4.5自感磁場的能量

1、1 4. 5 自感磁場的能量4. 5. 1、自感(1)(1)自感電動(dòng)勢、自感系數(shù)回路本身的電流變化而在回路中產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象叫自感現(xiàn)象。在自感現(xiàn)象中回路產(chǎn)生的電動(dòng)勢叫自感電動(dòng)勢。由法拉第電磁感定律；-n-A At t這里磁通門是自身電流產(chǎn)生磁場的磁通，按照畢奧一薩爾定律，線圈中的電 流所激發(fā)的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與電流強(qiáng)度成正比。因而應(yīng)有.:，/.迸；訂/氏。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可得自感到電動(dòng)勢自 = _L 自氏式中 L L 為比例系數(shù)，僅與線圈的大小、形狀、匝數(shù)以及周圍介質(zhì)情況有關(guān)， 稱為自感系數(shù)。在國際單位制中，自感系數(shù)的單位是亨利。式中負(fù)號(hào)表示自感電 動(dòng)勢的方向。當(dāng)電流增加時(shí)，自

2、感電動(dòng)勢與原有電流的方向相反；當(dāng)電流減小時(shí)， 自感電動(dòng)勢與原有電流的方向相同。 要使任何回路中的電流發(fā)生改變，都會(huì)引起 自感應(yīng)對電流改變的反抗，回路的自感系數(shù)越大，自感應(yīng)的作用就越強(qiáng)，改變回 路中的電流也越困難。因此自感系數(shù)是線圈本身“電磁慣性”大小的量度。典型的自感現(xiàn)象及其規(guī)律如圖 4-5-14-5-1 所示電路由電感線圈 L L 和燈泡A,A,以及電阻 R R 和燈泡 B B 組成兩個(gè)支路連接在一個(gè)電源兩端。 A A、B B 燈泡相同，當(dāng) K K 閉合瞬時(shí)，L LA A 支路圖 4-5-14-5-1KIJ圖2中，由于 L L 的自感現(xiàn)象，阻礙電流增大，所以 A A 不能立即發(fā)光，而是逐漸變

3、亮, 而 B B立即正常發(fā)光。當(dāng)穩(wěn)定后，電流不再變化時(shí)，L L 只在電路中起一個(gè)電阻的作 用。流過L LA A 支路的電流Ii，此時(shí) L L 中貯存磁場能為W二1LI；2（在后介紹）當(dāng) K K 斷開瞬間，L L 中電流要減小，因而會(huì)產(chǎn)生自感電動(dòng)勢，在回來 L LA AB B R R 中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從能量觀點(diǎn)來看，L L 釋放線圈中磁場能，轉(zhuǎn)變成電能消 耗在回路中，所以 A A、B B 燈泡應(yīng)是在 K K 斷開后瞬間逐漸熄滅，其回路中電流時(shí)間 變化如圖 4-5-24-5-2 所示。4. 5. 2、磁場的能量見圖 4-5-34-5-3,當(dāng) K K 閉合后，回路中電流 I I 將從零不斷增加，而自

4、感系數(shù)為 L L 的線圈中將產(chǎn)生自感電動(dòng)勢Ai匕自二t阻礙電流的增加，；和自合起來產(chǎn)生電流通過電阻 R R；=Ri式中i是變化的，方程兩邊乘以it并求和圖 5-2-15-2-1、為 RiRi2：t t LiLi ：i i顯然，方程的左邊是電源輸出的能量，而方程右邊第一項(xiàng)是在電阻 R R 上產(chǎn)生 的焦耳熱，那剩下的一項(xiàng)顯然也是能量，是儲(chǔ)存在線圈中的磁場能，下面我們求 它的更具體的表達(dá)式：圖K K 剛閉合時(shí)，i=0,=0,而當(dāng)電路穩(wěn)定后，電y3流不再變化，自感電動(dòng)勢變?yōu)榱?，穩(wěn)定電流I-；R（忽略電源內(nèi)阻）， LrLr：i i這個(gè)求和式的求和范圍從 0 0 到 I I，令，y=y=i并以i為橫作標(biāo)，

5、y y圖 4_5_44_5_4 為縱坐標(biāo)做一坐標(biāo)系，則 y=y=i在坐標(biāo)系中為第一象限的角平分線。在橫作標(biāo)i處取-和，厶i很小，可認(rèn)為對應(yīng)的 y y 為常量，窄 條面積yCii，把從 0 0 到| |的所有窄條面積加起來 a 沖八訂即為 y=y=i與i軸所夾三角形面積，故12、 y：i =為i：i=丄I22代入 aLLLL ：i i可知儲(chǔ)存線圈內(nèi)的能量。W =-LI22從公式看，能量是與產(chǎn)生磁場的電流聯(lián)在一起的， 下面我們求出直螺線管的自感系數(shù)從而證實(shí)能量是磁場的。設(shè)長直螺線管長為I I，截面積為 S S,故繞有 N N匝線圈，管內(nèi)為真空。當(dāng)線圈中通有電流 I I 時(shí)，管內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B

6、 Bon|， 通過 N N匝線圈的磁通量與門=LI相比較，可得N2BlN代入磁場能量式J2IS將代0n4B B2單位體積的磁場能量為2n2 2 ；E E 相比較，公式何等相似。從電學(xué)、磁學(xué)公式中，我丄們知道 Q 對應(yīng)于n0，公式的相似來源于電場，磁場的對稱性。磁場的能量密度公式告訴我們，能量是與磁場聯(lián)系在一起的。只要有磁場, 就有B，就有能量。另外，公式雖是從長直螺線管的磁場這一特例推導(dǎo)出來，但 對所有磁場的均適用典型例題例 1 1、如圖 4-5-54-5-5 所示的電路中，電池的電動(dòng)勢；=12V，內(nèi)阻r r = 丁;R;R 二21 1, , R R2= = 9 9R R = = 15151

7、1，L L = = 2H2H , ,開始時(shí)電 鍵 K K 與 A A 接通。將 K K 迅速地由 A A 移至與 B B 接通，則線圖 4-5-54-5-5圈 L L 中可產(chǎn)生的最大自感電動(dòng)勢多大?分析：K K 接在 A A 點(diǎn)時(shí)，電路中有恒疋電流 I I，當(dāng) K K 接至 B B 瞬間時(shí)，線圈中自 感所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢應(yīng)欲維持這一電流， 此瞬時(shí)電流 I I 就是最大值，維持此電 流的感應(yīng)電動(dòng)勢就是最大自感電動(dòng)勢。解：L L 為純電路，直流電阻不計(jì)，K K 接在 A A 時(shí)，回路穩(wěn)定時(shí)電流 I I 為I21AR,R2rBlW =】noNS2 loN1 B2v2 n與電場的能量密度L5當(dāng) K K

8、 接到 B B 點(diǎn)時(shí)，線圈中電流將逐漸減小至零，但開始時(shí)刻，電流仍為I =1A，根據(jù)歐姆定律，維持這電流的瞬時(shí)自感電動(dòng)勢為6；L= = I I (R(R2R R3) )= 24V以后電流變小，自感電動(dòng)勢也減小直至零。例 2 2、由半徑ri毫米的導(dǎo)線構(gòu)成的半徑r2二10厘米的圓形線圈處于超導(dǎo)狀態(tài)，開始時(shí)線圈內(nèi)通有 100100 安培的電流。一年后測出線圈內(nèi)電流的減小量不足10啟安培，試粗略估算此線圈電阻率的上限。解：線圈中電流I(t)的減小將在線圈內(nèi)導(dǎo)致自感電動(dòng)勢，故(1)(1)式中 L L 是線圈的自感系數(shù)在計(jì)算通過線圈的磁統(tǒng)量時(shí)，以導(dǎo)線附近即ri處的 B B 為最大，而該處 B B 又 可把線圈當(dāng)成無限長載流導(dǎo)線所產(chǎn)生的，即n n0I I2n n2R R2二生2 211把式和式代入式(1)(1)，得申0吋2也 I IP V