驗(yàn)過(guò)程中標(biāo)距為l段的伸長(zhǎng)l和拉力F F之間的關(guān)系曲線。該曲線的橫坐標(biāo)為l，縱坐標(biāo)為F F ，稱之為試件的拉伸圖，如圖2.23所示。低碳鋼試件的拉伸圖拉伸圖與試樣的尺寸有關(guān)，將拉力P P除以試件的原橫截面面積A A，得到橫截面上的正應(yīng)力，將其作為縱坐標(biāo)；將伸長(zhǎng)量除以標(biāo)距的原始長(zhǎng)度，得到應(yīng)變作為橫坐標(biāo)。從而

10、獲得曲線，如圖2.24所示，稱為應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變圖應(yīng)變圖(stress-strain diagram)或應(yīng)應(yīng)力力應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線。圖2.15 低碳鋼拉伸時(shí)的曲線圖oabcefPesb明顯的四個(gè)階段明顯的四個(gè)階段: :1 1、彈性階段、彈性階段obobP比例極限比例極限Ee彈性極限彈性極限tanE2 2、屈服階段、屈服階段bcbc（失去抵（失去抵抗變形的能力）抗變形的能力）s屈服極限屈服極限3 3、強(qiáng)化階段、強(qiáng)化階段cece（恢復(fù)抵抗變形的能力）（恢復(fù)抵抗變形的能力）強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限b4 4、局部徑縮階段、局部徑縮階段efef0兩個(gè)塑性指標(biāo)兩個(gè)塑性指標(biāo): :%100001lll斷后伸長(zhǎng)率斷后伸長(zhǎng)率斷

11、面收縮率斷面收縮率%100010AAA%5為塑性材料為塑性材料%5為脆性材料為脆性材料低碳鋼的低碳鋼的%3020%60為塑性材料為塑性材料卸載定律及冷作硬化卸載定律及冷作硬化oabcefPesbddghf 材料在卸載過(guò)程中應(yīng)材料在卸載過(guò)程中應(yīng)力和應(yīng)變是線性關(guān)系，這力和應(yīng)變是線性關(guān)系，這就是卸載定律。就是卸載定律。 材料的比例極限增高，材料的比例極限增高，延伸率降低，稱之為冷作硬延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。化或加工硬化。1 1、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載2 2、過(guò)彈性范圍卸載、再加載、過(guò)彈性范圍卸載、再加載其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì) 對(duì)于沒(méi)有明對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的塑顯屈服階段的塑性材料，用名義性材料，用名義屈服極限屈服極限p0.2p0.2來(lái)來(lái)表示。表示。o%2 . 02 . 0pobt 對(duì)于脆性材料（鑄鐵），拉伸時(shí)的應(yīng)力對(duì)于脆性材料（鑄鐵），拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線為微彎的曲線，沒(méi)有屈服和徑縮現(xiàn)應(yīng)變曲線為微彎的曲線，沒(méi)有屈服和徑縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長(zhǎng)率約為象