彈性波的量子化

1、4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論1玻恩玻恩- -卡曼有限鏈模型卡曼有限鏈模型 我們?cè)谟懻撘痪S原子鏈的時(shí)候，沒(méi)有考慮邊我們?cè)谟懻撘痪S原子鏈的時(shí)候，沒(méi)有考慮邊界條件，邊界條件將使問(wèn)題變復(fù)雜界條件，邊界條件將使問(wèn)題變復(fù)雜 玻恩玻恩-卡曼提出了一個(gè)包含卡曼提出了一個(gè)包含 N 個(gè)原胞的環(huán)狀個(gè)原胞的環(huán)狀鏈作為一個(gè)有限鏈的模型，它包含有限數(shù)目的原鏈作為一個(gè)有限鏈的模型，它包含有限數(shù)目的原子，而保持所有原胞完全等價(jià)子，而保持所有原胞完全等價(jià) 如果如果 N 很大，沿環(huán)的運(yùn)很大，沿環(huán)的運(yùn)動(dòng)仍可看作是直線的，以前動(dòng)仍可看作是直線的

2、，以前的運(yùn)動(dòng)方程仍使用的運(yùn)動(dòng)方程仍使用4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論2 在玻恩在玻恩-卡曼環(huán)狀鏈模型下，要求原胞卡曼環(huán)狀鏈模型下，要求原胞 n 增增加加 N，振動(dòng)情況必須復(fù)原，因?yàn)椋駝?dòng)情況必須復(fù)原，因?yàn)?n 和和 n+N 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)原胞；這就必須要求是同一個(gè)原胞；這就必須要求因此因此1iNKae2pNKa 即即為整數(shù)）（pNapK 2我們知道我們知道 aKa所以所以22NpN2, 22 , 12NNNp 共共 N 個(gè)值個(gè)值4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：

3、晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論3 所以，由所以，由 N 個(gè)原胞組成的鏈，個(gè)原胞組成的鏈，K 可以取可以取 N 個(gè)個(gè)不同的值，每個(gè)不同的值，每個(gè) K 對(duì)應(yīng)著一個(gè)格波，共有對(duì)應(yīng)著一個(gè)格波，共有 N 個(gè)格個(gè)格波，這正是一維單原子鏈的自由度數(shù)，這樣就已波，這正是一維單原子鏈的自由度數(shù)，這樣就已經(jīng)得到鏈的全部振動(dòng)模經(jīng)得到鏈的全部振動(dòng)模 玻恩玻恩-卡曼模型要求鏈頭尾相接，實(shí)際上起卡曼模型要求鏈頭尾相接，實(shí)際上起著邊界條件的作用，此模型不改變方程的解，而著邊界條件的作用，此模型不改變方程的解，而是對(duì)解提出一個(gè)條件是對(duì)解提出一個(gè)條件 ，稱為玻恩，稱為玻恩-卡曼卡曼條件，或者條件，或者周期性邊界條

4、件周期性邊界條件1iNKae4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論4簡(jiǎn)正坐標(biāo)簡(jiǎn)正坐標(biāo) 我們?cè)玫揭痪S原子鏈的解我們?cè)玫揭痪S原子鏈的解 表示波矢為表示波矢為 K 的格波引起第的格波引起第 n 個(gè)原子的位個(gè)原子的位移，則原子的總位移為所有格波的疊加移，則原子的總位移為所有格波的疊加)(expnKatiuuKKnKKKKKnKnnKatiuuu)(exp 把上式寫成把上式寫成KKninKaQNMu)exp(14. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)

5、論導(dǎo)論5 相當(dāng)于我們把相當(dāng)于我們把“坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸”取為取為)exp(tiuNMQKKK其中其中KKninKaQNMu)exp(1)exp(1inKaN則則 QK 就是就是 un 在此坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，稱為在此坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo)簡(jiǎn)正坐標(biāo)，它表示了格波的振幅它表示了格波的振幅4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論62. 基函數(shù)是正交歸一的，即基函數(shù)是正交歸一的，即KKQQ*KKNnaKKinN10)(exp1QK 的兩個(gè)性質(zhì)的兩個(gè)性質(zhì)1. KKKKninKaQNMinKaQNMu)exp(1)exp(1證明：證

6、明：KKninKaQNMu)exp(1*因?yàn)橐驗(yàn)閚nuu *所以所以KKQQ*4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論7KKNnaKKinN10)(exp1因?yàn)橐驗(yàn)楫?dāng)當(dāng) 時(shí)，上式顯然是成立的；當(dāng)時(shí)，上式顯然是成立的；當(dāng) 時(shí)時(shí)KK KK )(exp1)(exp1)(exp110aKKiaKKiNaKKinNNn為整數(shù)）（pNapK 2所以所以0/ )(2exp1)(2exp1Nppippi上式4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論8晶格振動(dòng)

7、能量晶格振動(dòng)能量 其中動(dòng)能項(xiàng)其中動(dòng)能項(xiàng)nnnnnuuCuMUTH212)(2121KKKKKKKKKKKKKKKKnaKKinKKnKinKaKKinKaKnnQQQQQQQeNQQeQeQNMMuMT2*,)(2|21212121121121214. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論9勢(shì)能項(xiàng)勢(shì)能項(xiàng)KKKKKKKKiKaiKaKKKKnaKKiniKaiKaKKnKiKainKaKiKaKinKaKnnnQKaMCQQeeQQMCeNeeQQMCeeQeeQNMCuuCU22*)(21|21)cos1 (221)1

8、)(1 (21)1)(1 (2)1 ()1 (2)(214. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論10勢(shì)能項(xiàng)勢(shì)能項(xiàng)KKKKKKKKiKaiKaKKKKnaKKiniKaiKaKKnKiKainKaKiKaKinKaKnnnQKaMCQQeeQQMCeNeeQQMCeeQeeQNMCuuCU22*)(21|21)cos1 (221)1)(1 (21)1)(1 (2)1 ()1 (2)(214. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論11 顯然，這是

9、一些列獨(dú)立線性諧振子的哈密顯然，這是一些列獨(dú)立線性諧振子的哈密頓量的總和；即通過(guò)簡(jiǎn)正坐標(biāo)我們把相互耦合頓量的總和；即通過(guò)簡(jiǎn)正坐標(biāo)我們把相互耦合的原子振動(dòng)化成了無(wú)相互作用的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的原子振動(dòng)化成了無(wú)相互作用的簡(jiǎn)諧振動(dòng)KKKKKKKKKQQQQE222222|21|21|21|21 因此，我們一旦找出了簡(jiǎn)正坐標(biāo)，就可以因此，我們一旦找出了簡(jiǎn)正坐標(biāo)，就可以直接過(guò)渡到量子理論，每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于一直接過(guò)渡到量子理論，每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于一個(gè)諧振子方程個(gè)諧振子方程4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論12聲子聲子 晶格振動(dòng)的能

10、量是量子化的，與電磁波的光晶格振動(dòng)的能量是量子化的，與電磁波的光子相仿，這種能量量子被稱為子相仿，這種能量量子被稱為聲子聲子(phonon) 一角頻率為一角頻率為 的彈性模式被激發(fā)到量子數(shù)的彈性模式被激發(fā)到量子數(shù)為為 n 時(shí)，也就是當(dāng)這個(gè)模式被時(shí)，也就是當(dāng)這個(gè)模式被 n 個(gè)聲子所占據(jù)時(shí)，個(gè)聲子所占據(jù)時(shí)，其能量為其能量為)21( n4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論13)21( n 這個(gè)模式的這個(gè)模式的零點(diǎn)能零點(diǎn)能為為 。聲子和光子。聲子和光子一樣具有零點(diǎn)能，因?yàn)樗鼈兌嫉葍r(jià)于一個(gè)頻率一樣具有零點(diǎn)能，因?yàn)樗鼈兌嫉葍r(jià)

11、于一個(gè)頻率為為 的量子諧振子，該量子諧振子的能量本征的量子諧振子，該量子諧振子的能量本征值也是值也是2/4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論14 當(dāng)電子當(dāng)電子(或光子或光子)與晶格振動(dòng)相互作用，交與晶格振動(dòng)相互作用，交換能量以換能量以 為單元，若電子從晶格獲得為單元，若電子從晶格獲得 能量，稱為吸收一個(gè)聲子，若電子給晶格能量，稱為吸收一個(gè)聲子，若電子給晶格 能量，稱為發(fā)射聲子能量，稱為發(fā)射聲子 聲子不是真實(shí)粒子，稱為聲子不是真實(shí)粒子，稱為準(zhǔn)粒子準(zhǔn)粒子，它反映，它反映的是晶格原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元。多體的是晶格

12、原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元。多體系統(tǒng)集體運(yùn)動(dòng)的激發(fā)單元，常稱為系統(tǒng)集體運(yùn)動(dòng)的激發(fā)單元，常稱為元激發(fā)元激發(fā)。聲。聲子是固體中一種典型的元激發(fā)子是固體中一種典型的元激發(fā)4. .3 彈性波的量子化彈性波的量子化第第 4 章章 聲子（聲子（I）：晶格振動(dòng)）：晶格振動(dòng)固體固體物理物理導(dǎo)論導(dǎo)論15聲子的均方振幅聲子的均方振幅設(shè)駐波模式的振幅為設(shè)駐波模式的振幅為tKxuucoscos02/2u 類似于諧振子，當(dāng)這種模式的能量對(duì)時(shí)間求類似于諧振子，當(dāng)這種模式的能量對(duì)時(shí)間求平均值時(shí)，一半為動(dòng)能，另一半為勢(shì)能。動(dòng)能密平均值時(shí)，一半為動(dòng)能，另一半為勢(shì)能。動(dòng)能密度為度為 。體積為。體積為 V 的晶體，動(dòng)能的晶體，動(dòng)能tKxuucoscos0tVutT2220sin4