窄帶隨機(jī)過(guò)程

1、 窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義 解析信號(hào)與希爾伯特變換解析信號(hào)與希爾伯特變換 窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì) 窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程Z(t)Z(t)的高斯分布的高斯分布 余弦波加窄帶高斯過(guò)程余弦波加窄帶高斯過(guò)程6.1 6.1 窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義窄帶系統(tǒng)窄帶系統(tǒng)-很多無(wú)線電系統(tǒng)的通頻帶很多無(wú)線電系統(tǒng)的通頻帶 是比較窄的，是比較窄的，它們遠(yuǎn)小于其中心頻率它們遠(yuǎn)小于其中心頻率 ，這種系統(tǒng)只允許輸入信號(hào)靠近，這種系統(tǒng)只允許輸入信號(hào)靠近 附近的頻率分量通過(guò)，故稱為附近的頻率分量通過(guò)，故稱為窄帶系統(tǒng)窄帶系統(tǒng)。其滿足：。其滿足： 0 00 為高頻載波。為高頻載波。窄

2、帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程-& 若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，只分布在高頻載波若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，只分布在高頻載波0 0 附近的一個(gè)較窄的頻率范圍附近的一個(gè)較窄的頻率范圍內(nèi)，且滿足內(nèi)，且滿足0 0時(shí)，則稱該過(guò)程為時(shí)，則稱該過(guò)程為窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程。記為：。記為：Z( t )Z( t ) 。例：圖例：圖6.1為以窄帶隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)為以窄帶隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù) 0問(wèn)題問(wèn)題: 對(duì)應(yīng)于功率譜密度對(duì)應(yīng)于功率譜密度GZ ()的窄帶隨機(jī)過(guò)程的窄帶隨機(jī)過(guò)程Z(t)的表達(dá)的表達(dá) 式為何？即如何式為何？即如何 。)()(tZGz 1. 由由 可知可知: 若若Gz()占的頻帶很窄，則占

3、的頻帶很窄，則ZT()也一定占很窄的也一定占很窄的 頻帶頻帶,即其系統(tǒng)函數(shù)具有與功率轉(zhuǎn)移函數(shù)相似的形式即其系統(tǒng)函數(shù)具有與功率轉(zhuǎn)移函數(shù)相似的形式2. 由信號(hào)與線性系統(tǒng)可知：由信號(hào)與線性系統(tǒng)可知： 時(shí)域中的一個(gè)慢變化信號(hào)對(duì)一高頻時(shí)域中的一個(gè)慢變化信號(hào)對(duì)一高頻(0)信號(hào)調(diào)幅變換時(shí)信號(hào)調(diào)幅變換時(shí), 信號(hào)具有如圖所示的頻響特征。信號(hào)具有如圖所示的頻響特征。| )(|lim)(2TZEGTTz 00 )(),(cos)()(tBtttBtZ 窄帶隨機(jī)過(guò)程的時(shí)域表達(dá)窄帶隨機(jī)過(guò)程的時(shí)域表達(dá)( (一一): ):B( t )(cos)(tttB 0 Z( t )的一個(gè)樣本函數(shù)的一個(gè)樣本函數(shù) B( t )-窄帶隨機(jī)

4、過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程Z(t)的的包絡(luò)函數(shù)包絡(luò)函數(shù)-慢變化慢變化( t )-窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程Z(t)的的相位函數(shù)相位函數(shù)-慢變化慢變化，B( t ) , ( t )都是隨時(shí)間都是隨時(shí)間 t 慢變化的隨機(jī)過(guò)程。慢變化的隨機(jī)過(guò)程。表達(dá)式表達(dá)式( (二二) )： ttYttXtZ00sin)(cos)()( 其中：其中： )(sin)()()(cos)()(ttBtYttBtX )(/ )()(tan, )()()(tXtYttYtXtB22由于由于 與與 正交，正交，故稱故稱X( t )-Z( t )的同相分量的同相分量，Y( t )-Z( t )的正交分量的正交分量。引入表達(dá)式引入表達(dá)式 2

5、2 的目的是將的目的是將Z( t )Z( t )分解成兩個(gè)相互正交的分量，分解成兩個(gè)相互正交的分量，以便于分別分析。以便于分別分析。t0cos t0sin 表達(dá)式表達(dá)式 1 和表達(dá)式和表達(dá)式 2 兩者間的幾何關(guān)系：兩者間的幾何關(guān)系： 表達(dá)式表達(dá)式1： 表達(dá)式表達(dá)式2：0)(),(cos)()(0 tBtttBtZ ttYttXtZ00sin)(cos)()( 表達(dá)式表達(dá)式1： 表達(dá)式表達(dá)式2：),(cos)()(0tttBtZ 0 )(tBttYttXtZ00sin)(cos)()( )(sin)()()(cos)()(ttBtYttBtX )(/ )()(tan, )()()(tXtYttY

6、tXtB 22問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出：平穩(wěn)窄帶過(guò)程平穩(wěn)窄帶過(guò)程B( t )與與( t )X( t )和和Y( t ) 統(tǒng)計(jì)特性或功率譜密度如何統(tǒng)計(jì)特性或功率譜密度如何確定呢？確定呢？一般時(shí)域信號(hào)一般時(shí)域信號(hào) S(t)()()()(jIRdtetsStj )(S滿足共軛對(duì)稱性，即，滿足共軛對(duì)稱性，即，)()(SS奇函數(shù))()(偶函數(shù)),()(，IIRR奇函數(shù))(偶函數(shù))()()()()(arctan22)(，SeIRe)S()S(RIjfj由此可知：由此可知：時(shí)域?qū)嵭盘?hào)正、負(fù)頻域的頻譜可互求。時(shí)域?qū)嵭盘?hào)正、負(fù)頻域的頻譜可互求。 6.2 6.2 解析信號(hào)與希爾伯特變換解析信號(hào)與希爾伯特變換 1 1

7、 解析信號(hào)的引入解析信號(hào)的引入- - 僅在正頻域有值的復(fù)信號(hào)僅在正頻域有值的復(fù)信號(hào). . 從有效利用信號(hào)的角度出發(fā)，實(shí)信號(hào)負(fù)頻域部分是冗余從有效利用信號(hào)的角度出發(fā)，實(shí)信號(hào)負(fù)頻域部分是冗余余的，所以只要保留正頻域的頻譜，記為余的，所以只要保留正頻域的頻譜，記為 ，即可。，即可。 )(S)(S時(shí)域復(fù)信號(hào)。時(shí)域復(fù)信號(hào)。Fourier 變換變換問(wèn)題：如何由給定的時(shí)域?qū)嵭盘?hào)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的時(shí)域復(fù)信號(hào)問(wèn)題：如何由給定的時(shí)域?qū)嵭盘?hào)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的時(shí)域復(fù)信號(hào)?2解析信號(hào)的構(gòu)造 對(duì)給定的時(shí)域?qū)嵭盘?hào)對(duì)給定的時(shí)域?qū)嵭盘?hào)s(t)，設(shè)構(gòu)造的時(shí)域復(fù)信號(hào)為，設(shè)構(gòu)造的時(shí)域復(fù)信號(hào)為)( )()(ts jtstz 其中，其中， 為一由為一由

8、s(t)構(gòu)造的信號(hào)，其構(gòu)造方法可為，構(gòu)造的信號(hào)，其構(gòu)造方法可為，)( ts即，即，)()()()(thtjststz 變變換換F )()()( jHSZ 1H( )的設(shè)計(jì)要求：的設(shè)計(jì)要求： 1要滿足使得要滿足使得Z( )只有正頻域頻譜；只有正頻域頻譜； 2要使要使z(t)信號(hào)與信號(hào)與s(t)信號(hào)的總能量保持不變。信號(hào)的總能量保持不變。)sgn(,)( jfjfjH 00 tHFth 11 )()(。故此，故此， dtsttsts)(11)()( H s(t)，稱為稱為Hilbert變換。變換。由此可得由此可得:ttsdtstsHts1*)( )( 1)( )(1 dtstsHts)()()(

9、1Hilbert 變換與反變換: H( )或或h(t)稱為稱為Hilbert變換器。變換器。它不改變信號(hào)的幅頻特性，只改變信號(hào)的相頻特性。它不改變信號(hào)的幅頻特性，只改變信號(hào)的相頻特性。 由此方法構(gòu)造的復(fù)信號(hào)稱為實(shí)信號(hào)由此方法構(gòu)造的復(fù)信號(hào)稱為實(shí)信號(hào)s(t)的的解析信號(hào)解析信號(hào):jtstsA )()(H )(ts 0, 00),(2)(1)()(SjHSSA 全通濾波器全通濾波器90相移器相移器3Hilbert變換的性質(zhì)n 性質(zhì)性質(zhì)1. H = n 性質(zhì)性質(zhì)2 若若 ，則，則 H n 性質(zhì)性質(zhì)3 和和x(t)的能量及平均功率相等，即的能量及平均功率相等，即)( tx)(tx )()()(txtht

10、y )(ty)()()( )(txthtxth )( tx dttxdttx)()(22。 TTTTTTdttxTdttxT)(21lim)(21lim22性質(zhì)性質(zhì)4. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)和其對(duì)應(yīng)的和其對(duì)應(yīng)的Hilbert變換變換)(tX 的自相關(guān)函數(shù)滿足：的自相關(guān)函數(shù)滿足： )()(XXRR性質(zhì)性質(zhì)5. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 X(t) 的互相關(guān)函數(shù)滿足：的互相關(guān)函數(shù)滿足： )(tX ),()(),()(XXXXXXRRRR)()(00XXRR 變換后平均功率不變變換后平均功率不變)()();()(XXXXXXXXRRRR又又000 )()(XXXXRRX(t) 在同一時(shí)刻正

11、交在同一時(shí)刻正交)(tX為奇函數(shù)為奇函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)6. 設(shè)具有有限帶寬設(shè)具有有限帶寬 的信號(hào)的信號(hào) a(t)的傅氏變換的傅氏變換 A( ) , 假定假定 ， 則有則有 0tta0cos)( tta0sin)( tta0sin)( tta0cos)( H H 即即: : 幅度調(diào)制信號(hào)幅度調(diào)制信號(hào)( (窄帶過(guò)程窄帶過(guò)程), ), 僅對(duì)載波進(jìn)行僅對(duì)載波進(jìn)行Hilbert Hilbert 變換變換. .)(cos)()(ttBtX)()(sin)()(tXttBtY6.3 窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)的功率譜密度的功率譜密度 或統(tǒng)計(jì)特性或統(tǒng)計(jì)特性 )( ZG)( ZRttYttXtZ00sin)(cos)()(

12、 設(shè)設(shè): 若若Z(t)是任意的窄帶、寬平穩(wěn)、實(shí)隨機(jī)過(guò)程，是任意的窄帶、寬平穩(wěn)、實(shí)隨機(jī)過(guò)程，零均零均 且功率譜密度滿足：且功率譜密度滿足： 其他,)(0000 ZG 0)(),(tYtX問(wèn)題：若已知問(wèn)題：若已知如何確定如何確定 0 0 則則X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 X(t)和和Y(t)各自寬平穩(wěn)且聯(lián)合寬平穩(wěn)。各自寬平穩(wěn)且聯(lián)合寬平穩(wěn)。性質(zhì)性質(zhì)2 0)()( tYEtXE性質(zhì)性質(zhì)3 )()()(222tZEtYEtXE 性質(zhì)性質(zhì)4 00)cos()(1)( dGRZX性質(zhì)性質(zhì)5 )()( YXRR 性質(zhì)性質(zhì)6 00)sin()(1)( dGRZXY

13、性質(zhì)性質(zhì)7 )()(),()( YXYXYXXYRRRR性質(zhì)性質(zhì)8 0)0(, 0)()()0( XYYXRtYtXER性質(zhì)性質(zhì)9 )()()(00 ZZpXGGLG性質(zhì)性質(zhì)10 )()( YXGG 性質(zhì)性質(zhì)11 )()()(00 ZZpYXGGjLG性質(zhì)性質(zhì)12 ),()( YXXYGG 其中，其中，Lp為求等效低通運(yùn)算。即，令為求等效低通運(yùn)算。即，令0=0 窄帶隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)的證明，窄帶隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)的證明，p.165168。 窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)的證明與討論：窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)的證明與討論：1. 均值均值 ( (性質(zhì)性質(zhì)2)2)ttYEttXEtZE00sin)(cos)()( 由由0)( t

14、ZE的條件，可知：的條件，可知：0)()( tYEtXE2.相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù))(sin)()(cos)(sin)(cos)(),(0000 ttYttXttYttXEttRZ )(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(00000000 ttttRttttRttttRttttRYYXXYX由由Z(t)的平穩(wěn)性：的平穩(wěn)性： 可知，可知，Z(t)的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)該與時(shí)間的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)該與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)，而僅與無(wú)關(guān)，而僅與 有有關(guān)。關(guān)。 即即 t 可為任何值，而不影響可為任何值，而不影響 。故，故，),( ttRZ( 1 ) 令令 t=0，可得：，可得：)1

15、(sin)(cos)()(00 XYXZRRR （2） 令令 t=/20，可得：，可得： )2(sin)(cos)()(00 YXYZRRR 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. 若若Z(t)Z(t)是寬平穩(wěn)的是寬平穩(wěn)的, , 則則X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)也是寬平穩(wěn)的。也是寬平穩(wěn)的。)(),( ZZRttR v 、 以及以及 、 的性質(zhì)：的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)5.5. 窄帶隨機(jī)過(guò)程的同相和正交分量的自相關(guān)函數(shù)相等窄帶隨機(jī)過(guò)程的同相和正交分量的自相關(guān)函數(shù)相等。 由上述關(guān)系式（由上述關(guān)系式（2）-（1），可得），可得) 3(0sin)()(cos)()(00 XYYXXYRRRR)()( YXRR 性質(zhì)性質(zhì)7

16、.7. 同相和正交分量的互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)。同相和正交分量的互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)。 由式（由式（3）同理可得：）同理可得：)()( YXXYRR 由互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：由互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：)()( YXXYRR)()( XYXYRR)( YR)( XR)( XYR)( YXR性質(zhì)性質(zhì)8. 8. 同時(shí)刻的同時(shí)刻的X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交正交 同時(shí)刻同時(shí)刻互不相關(guān)?；ゲ幌嚓P(guān)。)( XYR和和)( YXR為奇函數(shù)為奇函數(shù)0)0()0( YXXYRR 性質(zhì)性質(zhì)8 8. . 零均窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程零均窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Z(t)Z(t)、X(t)X(t)、Y(t)Y(t)的的平均功率及方差相同平均功率

17、及方差相同。0 ) 0() 0() 0(YXZRRR 前面假設(shè)前面假設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值為零窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值為零，222YXZ 即即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同的平均功率相同令令ttZttZtYttZttZtXttYttXtZttYttXtZ00000000sin)(cos)()(sin)(cos)()(cos)(sin)()(sin)(cos)()(性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4 4證明證明: : 00000000000000sin)(cos)()(sincos)()(cossin)()(sinsin)()(coscos)()(sin)()(cos)(sin)(cos)()

18、(ZZZZZZZZXRRttRttRttRttRttZttZttZttZER0)()(0)()(000000)(41)(41sin)(21sin)(deeGdeeGdeGRjjZjjZjZZdeGdeGdeGRjZjZjZZ)()(0000)(41)(41cos)(21cos)(dGRZX)cos()(1cos)(00例例6.6 6.6 對(duì)于窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程對(duì)于窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程ttYttXtZ00sin)(cos)()(。若其均值為零，功率譜密度為。若其均值為零，功率譜密度為 其它, 02,cos2,cos)(0000WWGz其中W, ，0都是正實(shí)常數(shù)。試求: Z(t)的平均功率； X(t)的

19、功率譜密度； X(t),Y(t)的互相關(guān)函數(shù)；1. X(t),Y(t)是否正交？)(ZG00020202020W2202202cos2cos2)(21)0() 1 (00WdWdWdGRZZ解解:2|, 02|,cos22cos/)(112)(22WdeWGjX , 其中 2cos/)(112)(cos)(cos2)cos(cos1)cos(1)(4()2(2222220020200000000WdWdWdGRZX）法一，由性質(zhì)2|,02|,cos2)()(Lp)(8()2(0Z0ZWGGGX）法二，由性質(zhì),0coscos)()(jLp)(11)(0)sin(1)(6)( 30000WWjGG

20、GdGRZZXYZXY由由性性質(zhì)質(zhì)法法二二，由由性性質(zhì)質(zhì)法法一一，）（0)()4(XYR 和所以所以 X(t),Y(t)X(t),Y(t)處處正交處處正交 低通特性對(duì)稱的窄帶過(guò)程低通特性對(duì)稱的窄帶過(guò)程, , X(t),Y(t)X(t),Y(t)處處正交處處正交. . 一般情況只滿足一般情況只滿足 同時(shí)刻正交同時(shí)刻正交 。 6.4 6.4 窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程Z(t)Z(t)的概率分布的概率分布1. 1. 同相分量同相分量X(t)/X(t)/正交分量正交分量Y(t)Y(t)的概率分布的概率分布由由ttYttXtZ00sin)(cos)()(，可得：，可得： )()(2)()(0220

21、2111tYtZ，ttXtZ，t時(shí)時(shí)時(shí)時(shí) Z(t)為高斯為高斯 X(t1)和和Y(t2)也是高斯隨機(jī)變量。也是高斯隨機(jī)變量。 高斯過(guò)程若是寬平穩(wěn)的，則一定是嚴(yán)平穩(wěn)的，高斯過(guò)程若是寬平穩(wěn)的，則一定是嚴(yán)平穩(wěn)的，而嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)而嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān), )()()(11tXptXptZp ， t 的任意性。的任意性。 )()()(22tYptYptZp ， t 的任意性。的任意性。 222)(exp21)()()(ZZtZtYptXptZp 故，故，其中，其中， 可替換為可替換為 或或 。)(tZ)(tY)(tX結(jié)論結(jié)論: 零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程零

22、均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程Z(t)，其同相分量，其同相分量X(t)和正交分量和正交分量Y(t)(1) 同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，且具有一般平穩(wěn)過(guò)程的性質(zhì)。同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，且具有一般平穩(wěn)過(guò)程的性質(zhì)。 22222exp21),(ZttZttYXYXp 。 )()(),(ttttYpXpYXp 同時(shí)刻的同時(shí)刻的X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。mx=my=0同時(shí)刻的同時(shí)刻的X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)不相關(guān)不相關(guān)高斯過(guò)程高斯過(guò)程0) 0() 0( YXXYRR(2) 由由 同時(shí)刻的同時(shí)刻的X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交正交設(shè)設(shè)B(t)和和(t)的二維概率密度

23、函數(shù)為：的二維概率密度函數(shù)為：ttttttttBBYBBXsin),(cos),(則，則，JYXpBYXYXpBptttttttttt),(),(),(),(),(tttttttttttttttttttBBBBYBXBBYBBXJcossinsincos),(),(),(),(2 2Z(t)Z(t)的包絡(luò)的包絡(luò)B(t)B(t)和相位和相位(t)(t)的概率分布的概率分布0)(),(cos)()(0 tBtttBtZ 若若Z(t)為零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，則為零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，則 由邊緣分布可得由邊緣分布可得 均勻分布瑞利分布,)exp(exp),()(,expexp),()( 202

24、1212202220022222220222ttZtZttttttZtZttZtZtttttdyydBBBdBBppBBBdBBdBpBp 22222ZtZtttBBBp exp),( 20, 0 ttB。B(t)和和(t)的二維概率密度函數(shù)為的二維概率密度函數(shù)為:結(jié)論結(jié)論: 零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程：零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程：0)(),(cos)()(0 tBtttBtZ 其包絡(luò)其包絡(luò)B(t)B(t)服從瑞利分布，服從瑞利分布，相位相位(t)(t)服從均勻分布。服從均勻分布。B(t)B(t)與與(t)(t)在同一時(shí)刻在同一時(shí)刻t t是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。)()(),(ttttpBpBp

25、 另外另外: 有窄帶過(guò)程，則必存在非窄帶過(guò)程。因此，相對(duì)有窄帶過(guò)程，則必存在非窄帶過(guò)程。因此，相對(duì)于窄帶過(guò)程我們可以給非窄帶過(guò)程下一個(gè)粗略的定義，即：于窄帶過(guò)程我們可以給非窄帶過(guò)程下一個(gè)粗略的定義，即：功率譜分布的頻率范圍可與其所在的中心頻率比擬的（或功率譜分布的頻率范圍可與其所在的中心頻率比擬的（或不滿足不滿足ffffo o條件的）隨機(jī)過(guò)程，稱為條件的）隨機(jī)過(guò)程，稱為非窄帶過(guò)程非窄帶過(guò)程。例例2：求求窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)平方的概率分布。包絡(luò)平方的概率分布。設(shè)包絡(luò)的平方為：設(shè)包絡(luò)的平方為：2ttBu ， 0, ttBu已知：已知：0,2exp)(222 tZtZttBBBBp

26、。求。求)(tup。tttttududBJuB21, 0,2exp2121)()()(22 tttttttuuuuBpJBpup 解：解：6.5 6.5 余弦波加窄帶高斯過(guò)程余弦波加窄帶高斯過(guò)程模擬通信系統(tǒng)接收機(jī)前端模型模擬通信系統(tǒng)接收機(jī)前端模型:)( H 0 0 0加性噪聲加性噪聲: :平穩(wěn)窄帶零平穩(wěn)窄帶零均高斯過(guò)程均高斯過(guò)程加白噪聲加白噪聲其中：其中：)cos()(0tats 是是0，2上均勻分布的隨機(jī)變量。上均勻分布的隨機(jī)變量。S(t)為隨相余弦信號(hào)為隨相余弦信號(hào)；ttYttXtttBtZNNN000sin)(cos)()(cos)()( 22)(, 0)( tZDtZE。研究余弦信號(hào)加

27、窄帶高斯過(guò)程的重要性。研究余弦信號(hào)加窄帶高斯過(guò)程的重要性。且且:加性噪聲加性噪聲-平穩(wěn)窄帶零均高斯過(guò)程平穩(wěn)窄帶零均高斯過(guò)程設(shè)合成信號(hào)：設(shè)合成信號(hào)：)4(sin)(sincos)(cossin)(cos)()cos()()()(00000ttYattXattYttXtatZtStRNNNN令：令： )(sin)(),(cos)(tYatYtXatXNN )(cos)(sin)(cos)()(000tttBttYttXtR 其中：其中： )()()()()()(22tXtYarctgttYtXtB 。問(wèn)題：余弦信號(hào)加窄帶高斯過(guò)程之和問(wèn)題：余弦信號(hào)加窄帶高斯過(guò)程之和R(t)R(t)的包絡(luò)函數(shù)的包絡(luò)函

28、數(shù)B(t)B(t)和相位函數(shù)和相位函數(shù)(t)(t)的統(tǒng)計(jì)特征如何？的統(tǒng)計(jì)特征如何？包絡(luò)函數(shù)包絡(luò)函數(shù)B(t)的統(tǒng)計(jì)特征的統(tǒng)計(jì)特征 若若給定（即給定（即為一確定值），則為一確定值），則,cos)(cos)( atXaEtXEN sin)(atYE 2222)()()()()( tZEtXEtXEtXEtXDNN同理同理: 222)()()( tZEtYEtYDNN 在給定在給定的的條件下，條件下，X(t)和和Y(t)為高斯分布為高斯分布, 在任意時(shí)刻在任意時(shí)刻t，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量Xt和和Yt的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：的聯(lián)合概率密度函數(shù)為： )sin()cos(21exp21)/,(2222 aYaX

29、YXpttZtt利用上式可得利用上式可得 ttttttBYBX sincos由此可求出由此可求出的表達(dá)式如下：的表達(dá)式如下：)/,( ttBp tttttttttttttttBYXpYXBYBXYXpBp )/,()/,()/,( )cos(221exp22222ttttaBaBB tttttttttdaBaBBdBpBp 202222220)cos(exp21exp2)/,()/( 0,21exp202222 ttttBaBIaBB 包絡(luò)的條件概率：包絡(luò)的條件概率：上式與上式與 無(wú)關(guān)，故可得：無(wú)關(guān)，故可得： 0,21exp)(202222 tttttBaBIaBBBp 上式稱為：上式稱為：廣義瑞利分布或萊斯密度函數(shù)廣義瑞利分布或萊斯密度函數(shù)。 若若a=0，則退化為瑞利分布，則退化為瑞利分布。其中，其中， ttdxxI 200cosexp21是是零階修正貝塞爾函數(shù)零階修正貝塞爾函數(shù)。其級(jí)數(shù)形式為。其級(jí)數(shù)形式為 02220) !(2)(nnnnxxI。很小很小,或噪聲平均功率或噪聲平均功率 很大很大 當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，有有xexIx20)(即信噪比很大時(shí)即信噪比很大時(shí):0212222ttttBaBaBBp,exp)( 在慢變化系數(shù)因子中在慢變化系數(shù)因子中,用用a 取代取代