考研數(shù)學(xué)：必考的定理證明整理

1、考研數(shù)學(xué)：必考的定理證明整理考研數(shù)學(xué)的定理證明是一直考生普遍感覺不太有把握的內(nèi)容，而 2016 年考研數(shù)學(xué)真題釋放出一個(gè)明確信號(hào) 考生需重視教材中重要定理的證明。下面跨考教育為考生梳理一下教材中那些要求會(huì)證的重要定理。一、求導(dǎo)公式的證明2015 年真題考了一個(gè)證明題：證明兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式。 幾乎每位同學(xué)都對(duì)這個(gè)公式怎么用比較熟悉， 而對(duì)它怎么來的較為陌生。 實(shí)際上，從授課的角度，這種在 2015 年前從未考過的基本公式的證明，一般只會(huì)在基礎(chǔ)階段講到。如果這個(gè)階段的考生帶著急功近利的心態(tài)只關(guān)注結(jié)論怎么用， 而不關(guān)心結(jié)論怎么來的， 那很可能從未認(rèn)真思考過該公式的證明過程， 進(jìn)而在考場上變得很

2、被動(dòng)。這里給 2017 考研學(xué)子提個(gè)醒：要重視基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)， 那些真題中未考過的重要結(jié)論的證明，有可能考到，不要放過。當(dāng)然，該公式的證明并不難。 先考慮 f(x)*g(x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)自然用導(dǎo)數(shù)定義考察，可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出一個(gè)極限式子。該極限為 “0分之 0”型，但不能用洛必達(dá)法則，因?yàn)榉肿拥膶?dǎo)數(shù)不好算 (乘積的導(dǎo)數(shù)公式恰好是要證的，不能用 !) 。利用數(shù)學(xué)上常用的拼湊之法，加一項(xiàng)，減一項(xiàng)。這個(gè) “無中生有 ”的項(xiàng)要和前后都有聯(lián)系， 便于提公因子。 之后分子的四項(xiàng)兩兩配對(duì)， 除以分母后考慮極限， 不難得出結(jié)果。再由 x0 的任意性，便得到了 f(x)*g(x)

3、在任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式。類似可考慮 f(x)+g(x) ，f(x)-g(x) ，f(x)/g(x) 的導(dǎo)數(shù)公式的證明。二、微分中值定理的證明這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、 柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會(huì)證。費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)： 1.f'(x0) 存在 2. f(x0)為 f(x) 的極值，結(jié)論為 f'(x0)=0 ?？紤]函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，用什么方法 ? 自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出 f'(x0) 的極限形式。往下如何推理 ? 關(guān)鍵要看第二個(gè)條件怎么用。 “f(x0) 為 f(x) 的 極 值 ”翻 譯

4、成 數(shù) 學(xué) 語 言 即 f(x)-f(x0)<0( 或>0)，對(duì) x0 的某去心鄰域成立。 結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達(dá)式， 不難想到考慮函數(shù)部分的正負(fù)號(hào)。 若能得出函數(shù)部分的符號(hào)， 如何得到極限值的符號(hào)呢 ? 極限的保號(hào)性是個(gè)橋梁。費(fèi)馬引理中的 “引理 ”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個(gè)考頻最高的，那羅爾定理當(dāng)之無愧。 該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三： “閉區(qū)間連續(xù) ”、“開區(qū)間可導(dǎo) ”和“端值相等 ”，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(diǎn) (即所謂的中值 )，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 0。該定理的證明不好理解，

5、需認(rèn)真體會(huì)：條件怎么用 ?如何和結(jié)論建立聯(lián)系 ?當(dāng)然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是 “馬后炮 ”式的：已經(jīng)有了證明過程， 我們看看怎么去理解掌握。 如果在羅爾生活的時(shí)代， 證出該定理， 那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費(fèi)馬引理的作用是要引出羅爾定理， 那么羅爾定理的證明過程中就要用到費(fèi)馬引理。 我們對(duì)比這兩個(gè)定理的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的： 都是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 0。話說到這，可能有同學(xué)要說：羅爾定理的證明并不難呀， 由費(fèi)馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)?，但過程沒這么簡單。起碼要說清一點(diǎn)：費(fèi)馬引理的條件是否滿足，為什么滿足 ?前面提過費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè) “可導(dǎo)

6、” 和“取極值 ”，“可導(dǎo) ”不難判斷是成立的， 那么 “取極值 ”呢?似乎不能由條件直接得到。 那么我們看看哪個(gè)條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。 注意到羅爾定理的第一個(gè)條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。 我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)， 哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢 ? 不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關(guān)系 ? 這個(gè)點(diǎn)需要想清楚，因?yàn)橹苯佑绊懴旅嫱评淼淖呦颉?結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值 ;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，則最值不為極值。 那么接下來， 分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部， 此種情況下費(fèi)馬引理?xiàng)l件完全成立，不難得出結(jié)論 ;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，注意到已知條件第三條告訴我們端點(diǎn)函

7、數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個(gè)閉區(qū)間上的最大值和最小值相等， 這意味著函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的表達(dá)式恒為常數(shù)， 那在開區(qū)間上任取一點(diǎn)都能使結(jié)論成立。拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個(gè)定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明， 若再考這些原定理，那自然駕輕就熟 ;此外，這兩個(gè)的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路， 適用于證其它結(jié)論。以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對(duì)比一下兩個(gè)定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號(hào)右側(cè)為零。 我們可以考慮在草稿紙上對(duì)拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項(xiàng)即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對(duì)哪個(gè)函數(shù)用羅爾定理

8、的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔助函數(shù)的過程 看等號(hào)左側(cè)的式子是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后， 把 x 換成中值的結(jié)果。 這個(gè)過程有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場調(diào)查：根據(jù)這個(gè)犯罪現(xiàn)場，反推嫌疑人是誰。 當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)遠(yuǎn)比破案要簡單，簡單的題目直接觀察; 復(fù)雜一些的，可以把中值換成 x，再對(duì)得到的函數(shù)求不定積分?？佳袛?shù)學(xué)的定理證明是一直考生普遍感覺不太有把握的內(nèi)容，而 2016 年考研數(shù)學(xué)真題釋放出一個(gè)明確信號(hào) 考生需重視教材中重要定理的證明。下面跨考教育為考生梳理一下教材中那些要求會(huì)證的重要定理。三、微積分基本定理的證明該部分包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓 -萊布尼茨公式。變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉

9、區(qū)間連續(xù)， 結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉， 并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。 注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類， 而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)。 花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。 至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡， 筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮?！芭ｎD -萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算， 同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成， 從此微積分成為一門真正的學(xué)科

10、。 ”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是 F(x) 為 f(x) 在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)， 結(jié)論是 f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。 該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立， 則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立， 故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。注意到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即 f(x) 對(duì)應(yīng)的

11、變上限積分函數(shù)為 f(x) 在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念， 我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)， 所以 F(x) 等于 f(x) 的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù) C。萬事俱備， 只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。四、積分中值定理該定理?xiàng)l件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間(閉區(qū)間 )上連續(xù)，結(jié)論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號(hào)外面， 并把積分變量x 換成中值。如何證明 ? 可能有同學(xué)想到用微分中值定理，理由是微分相關(guān)定理的結(jié)論中含有中值?？梢园凑沾怂悸吠路治?， 不過更易理解的思路是考慮連續(xù)相關(guān)定理 (介值定理和零點(diǎn)存在定理 )，理由

12、更充分些：上述兩個(gè)連續(xù)相關(guān)定理的結(jié)論中不但含有中值而且不含導(dǎo)數(shù)， 而待證的積分中值定理的結(jié)論也是含有中值但不含導(dǎo)數(shù)。若我們選擇了用連續(xù)相關(guān)定理去證，那么到底選擇哪個(gè)定理呢 ?這里有個(gè)小的技巧 看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。 介值定理和零點(diǎn)存在定理的結(jié)論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結(jié)論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自明了。若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對(duì)比一下介值定理和積分中值定理的結(jié)論：介值定理的結(jié)論的等式一邊為某點(diǎn)處的函數(shù)值，而等號(hào)另一邊為常數(shù) A。我們自然想到把積分中值定理的結(jié)論朝以上的形式變形。 等式兩邊同時(shí)除以區(qū)間長度，就能達(dá)到我們的要求。當(dāng)然，變形后等號(hào)一側(cè)含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的， 要透過現(xiàn)象看本質(zhì)， 看清楚定積分的值是一個(gè)數(shù)， 進(jìn)而定積分除以區(qū)間長度后仍為一個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)就相當(dāng)于介值定理結(jié)論中的A。接下來如何推理，這就考察各位對(duì)介值定理的熟悉程度了。該定理?xiàng)l件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實(shí)數(shù) A 位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結(jié)論是該實(shí)數(shù)能被取到(即A為閉區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值)。再看若積分中值定理的條