人教版高一數(shù)學(xué)必修一集錦

1、.專業(yè)資料圓你夢(mèng)想1設(shè)集合A=x|-1<x<2,B=x|4px+1<0,試判斷A.B之間能否存在某種包含關(guān)系？若存在，找出P的取值范圍，并指明對(duì)應(yīng)的包含關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解：當(dāng)p=0時(shí)，B為空集，則 A包含B；當(dāng)p>0時(shí)，B=x|x<-1/(4p),-1/(4p)為負(fù)數(shù),則A、B可能有交集，但不會(huì)有包含關(guān)系；當(dāng)p<0時(shí)，B=x|x>-1/(4p),-1/(4p)為正數(shù)，則A、B可能有交集，但不會(huì)有包含關(guān)系。 2若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?，1），則y=f(x2)的定義域?yàn)開(kāi). 解： 0x21x可以為正數(shù)或負(fù)數(shù)，得（-1，0）（0，1）錯(cuò)

2、解：（-1，1）3求函數(shù)y=(x2)/(x2+1)(xR)的值域。解：y=x2/(x2+1)=(x2+1-1)/(x2+1)=1-1/(x2+1),由于0<1/(x2+1)1，則1-1/(x2+1)0，1）。4函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2)=1/f(x).若f(1)=-5,則ff(5)=（ ）解法一：f(5)=f(3+2)=1/f(3)=1/f(1+2)=1/1/f(1)=f(1)=-5f(x+2)=1/f(x) f(x)=1/f(x+2) f(-5) =1/f(-5+2) =1/f(-3) =1/1/f(-3+2) =f(-1) =1/f(-1+2) =1/f(1) =

3、-1/5ff(5)=-1/5 解法二（更巧妙）：f(x+4)=f(x+2+2)=1/f(x+2)=1/1/f(x)=f(x)所以4是一個(gè)周期f(5)=f(1)=-5因?yàn)閒(3)=-1/5f(5)=f(3+2)=1/f(3)=-5f(-5)=f(3-2*4)=f(3)=-1/5而ff(5)=f(-5)=-1/55若函數(shù)f(x)在(-2,3)上是增函數(shù),則y=f(x+5)的遞增區(qū)間是_。解：函數(shù)y=f(x+5)的圖象是由函數(shù)y=f(x)向左平移5個(gè)單位得到，所以單調(diào)區(qū)間也要向左平移五個(gè)單位，所以現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間為(-7,-2)6函數(shù)y=2-x2+4x的值域 解：x的取值范圍為0x4設(shè)t=-x2+4x

4、值域?yàn)?,2所以y=2-t 的值域?yàn)?,2 7已知f(x)=1(x0）, -1（x<0),則不等式x+(x+2)*f(x+2)5的解集是_. 解：x+(x+2)*f(x+2)51.當(dāng)x-2時(shí) x+20 f(x+2)=1x+(x+2)5 -2x3/22當(dāng) x<-2 時(shí) x-(x+2)5 -25 x<-2 綜上所述：x3/2 錯(cuò)解：x<-2或-2x3/28若0<t1/4,那么1/t -t的最小值是_.解：1/t-t在正數(shù)區(qū)間上明顯是減函數(shù),所以最小值是4-1/4=15/4 9已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)=0的所有實(shí)根之和是_.解

5、：偶函數(shù)的圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱的，所以四個(gè)交點(diǎn)中的兩個(gè)一定分布在y軸兩側(cè)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)兩兩對(duì)應(yīng)絕對(duì)值相等，互為相反數(shù)。 方程f(x)的實(shí)根即為圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即零點(diǎn).所以方程所有實(shí)根之和為0。10設(shè)f（x）是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是A.f(x)f(-x)是奇函數(shù)（應(yīng)為偶函數(shù)）B.f(x)/f(-x)/是奇函數(shù)C.f(x)-f(-x)是偶函數(shù)D.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)（應(yīng)為奇函數(shù)）解：選D用-x代替x帶入式子中，則D選項(xiàng)為f（-x）+f（x），即F（x）=F（-x），即為偶函數(shù) ，其它同理。11函數(shù)f(x)=1/1-x(1-x)的最大值-_.解：先算分母1-x(1-x)=

6、X2-X+1=(X-1/2)2+3/4上式的最小值為3/4所以f(x)=1/1-x(1-x)的最大值為4/3。12設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x-2|-1(x屬于R) 1.判斷函數(shù)f(x)的奇偶性 2.求函數(shù)f(x)的最小值(1)f(-x)=（-x)2+|-x-2|-1=x2+|x+2|-1f(x)， 且 f(-x)-f(x)， f(x)是非奇非偶函數(shù)。（給出一個(gè)函數(shù)不一定就是奇函數(shù)或偶函數(shù)）(2)x2時(shí)，f(x)=x2+x-3，f'(x)=2x+1 令f'(x)=0，則x=-1/2<2， x2時(shí)f'(x)>0， f(x)min=f(2)=3； x<2時(shí)，

7、f(x)=x2-x+1，f'(x)=2x-1 令f'(x)=0，則x=1/2， 1/2<x<2時(shí)f'(x)>0， x<0.5時(shí)f'(x)<0f(x)min=f(1/2)=3/4 綜上:f(x)min=f(1/2)=3/4 13見(jiàn)圖，哪些是映射？（1）、（4）.映射的定義：在集合A中的每一個(gè)（故（2）不是映射）元素x，在集合B中都有相應(yīng)的元素y與之對(duì)應(yīng)，集合B就中的這個(gè)元素y叫做集合A中元素x的映射。（可以一對(duì)一，也可以多對(duì)一，但一定要每一個(gè)） 14使函數(shù)f(x)=x|x+a|+b滿足f(-x)=-f(x)的條件是A.ab=0 B.a

8、+b=0 C.a=b D.a2+b2=0 解：f(x)=x|x+a|+b滿足f(-x)=-f(x)，則f(x)為奇函數(shù) 因此，a=0,b=0在幾個(gè)選項(xiàng)中，只有D.a2+b2=0，與a=0,b=0等價(jià)(兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加為0，則它們都為0)所以，選D15已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在0,+)上為增函數(shù)。 (1)求證：y=f(x)在（-，0上是增函數(shù)。（2）如果f(1/2)=1,解不等式-1<f(2x+1)0(1)解：設(shè)0<x3<x4, f(x)在0,+)上為增函數(shù),所以f(x3)<f(x4).-x4<-x3<0, 已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

9、f(-x4)=-f(x4) f(-x3)=-f(x3) f(x3)<f(x4)，-f(x4)<-f(x3), f(-x4)<f(-x3) y=f(x)在（-，0上是增函數(shù)（2）解：f(1/2)=1, f(-1/2)=-1, f(-1/2)<f(2x+1)f(0) ,y=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，-1/2<2x+10 -3/4<x<-1/216設(shè)函數(shù)y=f（x）（xR）為奇函數(shù)，f（1）=1/2，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（5）的值為_(kāi). 解：y=f（x)為奇函數(shù),f（1）=1/2, f（-1）=-1/2f（x+2）=f（x）+f（2），

10、 f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)f（2）=1， f(5)=f(2)+f(3)=f(2)+f(2)+f(1)=5/217已知f（x）定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，bR都滿足f(ab)=af(b)+bf(a)（1）求f（0），f（1）的值 （2） 判斷f（x）的奇偶性 解：關(guān)鍵是靠0，-1，1這幾個(gè)數(shù)來(lái)做（1）令a=1b=1.由f（ab）=af（b）+bf（a） f（1）=f（1）+f（1） 即 f（1）=0 令a=b=0.由f（ab）=af（b）+bf（a） f（0）=0 （2）令a=-1b=-1.由f（ab）=af（b）+bf（a） 得f（1）=-f（-1）-f（

11、-1） -2f(-1)=0即得 f（-1）=0 令a=-1，b=x，則由 f（-x）=-f（x）+xf（-1） 即 f（-x）=-f（x） 即f（x）為奇函數(shù)18若a>1,b>0,且ab+a-b=22,則ab-a-b的值等于_ 解： (ab+a-b)2=8a2b+a(-2b)+2=8a2b+a(-2b)-2=4(ab-a-b)2=4ab-a-b=±2因?yàn)閍>1,b>0,所以，ab>a-b所以，ab-a-b=219求函數(shù)y=x+x-1的值域解： x0，x1 x1,x=1時(shí)y有最小值。y為增函數(shù)，所以值域?yàn)?,+)20函數(shù)y=4-|x|的定義域是_,值域是_

12、在_上是增函數(shù),在_上是減函數(shù)。 解法：此函數(shù)為（見(jiàn)上圖）偶函數(shù)。先做y=(1/4)x的圖像，再關(guān)于y軸對(duì)稱即可。答案：R,(0,1,(-00,0),(0,+00)21 f(10x)=x,則f(3)等于_.令10x=3,則x=lg3,所以f(3)=lg322"任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式"是對(duì)的還是錯(cuò)的?為什么?不對(duì).0的0次方無(wú)意義,舉例：（-1）2不能化成對(duì)數(shù)式 .23某工廠去年12月份的產(chǎn)值是去年一月份產(chǎn)值的m倍，則該廠去年產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為_(kāi).解：設(shè)月平均增長(zhǎng)率為p24設(shè)a,b,c均為不等于1的正數(shù), x,y,z都是有理數(shù), 且ax=by=cz, 1/x+1/y

13、+1/z=0, 求abc的值 .解 設(shè)ax=by=cz=k得loga k =x logb k =y logc k =z1/x=1/loga k=logk a 同理 1/y=logk b ， 1/z=logk c 1/x+1/y+1/z=0 logk a+logk b+logk c=0logk abc=0 abc=125若定義在區(qū)間（-1，0）上的函數(shù)f(x)=log2a(x+1)滿足f（x）>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 解：因?yàn)閤(-1,0) 所以（x+1）（0，1) 因?yàn)閒(x)>0 且真數(shù)為真分?jǐn)?shù) 所以 0<2a<1 所以 0<a<1/226已知函數(shù)f(

14、x)=-2x1/2,求f(x)的定義域_【0，+_）_- 27函數(shù)f(x)=x2-bx+c對(duì)一切xR都有f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,試比較f(b1/2)與f(c1/2)的大小。 解：f(1+x)=f(1-x)(1+x)2-b(1+x)+c=(1-x)2-b(1-x)+c2x-bx=-2x+bx 2bx=4x b=2f(x)=x2-2x+cf(0)=3 x=0,f(x)=3 代入 c=3f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2對(duì)稱軸為x=1 當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。1<2(1/2)<3(1/2) f(b1/2)<f(c1/2)28若方程2ax2-x-1=0在（

15、0，1）內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解：a=0時(shí) -x-1=0 x=-1不符合題設(shè)a0時(shí)滿足f(0)*f(1)<0即可-1*(2a-2)<02a-2>0a>1 29求函數(shù)f(x)=2x3-3x2-5x+3的零點(diǎn) 解： f(x)=2x3-3x2-5x+3=2x3-x2-2x2-5x+3=(2x-1)x2-(2x2+5x-3)=(2x-1)x2-(2x-1)(x+3)=(2x-1)(x2-x-3)=0因此2x-1=0或x2-x-3=0解得x1=1,x2=(1+13)/2,x3=(1-13)/230 a=1.21/2,b=0.9-1/2,c=1.11/2的大小關(guān)系是_

16、 解：1.2>1/0.9>1.1 1.2(1/2)>0.9(-1/2)>1.2(1/2) a>b>c 31某動(dòng)物繁殖數(shù)量y（只）與時(shí)間x（年）的關(guān)系為y=alg(x+1)/lg2，設(shè)這種動(dòng)物第一年有100只，到第7年他們發(fā)展到多少只？解：第一年時(shí)，y=alog2（1+1）=alog（2 ）2=100 a=100即y=100log(2)(x+1)所以第7年，有x=7，得y=300 y=100log2（7+1）=100log2 23=100*3=300即第七年他們發(fā)展到300只。32在制造純凈水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可減少水中雜質(zhì)20%若減少到原來(lái)的5%以下.

17、則至少需要過(guò)濾幾次？(lg2=0.301,lg3=0.4771) 解：過(guò)濾x次以后，水中的雜質(zhì)為：(1-0.2)x根據(jù)要求： (1-0.2)x=0.05則x=lg(0.05)/lg(0.8)=(lg0.01+lg5)/(lg8+lg0.1)= (-2)+(lg10-lg2)/ 3lg2+(-1) =(-2)+(1-0.3010)/3*0.3010+(-1) 13.4即至少要過(guò)濾14次才能減少到原來(lái)的5以下33某種電熱器的水箱盛水是200升，加熱到一定溫度即可浴用.浴用時(shí)，已知每分鐘放水34升，在放水的同時(shí)按10.9毫升/ 秒2的勻加速度作自動(dòng)注水（即t分鐘自動(dòng)注水2t2升），當(dāng)水箱內(nèi)的水量達(dá)到

18、最小值時(shí)，放水自動(dòng)停止.現(xiàn)假定每人洗浴用水量為65升，則該熱器一次至多可供（ ）A3人洗浴B4人洗浴C5人洗浴D6人洗浴解：水箱在t分鐘后的水量的最小值是55.5升，水箱從200升水降到這個(gè)值用了17/2分鐘，放水34×17/2 = 289升.由289/65 = 4知，一次放水可供4人洗浴。故答案選B.34隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行,各單位要減員增效,有一愛(ài)公司現(xiàn)有職員2a人(140<2a<420,且a為偶數(shù)),每人每年可創(chuàng)利b萬(wàn)元.據(jù)評(píng)估,在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下,每裁員1人,則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01b萬(wàn)元,但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬(wàn)元的生活費(fèi),并且該公

19、司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的3/4,為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益,該公司應(yīng)裁員多少人?答案:當(dāng)70<a140,應(yīng)裁員(a-70)人;當(dāng)140<a<210時(shí),應(yīng)裁員a/2人 設(shè)減員x人，還剩2a-x則每人每年多創(chuàng)利0.01b*x,達(dá)到b+0.01bx元所以創(chuàng)利(2a-x)(b+0.01bx),支付生活費(fèi)0.04bx所以利潤(rùn)(2a-x)(b+0.01bx)-0.04bx=-0.01bx2+b(0.02a-1.04)x+2ab求最大值，b是常數(shù)，對(duì)結(jié)果沒(méi)影響，約去y=-0.01x2+(0.02a-1.04)x+2a=-0.01x-(a+52)2+0.01(a+52)2+2a最少要3

20、/4，所以最多裁員2a*1/4=a/2所以0<=x<=a/2140<2a<42035<a/2<105所以0<=x<=105140<2a<42070<a<210122<a+52<262所以x<a+52所以y開(kāi)口向下，定義域在對(duì)稱軸左邊，增函數(shù)所以x最大則y最大，所以裁員a/2人35一家庭（父親、母親、孩子們）去某地旅游。甲旅行社說(shuō)：“如果父親買全票一張，其余人可享受半票優(yōu)惠。”乙旅行社說(shuō)：“家庭旅游算集體票，按原價(jià)的2/3優(yōu)惠。”這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的。試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別建立表達(dá)式，計(jì)算兩家旅

21、行社的收費(fèi)，并討論哪家旅行社更優(yōu)惠。 解：設(shè)票價(jià)為a元 孩子數(shù)為x個(gè)。甲 a+(1+x)a/2乙 （2/3）*a(2+x)求差法：a+(1+x)a/2-2a(2+x)/3=a(1-x)/6a(1-x)/6>0 x<1 x=0時(shí) 甲旅行社報(bào)價(jià)高于乙旅行社a(1-x)/6=0 x=1 x=1時(shí) 甲乙旅行社報(bào)價(jià)相同a(1-x)/6<0 x>1 x=2,3.時(shí) 甲旅行社報(bào)價(jià)低于乙旅行社 36證明方程6-3x=2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出這個(gè)實(shí)數(shù)解的近似值解： 設(shè)f(x)=2x+3x-6f(1)=2+3-6<0f (2)=4+6-6>0所以f(x)在1,

22、2上有一零點(diǎn).又因?yàn)閥=6x-3與y=2x在R上都是單調(diào)遞增函數(shù).所以f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).即方程6-3x=2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解.f(1.5)=21.5+4.5-6>0,區(qū)間1,1.5f(1.25)=21.25+3.75-6>0,區(qū)間1,1.25f(1.125)<0, 區(qū)間1.125,1.25近似解是x=1.12537若函數(shù)f=x3,則函數(shù)y=(-x),在其定義域上是單調(diào)遞減的什么函數(shù)? 解：f（x）=x3y=f（-x）=（-x）3=-x3，其定義域?yàn)镽函數(shù)y=-x3在R上是減函數(shù)，且是奇函數(shù)。證明如下。設(shè)y=g（x）=-x3任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2，且x

23、1x2 g（x1）-g（x2）=x23-x13=（x2-x1）（x22+x2 ·x1+x12）=（x2-x1）（x2+x1/2）2+（3x12）/4x1x2 x2-x10x1x2 （x2+x1/2）2+（3x12）/40 （x2-x1）（x2+x1/2）2+（3x12）/40即 g（x1）-g（x2）0 g（x1）g（x2） 而x1x2y=g（x）=-x3在R上是減函數(shù) 任取實(shí)數(shù)x，都有 g（-x）=-（-x）3= x3=-g（x）y=g（x）=-x3是奇函數(shù) 綜上，函數(shù)y=g（x）=-x3在R上是減函數(shù)，且是奇函數(shù)38若F(X)在（-00，0）U（0，+00）上為奇函數(shù)，且在（0，+00）上為增函數(shù)，F(xiàn)(-2)=0，f（-2）0。則不等式x*f（x)小于0的解集為_(kāi)解：F(X)在（-00，0）U（0，+00）上為奇函數(shù)且在（0，+00）上為增函數(shù)可以得出F(X)在（-00，0）U（0，+00）上均為增函數(shù)F(-2)=0，故x*f（x)在當(dāng)x=-2時(shí)等于0當(dāng)x小于-2時(shí)，f（x)因?yàn)槭窃龊瘮?shù)， 故f（x)小于0 負(fù)負(fù)得正 所以x*f（x)大于0當(dāng)x在（-2，0）時(shí)，f（x)因?yàn)槭窃龊瘮?shù)， 故f（x)大于0 負(fù)正得負(fù) 所以x*f（x)小于0當(dāng)x在（0，00）時(shí)，f（x)因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，故f（x)大于0 正正