2001年考研數(shù)學二試題[卷]及的答案解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分把答案填在題中橫線上）（1）_【答案】【考點】洛必達法則【難易度】【詳解】解析：方法一：方法二：使用洛必達法則計算.（2）設(shè)函數(shù)由方程所確定，則曲線在點處的法線方程為_【答案】【考點】隱函數(shù)的導數(shù)、平面曲線的法線【難易度】【詳解】解析：在等式兩邊對x求導,得將代入上式,得故所求法線方程為即 x2y+2=0.（3） _【答案】【考點】定積分的換元法【難易度】【詳解】解析：由題干可知，積分區(qū)間是對稱區(qū)間，利用被積函數(shù)的奇偶性可以簡化計算.在區(qū)間上,是奇函數(shù),是偶函數(shù),故（4）

2、 過點且滿足關(guān)系式的曲線方程為_【答案】【考點】一階線性微分方程【難易度】【詳解】解析：方法一:原方程可改寫為兩邊直接積分,得又由解得故所求曲線方程為：方法二:將原方程寫成一階線性方程的標準形式解得又由解得故曲線方程為：（5） 設(shè)方程有無窮多個解，則a_【答案】【考點】非齊次線性方程組解的判定【難易度】【詳解】解析：方法一:利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形,有可見,只有當a =2 時才有秩對應(yīng)方程組有無窮多個解.方法二:當系數(shù)矩陣的行列式不為零時,方程組有唯一解,因此滿足題設(shè)條件的a 一定使系數(shù)行列式為零,即有解得或.由于答案有兩個,應(yīng)將其帶回原方程進行檢驗.顯然,當時,原方程無解,因此只能是

3、.二、選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設(shè)則等于（ ）（A）0（B）1（C）（D）【答案】B【考點】復合函數(shù)【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：復合函數(shù)中，內(nèi)層函數(shù)的值域是包含于外層函數(shù)的定義域。解析：由題易知，所以，選B.（2）設(shè)當時，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，則正整數(shù)等于（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【考點】無窮小量的比較【難易度】【詳解】解析：由題易知: （3）曲線的拐點個數(shù)為（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【考點】函數(shù)圖形的拐點【難易度】【

4、詳解】解析：由得，或，帶入，故有兩個拐點.（4）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導數(shù)，嚴格單調(diào)減少，且，則（ ）（A）在和內(nèi)均有（B）在和內(nèi)均有（C）在內(nèi)，在內(nèi)，（D）在內(nèi)，在內(nèi)，【答案】A【考點】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】解析：令，則，因為在區(qū)間上，嚴格單調(diào)減少，所以當時，單調(diào)遞增，；當時，單調(diào)遞減，；故在和內(nèi)均有，即.（5）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導，它的圖形如下圖所示，則其導函數(shù)的圖形為（ ）【答案】D【考點】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】解析：由圖可知有兩個極值點，橫坐標分別記作，故在且僅在這兩處的值為，故選D。其中，當時，先增后減再增，故先正再負再正，進一步排除B.三、（本題滿分6分）

5、求【考點】不定積分的第二類換元法【難易度】【詳解】解析：設(shè)則 原式四、（本題滿分7分）求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點并指出其類型【考點】兩個重要極限、函數(shù)間斷點的類型【難易度】【詳解】解析：由此表達式知x0及xkp（k±1，±2，）都是f（x）的間斷點由于，所以x0是f（x）的可去（或第一類）間斷點；而xkp（k±1，±2，）均為第二類（或無窮）間斷點五、（本題滿分7分）設(shè)是拋物線上任一點處的曲率半徑，是該拋物線上介于點與之間的弧長，計算的值（在直角坐標系下曲率公式為【考點】曲率半徑、定積分的幾何應(yīng)用平面曲線的弧長、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)【難易

6、度】【詳解】解析：拋物線在點處的曲率半徑拋物線上的弧長故 因此六、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)在上可導，且其反函數(shù)為若求【考點】積分上限的函數(shù)及其導數(shù)、一階線性微分方程【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：解析：等式兩邊對x求導得：，又因為是的反函數(shù)，故，所以有又因為在處連續(xù)，由得故.七、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)，滿足，且，求【考點】自由項為指數(shù)函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、定積分的分部積分法【難易度】【詳解】解析：因為，所以其對應(yīng)的齊次微分方程為特征方程為，所以齊次微分方程的通解為設(shè)非齊次微分方程的特解為，則代入微分方程得，所以非齊次微分方程的通解為，又,得,故求積分： .八、（本題滿分9

7、分）設(shè)是一條平面曲線，其上任意一點到坐標原點的距離恒等于該點處的切線在軸上的截距，且經(jīng)過點（1）試求曲線的方程；（2）求位于第一象限部分的一條切線，使該切線與以及兩坐標軸所圍圖形的面積最小【考點】齊次微分方程、平面曲線的切線、函數(shù)的最大值與最小值【難易度】【詳解】解析：（1）設(shè)曲線過點的切線方程為，令,得切線在軸上的截距由題設(shè)知 ，令,則此方程可化為分離變量得積分得，即 代入條件得，于是得L的方程, 即.（2）曲線L在點處的切線方程為 即.它在x軸與y軸上的截距分別為與所圍面積令.得在內(nèi)的唯一駐點,易知是最小值點由此，所求切線為,即.九、（本題滿分7分）一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半

8、球面面積成正比，比例常數(shù)假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時？【考點】導數(shù)的物理意義、微分方程初始條件的概念【難易度】【詳解】解析：設(shè)雪堆在時刻的體積，側(cè)面積，雪堆半徑由題設(shè)知，所以有即積分得又由，有，于是又由，即，得，從而令得雪堆全部融化所需時間為小時十、（本題滿分8分）設(shè)在區(qū)間上具有二階連續(xù)導數(shù)，（1）寫出的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式；（2）證明在上至少存在一點，使【考點】泰勒中值定理、介值定理【難易度】【詳解】解析：（1）對任意，其中在0與之間（2） 令，則在具有三階連續(xù)導數(shù)，其二階麥克勞林展開式為所以又由于介于和之間，由介值定理知存在，使得，則有.十一、（本題滿分6分）已知矩陣，且矩陣滿足，其中是3階單位陣，求【考點】矩陣方程、逆矩陣的概念【難易度】【詳解】解析：由題設(shè)的關(guān)系式得即由于行列式所以矩陣可逆，所以故十二、（本題滿分6分）已知是線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，若，討論實數(shù)滿足什么關(guān)系時，也是的一個基礎(chǔ)解系【考點】