初等矩陣和逆矩陣的求法

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10111 1初等矩陣和初等矩陣和逆矩陣的求法逆矩陣的求法一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、初等矩陣的概念二、初等矩陣的概念三、初等矩陣的應(yīng)用三、初等矩陣的應(yīng)用四、小結(jié)四、小結(jié)Page 2定義定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: ）；記記作作兩兩行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行（對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到

2、另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換Page 3定義定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類且變換類型相同型相同 同理可定義矩陣的初等列變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是所用記號(hào)是把把“r”換成換成“c”)jirr kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jikrr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或Page 4等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：；反反身身性性）

3、（A A 1A;B , B A 2則則若若對(duì)稱性對(duì)稱性）（C. AC,BB, A 3則則若若）傳傳遞遞性性（等價(jià)，記作等價(jià)，記作與與就稱矩陣就稱矩陣，矩陣矩陣經(jīng)有限次初等變換變成經(jīng)有限次初等變換變成如果矩陣如果矩陣BABABA具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)例如，兩個(gè)線性方程組同解，例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)Page 5引例引例)1(求解線性方程組求解線性方程組123412341234123422,24,46224,36979,xxxxxxxxxxxxxxxx 13422 用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組

4、：解方程組： 97963422644121121112BPage 6197963211322111241211B 21rr 23 r 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr Page 7331000620000111041211B 23252rrr 243rr 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr Page 85 00000310003011040101B 21rr 32rr 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)

5、的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxxPage 9方程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中cPage 10.54都都稱稱為為行行階階梯梯形形矩矩陣陣和和矩矩陣陣BB特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）、可劃出）、可劃出一條階梯線，線一條階梯線，線的下方全為零；的下方全為零；5 00000310003011040101B （2）、每個(gè)臺(tái)階）、每個(gè)臺(tái)階 只有一行，只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非的第一個(gè)元素為非零元，

6、即非零行的第一個(gè)非零元零元Page 11.1 5的的其其他他元元素素都都為為零零列列，且且這這些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一個(gè)個(gè)非非零零元元為為即即非非還還稱稱為為行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形矩矩陣陣，行行階階梯梯形形矩矩陣陣B.,A nm和和行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)有有限限次次初初等等行行對(duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣 注意：注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換

7、，可化成標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形Page 12 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F(xiàn) 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形稱稱為為矩矩陣陣矩矩陣陣BFPage 13.為為零零陣陣，其其余余元元素素全全的的左左上上角角是是一一個(gè)個(gè)單單位位矩矩F標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF .,的行數(shù)的行數(shù)行階梯形矩陣中非零行行階梯形矩陣中非零行就是就是三個(gè)數(shù)唯一確定，其中三個(gè)數(shù)唯一確定，其中此

8、標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由rrnm特點(diǎn)：特點(diǎn)： 所有與矩陣所有與矩陣 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形 是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣單的矩陣.AFPage 14定義定義 由單位矩陣由單位矩陣 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣陣稱為初等矩陣. .E三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣. 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛用廣泛.二、初等矩陣的概念二、初等矩陣的概念 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以

9、數(shù)數(shù)乘乘某某行行或或某某列列；以以數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行或或兩兩列列；kk. 30. 2. 1Page 15，得得初初等等方方陣陣兩兩行行，即即中中第第對(duì)對(duì)調(diào)調(diào))(,jirrjiE對(duì)調(diào)兩行或兩列對(duì)調(diào)兩行或兩列、1 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 jPage 16，得得左左乘乘階階初初等等矩矩陣陣用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第i行行第第 j).( jirrjiAA行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)行行與與第第的的第第把把：施施行行第第一一種種初初等等行行變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣Page

10、17，右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣以以類類似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列列對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列與與第第的的第第把把：施施行行第第一一種種初初等等列列變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣Page 18 02乘乘某某行行或或某某列列、以以數(shù)數(shù) k).()(0 kiEkriki矩矩陣陣，得得初初等等行行乘乘單單位位矩矩陣陣的的第第以以數(shù)數(shù) 1111)(kkiE行行第第iPage 19；行行的的第第乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù))(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE2

11、12111211)(行行第第i類類似似地地，左乘矩陣左乘矩陣以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相當(dāng)于以數(shù)相當(dāng)于以數(shù)，其結(jié)果，其結(jié)果矩陣矩陣右乘右乘以以Page 20上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以數(shù)數(shù))()(03 k ()()ijjikEjirkrkEijckc 以以乘乘的的第第行行加加到到第第行行上上或或以以乘乘的的第第 列列加加到到第第 列列上上， 1111)(kkijE行行第第i行行第第jPage 21，左左乘乘矩矩陣陣以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121

12、221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把Page 22( ( )(). njiEij kAAikjckc 類類似似地地，以以右右乘乘矩矩陣陣，其其結(jié)結(jié)果果相相當(dāng)當(dāng)于于把把的的第第 列列乘乘加加到到第第 列列上上1111112122221( ( )nijinijinmmimjmimnAEij kaaakaaaaakaaaaakaa Page 23例例1 1 以下矩陣是否初等矩陣以下矩陣是否初等矩陣?010(1)100001A 101(2)110001A001(3)010100A Page 24 定理定理1 1 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，對(duì)矩陣，對(duì)

13、施行一施行一次初等行變換，相當(dāng)于在次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì)階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于施行一次初等列變換，相當(dāng)于在在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA三、初等矩陣的應(yīng)用三、初等矩陣的應(yīng)用初等變換初等變換初等矩陣初等矩陣初等逆變換初等逆變換初等逆矩陣初等逆矩陣Page 25 ),(),(1；則則的的逆逆變變換換是是其其本本身身，變變換換jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 則則，的的逆逆變變換換為為變變換換1()( ( )( () .ijijrkrrk rE i

14、j kE ijk 變變換換的的逆逆變變換換為為，則則Page 26 定理定理2 2 設(shè)設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等方陣方陣.,2121llPPPAPPP 使使證證 , EA使使即存在有限個(gè)初等方陣即存在有限個(gè)初等方陣,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使階可逆方陣階可逆方陣及及階可逆方陣階可逆方陣存在存在的充分必要條件是的充分必要條件是矩陣矩陣推論推論,AE 經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換可可變變故故Page 27利用初等變換求逆陣的方法：利用初等變換求逆陣的方法：，有有時(shí)時(shí)，由由當(dāng)當(dāng)lPPPAA

15、21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就變變成成時(shí)時(shí)，原原來(lái)來(lái)的的變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換，矩矩陣陣即即對(duì)對(duì)Page 28010101123100010654 ,.0010017928AA 例例已已知知求求123654 ,789B 解解 設(shè)設(shè)(1,2)(1,3(1),PAPB 則則有有11(1,2)(1,3(1)APBP 即即(1,2)(1,3( 1)PBP123654789B 12rr65412378931( 1)cc

16、652122782 .A Page 29. ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解解例例3 3 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr Page 30 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 rPage 31 . 1BA 矩陣矩陣的方法，還可用于求的方法，還可用于求利用初等行變換求逆陣?yán)贸醯刃?/p>

17、變換求逆陣E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行變換初等行變換Page 32例例4 4.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解解.1BAXA 可可逆逆，則則若若 343431312252321)(BAPage 33 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr Page 34， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr Page 35

18、.1 CAY即即可可得得作作初初等等行行變變換換，也也可可改改為為對(duì)對(duì)),(TTCA , 1作作初初等等列列變變換換，則則可可對(duì)對(duì)矩矩陣陣如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列變換列變換),)( ,(),1TTTTCAECA （ 行變換行變換1TT() CTYA 即即可可得得1T() CTA .Y即可求得即可求得1,()TCA Page 36. ,1000110011102222A1, njiijAAn式之和式之和中所有元素的代數(shù)余子中所有元素的代數(shù)余子求求方陣方陣已知已知解解例例5 5, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且Page 37 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001Page 38,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()1(21 2 nnPage 39四、小結(jié)四、小結(jié)1.1.初等行初等行( (列列) )變換變換 ;1jijiccr