第11章梁的彎曲應(yīng)力

1、精品第 11 章 梁的彎曲應(yīng)力教學(xué)提示：梁純彎曲和橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力；梁橫力彎曲時橫截面上的切應(yīng)力；提高彎曲強(qiáng)度的若干措施、薄壁桿件的切應(yīng)力流和彎曲中心。教學(xué)要求：掌握梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力計算公式的推導(dǎo)過程，理解橫力彎曲正應(yīng)力計算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。掌握中性層、中性軸和翹曲等基本概念和含義。熟練掌握彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計算。了解什么情況下需要對梁的彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。從彎曲強(qiáng)度條件出發(fā)，掌握提高彎曲強(qiáng)度的若干措施。在外荷載作用下， 梁截面上一般都有彎矩和剪力，相應(yīng)地在梁的橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 彎矩是垂直于橫截面的分布內(nèi)力的合力偶矩；而剪力是

2、切于橫截面的分布內(nèi)力的合力。本章研究正應(yīng)力和剪應(yīng)力的分布規(guī)律，從而對平面彎曲梁的強(qiáng)度進(jìn)行計算。11.1 梁的彎曲正應(yīng)力平面彎曲情況下，一般梁橫截面上既有彎矩又有剪力，如圖 11.1 所示梁的 AC 、DB 段。而在 CD 段內(nèi)，梁橫截面上剪力等于零，而只有彎矩，這種情況稱為純彎曲。下面推導(dǎo)梁純彎曲時橫截面上的正應(yīng)-可編輯 -精品力公式。應(yīng)綜合考慮變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系等三個方面。11.1.1彎曲正應(yīng)力一般公式1、變形幾何關(guān)系為研究梁彎曲時的變形規(guī)律，可通過試驗， 觀察彎曲變形的現(xiàn)象。 取一具有對稱截面的矩形截面梁，在其中段的側(cè)面上，畫兩條垂直于梁軸線的橫線mm和 nn ，再在兩橫線

3、間靠近上、下邊緣處畫兩條縱線 ab 和 cd ，如圖 11.2(a) 所示。然后按圖11.1(a) 所示施加荷載，使梁的中段處于純彎曲狀態(tài)。從試驗中可以觀察到圖11 .2(b) 情況：（1）梁表面的橫線仍為直線， 仍與縱線正交，只是橫線間作相對轉(zhuǎn)動。（2）縱線變?yōu)榍€， 而且靠近梁頂面的縱線縮短，靠近梁底面的縱線伸長。（3）在縱線伸長區(qū)，梁的寬度減小，而在縱線縮短區(qū)，梁的寬度則增加，情況與軸向拉、壓時的變形相似。根據(jù)上述現(xiàn)象，對梁內(nèi)變形與受力作如下假設(shè)： 變形后，橫截面仍保持平面，且仍與縱線正交； 同時，梁內(nèi)各縱向纖維僅承受軸向拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。前者稱為彎曲平面假設(shè) ；后者稱為 單向受力假設(shè) 。

4、根據(jù)平面假設(shè)， 橫截面上各點(diǎn)處均無剪切變形，因此，純彎時梁的橫截面上不存在剪應(yīng)力。根據(jù)平面假設(shè)，梁彎曲時部分纖維伸長， 部分纖維縮短，由伸長區(qū)到縮短區(qū)，-可編輯 -精品其間必存在一長度不變的過渡層，稱為中性層，如圖11.2(c) 所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。 對于具有對稱截面的梁， 在平面彎曲的情況下， 由于荷載及梁的變形都對稱于縱向?qū)ΨQ面，因而中性軸必與截面的對稱軸垂直。綜上所述，純彎曲時梁的所有橫截面保持平面，仍與變彎后的梁軸正交， 并繞中性軸作相對轉(zhuǎn)動，而所有縱向纖維則均處于單向受力狀態(tài)。從梁中截取一微段dx ，取梁橫截面的對稱軸為 y 軸，且向下為正，如圖11.3(b) 所示

5、，以中性軸為y 軸，但中性軸的確切位置尚待確定。根據(jù)平面假設(shè)，變形前相距為dx的兩個橫截面，變形后各自繞中性軸相對旋轉(zhuǎn)了一個角度 d ，并仍保持為平面。 中性層的曲率半徑為，因中性層在梁彎曲后的長度不變，所以o1 o2ddx又坐標(biāo)為 y 的縱向纖維 ab 變形前的長度為abdxd變形后為ab(y)d故其縱向線應(yīng)變?yōu)?y)ddyd（ a）可見，縱向纖維的線應(yīng)變與纖維的坐標(biāo)y 成正-可編輯 -精品比。2、物理關(guān)系因為縱向纖維之間無正應(yīng)力， 每一纖維都處于單向受力狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時，由胡克定律知E將(a)式代入上式，得E y(b)這就是橫截面上正應(yīng)力變化規(guī)律的表達(dá)式。由此可知，橫截面上任一點(diǎn)

6、處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而在距中性軸為y 的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均相等，這一變化規(guī)律可由圖11.4 來表示。3、靜力學(xué)關(guān)系以上已得到正應(yīng)力的分布規(guī)律， 但由于中性軸的位置與中性層曲率半徑的大小均尚未確定， 所以仍不能確定正應(yīng)力的大小。這些問題需再從靜力學(xué)關(guān)系來解決。如圖 11.5所示，橫截面上各點(diǎn)處的法向微內(nèi)力 dA 組成一空間平行力系，而且由于橫截面上沒有軸力，僅存在位于x-y 平面的彎矩 M ，因此，F(xiàn) NAdA0(c)M yzdA0(d)AM zy dA0A(e)以式 (b) 代入式 (c)，得-可編輯 -精品dAE(f)ydA 0AA上式中的積分代表截面對z 軸的靜矩

7、 Sz。靜距等于零意味著z 軸必須通過截面的形心。以式 (b) 代入式 (d) ，得dAE(g)yzdA 0AA式中，積分是橫截面對 y 和 z 軸的慣性積。 由于 y 軸是截面的對稱軸， 必然有 Iyz=0, 所示上式是自然滿足的。以式 (b) 代入式 (e) ，得My dAEy 2 dA（ h ）AA式中積分y2 dAI Z（i）A是橫截面對 z 軸（中性軸）的慣性矩。于是，(h) 式可以寫成1M（ 11.1 ）EI z此式表明，在指定的橫截面處， 中性層的曲率與該截面上的彎矩M 成正比，與 EIz 成反比。在同樣的彎矩作用下， EIZ 愈大，則曲率愈小，即梁愈不易變形，故 EIz 稱為梁

8、的抗彎剛度。再將式 (11.1) 代入式 (b), 于是得橫截面上y 處的正應(yīng)力為M（11.2 ）yI z此式即為純彎曲正應(yīng)力的計算公式。式中 M為橫截面上的彎矩； Iz 為截面對中性軸的慣性矩；y 為所求應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離。-可編輯 -精品當(dāng)彎矩為正時，梁下部纖維伸長，故產(chǎn)生拉應(yīng)力，上部纖維縮短而產(chǎn)生壓應(yīng)力；彎矩為負(fù)時，則與上相反。在利用（11.2 ）式計算正應(yīng)力時，可以不考慮式中彎矩 M 和 y 的正負(fù)號，均以絕對值代入，正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可以由梁的變形來判斷。應(yīng)該指出，以上公式雖然是純彎曲的情況下，以矩形梁為例建立的， 但對于具有縱向?qū)ΨQ面的其他截面形式的梁，如工字形、 T 字形

9、和圓形截面梁等仍然可以使用。同時，在實(shí)際工程中大多數(shù)受橫向力作用的梁，橫截面上都存在剪力和彎矩，但對一般細(xì)長梁來說，剪力的存在對正應(yīng)力分布規(guī)律的影響很小。因此，（ 11.2 ）式也適用于非純彎曲情況。11.1.2最大彎曲正應(yīng)力由式 (11.2) 可知，在y=y max 即橫截在由離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，彎曲正應(yīng)力最大，其值為MymaxMmaxI zI zymax式中，比值Iz/y max 僅與截面的形狀與尺寸有關(guān)，稱為抗彎截面系數(shù)，也叫抗彎截面模量。用W z 表示。即為I z（11.3 ）W zym ax于是，最大彎曲正應(yīng)力即為M（ 11.4 ）maxWz可見，最大彎曲正應(yīng)力與彎矩成正比，與抗彎

10、截面系數(shù)成反比。 抗彎截面系-可編輯 -精品數(shù)綜合反映了橫截面的形狀與尺寸對彎曲正應(yīng)力的影響。圖 11.6 中矩形截面與圓形截面的抗彎截面系數(shù)分別為bh 2Wz(11.5)6d 3Wz(11.6)32而空心圓截面的抗彎截面系數(shù)則為WzD 34(11.7)132式中=d/D ，代表內(nèi)、外徑的比值。至于各種型鋼截面的抗彎截面系數(shù)，可從型鋼規(guī)格表中查得（見附錄）。例 11.1圖 11.7 所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F 作用，已知：h=18cm ，b=12cm ，y=6cm ，a=2m ， F=1.5KN 。計算 A 截面上 K 點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。-可編輯 -精品解先計算截面上的彎矩M AFa1.5

11、 23kNm截面對中性軸的慣性矩I Zbh3120 18035.83210 7 mm41212則 kM A y3 10660 3.09MPaI Z5.832107A 截面上的彎矩為負(fù)， K 點(diǎn)是在中性軸的上邊，所以為拉應(yīng)力。11.2平面圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形，都與構(gòu)件的截面的形狀和尺寸有關(guān)。反映截面形狀和尺寸的某些性質(zhì)的一些量，如拉伸時遇到的截面面積、 扭轉(zhuǎn)時遇到的極慣性矩和這一章前面遇到的慣性矩、抗彎截面系數(shù)等， 統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。為了計算彎曲應(yīng)力和變形，需要知道截面的一些幾何性質(zhì)。現(xiàn)在來討論截面的一些主要的幾何性質(zhì)。11.2.1形心和靜矩若截面形心得坐標(biāo)為yC

12、和 zC（C 為截面形心），將面積得每一部分看成平行力系，即看成等厚、均質(zhì)薄板的重力，根據(jù)合力矩定理可得形心坐標(biāo)公式zdAydA（ a）zCA, yCAAA靜矩又稱面積矩。其定義如下，在圖11.8 中任意截面內(nèi)取一點(diǎn)M （z,y ）,圍繞 M 點(diǎn)取一微面積 dA ，微面積對 z 軸的靜矩為 ydA ，對 y 軸的靜矩為 zdA ，則整個截面對 z 和 y 軸的靜矩分別為：-可編輯 -精品S zAydA(b)S yAzdA有形心坐標(biāo)公式y(tǒng)dAAyCAzdAAzCA知：SzydAAyCA(c)SyzdAAzCA上式中 y C 和 zC 是截面形心 C 的坐標(biāo)， A 是截面面積。 當(dāng)截面形心的位置已

13、知時可以用上式來計算截面的靜矩。從上面可知， 同一截面對不同軸的靜矩不同，靜矩可以是正負(fù)或是零； 靜矩的單位是長度的立方， 用 m 3 或 cm 3 、mm 3 等表示；當(dāng)坐標(biāo)軸過形心時，截面對該軸的靜矩為零。當(dāng)截面由幾個規(guī)則圖形組合而成時，截面對某軸的靜矩， 應(yīng)等于各個圖形對該軸靜矩的代數(shù)和。其表達(dá)式為nSzAi yi(d)i 1nSyAi zi(e)i 1而截面形心坐標(biāo)公式也可以寫成zCAi yi(f)AiyCAi zi(g)Ai-可編輯 -精品11.2.2慣性矩、慣性積和平行移軸定理在圖 11.8 中任意截面上選取一微面積dA ，則微面積 dA 對 z 軸和 y 軸的慣性矩為 z2 dA

14、 和 Y2 dA 。則整個面積對z 軸和 y 軸的慣性矩分別記為Iz 和 Iy，而慣性積記為 Izy，則定義：I zy2 dA,A(h)I yz2 dAAI zyzydA(i)A極慣性矩定義為 ：I2 dA( z2y2 )dAI zI y(j)AA從上面可以看出， 慣性矩總是大于零， 因為坐標(biāo)的平方總是正數(shù)， 慣性積可以是正、負(fù)和零；慣性矩、慣性積和極慣性矩的單位都是長度的四次方，用 m 4 或cm 4 、 mm 4 等表示。同一截面對不同的平行的軸， 它們的慣性矩和慣性積是不同的。同一截面對二根平行軸的慣性矩和慣性積雖然不同，但它們之間存在一定的關(guān)系。 下面討論二根平行軸的慣性矩、慣性積之間

15、的關(guān)系。圖 11.9 所示任意截面對任意軸對z軸和y軸的慣性矩、慣性積分別為Iz、Iy 和 Izy。過形心 C 有平行于 z、y的兩個坐標(biāo)軸 z 和 y，截面對 z、y 軸的慣性矩和慣性積為Iz、Iy 和 Izy。對 oz y坐標(biāo)系形心坐標(biāo)為 C（ a,b ）。截面上選取微面積 dA ，dA 的形心坐標(biāo)為-可編輯 -精品z z a y y b則按照慣性矩的定義有I yz 2 dA2( za) dAAAz2 dA 2azdAa2 dAAAA上式中第一項為截面對過形心坐標(biāo)軸y 軸的慣性矩；第三項為面積的a2 倍；而第二項為截面過形心坐標(biāo)軸y 軸靜矩乘以 2a 。根據(jù)靜矩的性質(zhì)， 對過形心軸的靜矩為

16、零，所以第二項為零。這樣上式可以寫為I yI yca2 A(k)同理可得：I zI zcb2 A(l)I z yI zcycabA(m)也就是說，截面對于平行于形心軸的慣性矩，等于該截面對形心軸的慣性矩再加上其面積乘以兩軸間距離的平方； 而截面對于平行于過形心軸的任意兩垂直軸的慣性積， 等于該面積對過形心二軸的慣性積再加上面積乘以相互平行的二軸距之積。這就是慣性矩和慣性積的平行移軸定理。例 11.2 計算圖 11.10 所示 T 形截面的形心和過它的形心 z 軸的慣性矩。解 （1）確定截面形心位置選參考坐標(biāo)系 oz y，如圖11.10 所示。將截面分解為上面和下面兩個矩形部分，截面形心C 的縱

17、坐標(biāo)為-可編輯 -精品ycAi yiA1 yC1A2 yC 2AiA100010 28501600102400260010 2573mmzC 0（2）計算截面慣性矩上面矩形與下面矩形對形心軸z 的慣性矩分別為IIz1z213294100010010001002777.75 10 mm13294200800800200 17313.32 10 mmI zI z1I z221.1 109 mm411.3梁的彎曲剪應(yīng)力當(dāng)進(jìn)行平面彎曲梁的強(qiáng)度計算時，一般來說，彎曲正應(yīng)力是支配梁強(qiáng)度計算的主要因素， 但在某些情況上， 例如，當(dāng)梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，這時梁的最大彎矩比較小， 而剪力卻

18、很大， 如果梁截面窄且高或是薄壁截面，這時剪應(yīng)力可達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值，剪應(yīng)力就不能忽略了。 下面介紹幾種常見截面上彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律和計算公式。11.3.1矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力-可編輯 -精品圖 11.11(a) 所示矩形截面梁， 在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)承受荷載作用。 設(shè)橫截面的高度為 h ，寬度為 b，為研究彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律，現(xiàn)作如下假設(shè)：橫截面上各點(diǎn)處的剪應(yīng)力的方向都平行于剪力，并沿截面寬度均勻分布。有相距dx 的橫截面從梁中切取一微段，如圖11.12(a) 。然后，在橫截面上縱坐標(biāo)為y 處，再用一個縱向截面m-n ，將該微段的下部切出，如圖 11.12(b) 。設(shè)橫截面上 y 處的剪應(yīng)力為

19、，則由剪應(yīng)力互等定理可知，縱橫面 m-n 上的剪應(yīng)力在數(shù)值上也等于。因此，當(dāng)剪應(yīng)力確定后， 也隨之確定。如圖 11.12(a) 所示，由于存在剪力 FQ，截面 1-1 與 2-2 的彎矩將不相同，-可編輯 -精品分別為 M 和 M+dM ,因此，上述兩截面的彎曲正應(yīng)力也不相同。設(shè)微段下部橫截面 m 1 與 n 2 的面積為 ,在該兩截面上由彎曲正應(yīng)力所構(gòu)成的軸向合力分別為N 1 與 N 2，則由微段下部的軸向平衡方程x=0 可知，bdxbdxN 1N 2由此得N1N2(a)bdx由圖 11-12(c) 可知N1dAMy dAI z式中，積分代表截面對z 軸的靜矩，并用Sz* 表示，因此有N1M

20、Sz(b)I z(M dM )Sz( M FQ dx)Sz(c)N 2I zI z將式 (b) 和式 (c) 代入式 (a)，于是得FQ Sz（11.8 ）I z b式中： Iz 代表整個橫截面對中性軸矩z 的慣性距；而 Sz* 則代表 y 處橫線一側(cè)的部分截面對 z 軸的靜距。對于矩形截面，如圖11.13 所示，其值為Szb( hy)1 ( hy)b ( h 2y2 )22224將上式及 Iz=bh 3/12代入式 (11.8) 得-可編輯 -精品3FQ (124 y2 )（11.9 ）2bhh由此可見：矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布(圖 11.13) ；在截面的上、下邊緣 (

21、 yh )，剪應(yīng)力=0 ；在中性軸 (y=0), 剪應(yīng)力最大，其值2為3 FQ（ 11.10 ）max2 bh11.3.2工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力工字形截面梁由腹板和翼緣組成。其橫截面如圖 11.14 所示。中間狹長部分為腹板，上、下扁平部分為翼緣。梁橫截面上的剪應(yīng)力主要分布于腹板上，翼緣部分的剪應(yīng)力情況比較復(fù)雜，數(shù)值很小，可以不予考慮。由于腹板比較狹長，因此可以假設(shè)：腹板上各點(diǎn)處的彎曲剪應(yīng)力平行于腹板側(cè)邊，并沿腹板厚度均勻分布。腹板的剪應(yīng)力平行于腹板的豎邊，且沿寬度方向均勻分布。根據(jù)上述假設(shè)，并采用前述矩形截面梁的分析方法，得腹板上y 處的彎曲剪應(yīng)力為：FQ SzI zb-可編輯 -精品式中

22、，Iz 為整個工字形截面對中性軸z 的慣性矩， Sz*為 y 處橫線一側(cè)的部分截面對該軸的靜矩， b 為腹板的厚度。由圖 11.14(a) 可以看出， y 處橫線以下的截面是由下翼緣部分與部分腹板的組成，該截面對中性軸z 的靜矩為Sz B( H h ) h1 ( H h )222222b( hy)y1 ( hy)222B(H2h 2 )b ( h2y 2 )824因此，腹板上 y 處的彎曲剪應(yīng)力為FQB2h2)bh22)I zb( H(y824（ 11.11 ）由此可見：腹板上的彎曲剪應(yīng)力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布，如圖 11.14(b) 所示。在中性軸處 (y=0) ，剪應(yīng)力最大，在

23、腹板與翼緣的交接處(y=±h/2) ，剪應(yīng)力最小，其值分別為FQBH 2h2FQmaxI zb( B b)或maxI Z88bS-可編輯 -精品（ 11.12 ）FQBH 2 Bh2min()I zb88（ 11.13 ）從以上兩式可見， 當(dāng)腹板的寬度 b 遠(yuǎn)小于翼緣的寬度B，max 與min 實(shí)際上相差不大，所以可以認(rèn)為在腹板直剪應(yīng)力大致是均勻分布的?？捎酶拱宓慕孛婷娣e除剪力 FQ，近似地得表示腹板的剪應(yīng)力，即FQbh（ 11.14 ）在工字形截面梁的腹板與翼緣的交接處，剪應(yīng)力分布比較復(fù)雜， 而且存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，為了減小應(yīng)力集中，宜將結(jié)合處作成圓角。11.3.3圓形截面梁的彎曲剪

24、應(yīng)力對于圓截面梁， 在矩形截面中對剪應(yīng)力方向所作的假設(shè)不再適用。由剪應(yīng)力互等定理可知，在截面邊緣上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向必與圓周相切，因此，在水平弦 AB 的兩個端點(diǎn)上的剪應(yīng)力的作用線相交于y 軸上的某點(diǎn) p，如圖 11.15(a) 。由于對稱， AB 中點(diǎn) C 的剪應(yīng)力必定是垂直的， 因而也通過 p 點(diǎn)。由此可以假設(shè)，AB 弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的作用線都通過p 點(diǎn)。如再假設(shè) AB 弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量y 是相等的，于是對 y 來說，就與對矩形截面所作的假設(shè)完全相同，所以，可用公式來計算，即FQSZyI Z b（ 11.15 ）-可編輯 -精品式中， b 為 AB 弦的長度， Sz*是圖 11.15(

25、b) 中陰影部分的面積對z 軸的靜矩。在中性軸上，剪應(yīng)力為最大值 max 。其值為4FQ4 FQmaxr 23 A3（ 11.16 ）式中， FQ /A 是梁橫截面上平均剪應(yīng)力。例 11.3 梁截面如圖 11.16(a) 所示，橫截面上剪力 FQ =15KN 。試計算該截面的最大彎曲剪應(yīng)力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。截面的慣性矩I-z=8.84 ×10 -6 m 4 。-可編輯 -精品解（ 1）最大彎曲剪應(yīng)力。最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上。 中性軸一側(cè)的部分截面對中性軸的靜矩為(20mm120mm45mm)220mm9.025 104mm3S z, max2所以，最大彎曲剪應(yīng)

26、力為maxFQ S Z,max(15103 N )(9.025 104 mm3 )7.66MPaI zb(8.84 106 mm4 )(20mm)（2）腹板、翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。由圖 11.16(b) 可知，腹板、翼緣交接線一側(cè)的部發(fā)截面對中性軸z 的靜矩為SZ (20mm120mm 35mm)8.40 104 mm3所以，該交接處的彎曲剪應(yīng)力為FQ S z(15 103 N )(8.40104 mm3)I zb8.84 106 mm47.13MPa20mm11.4梁的強(qiáng)度條件在一般情況下，梁內(nèi)同時存在彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力， 為了保證梁的安全工作，梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度，也即，梁必須要

27、同時滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。以下將據(jù)此建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。11.4.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而該處的剪應(yīng)力一般為零或很小，因而最大彎曲正應(yīng)力作用點(diǎn)可看成是處于單向受力狀態(tài)，所以，彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為-可編輯 -精品M（ 11.16 ）maxWzmax即要求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力max 不超過材料在單向受力時的許用應(yīng)力 。對于等截面直梁，上式變?yōu)閙axM max（11.17）Wz利用上述強(qiáng)度條件，可以對梁進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度校核、截面選擇和確定容許荷載。11.4.2彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件最大彎曲剪應(yīng)力通常發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處，而該

28、處的彎曲正應(yīng)力為零， 因此，最大彎曲剪應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為FQ Sz max（11.18 ）maxI z bmax即要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力 max不超過材料在純剪切時的許用剪應(yīng)力 。對于等截面直梁，上式變?yōu)镕Q Sz,max(11.19)maxI zb在一般細(xì)長的非薄壁截面梁中， 最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲剪應(yīng)力。因此，對于一般細(xì)長的非薄壁截面梁， 通常強(qiáng)度的計算由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制。因此，在選擇梁的截面時， 一般都是按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇，選好截面后再按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。 但是，對于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁，后者如短而粗的梁、 集中荷載作用在支座附近

29、的梁等，則不僅應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，而且彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起控制作用。例 11.4圖 11.17(a) 所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為T 字形，并承受-可編輯 -精品均布荷載 q 作用。試校該梁的強(qiáng)度。 已知荷載集度 q=25N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1 =95mm和 y 2=95mm ，慣性矩 Iz=8.84 ×10 -6 m 4，許用拉應(yīng)力 t=35MPa ，許用壓應(yīng)力 c=140Mpa。解（ 1）危險截面與危險點(diǎn)判斷。梁的彎矩如圖 11.17(b) 所示，在橫截面D 與 B 上，分別作用有最大正彎矩與最大負(fù)彎矩，因此，該二截面均為危險截面。截面 D

30、 與 B 的彎曲正應(yīng)力分布分別如圖11.17(c) 與(d) 所示。截面 D 的 a點(diǎn)與截面 B 的 d 點(diǎn)處均受壓；而截面D 的 b 點(diǎn)與截面 B 的 c 點(diǎn)處均受拉。由于 |M D |>|M B|，|y a|>|y d |,|因此|a|>| d |即梁內(nèi)的最在彎曲壓應(yīng)力 c,max 發(fā)生在截面 D 的 a 點(diǎn)處。至于最大彎曲拉應(yīng)力t,max , 究竟發(fā)生在 b 點(diǎn)處，還是 c 點(diǎn)處，則須經(jīng)計算后才能確定。概言之，-可編輯 -精品a,b,c 三點(diǎn)處為可能最先發(fā)生破壞的部位。簡稱為危險點(diǎn)。（2）強(qiáng)度校核。由式 (11.2 ) 得 a,b,c 三點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力分別為aM D

31、ya(5.56 106 Nmm)(950mm)59.8MPaI z8.84 106 mm4bM D yb28.3MPaI zcM B yc33.6MPaI z由此得c, maxat ,maxc59.8MPa33.6MPact可見，梁的彎曲強(qiáng)度符合要求。例 11.5 懸臂工字鋼梁 AB 圖 11.18(a) ，長 l=1.2m ，在自由端有一集中荷載 F，工字鋼的型號為 18 號，已知鋼的許用應(yīng)力 =170Mpa ，略去梁的自重，(1) 試計算集中荷載 F 的最大許可值。 (2)若集中荷載為 45 kN ，拭確定工字鋼的型號。解（ 1）梁的彎矩圖如圖11 18(c) 所示，最大彎矩在靠近固定端處

32、，其絕對值為-可編輯 -精品M max =Fl=1.2F N ·m由附錄中查得， 18 號工字鋼的抗彎截面模量為W z=185 ×10 3 mm 3由公式 (11.16) 得1.2F(15 ×10 -6 )(170 ×10 6 )因此，可知 F 的最大許可值為1851703 N=26.2kN F max26.2 101.2(2) 最大彎矩值 M max =Fl=1.2 ×45 ×10 3N ·m=54 ×10 3N ·m按強(qiáng)度條件計算所需抗彎截面系數(shù)為M max 54 106 Nmm3.18 105mm3

33、3WZ318cm170MPa查附錄可知， 22b號工字鋼的抗彎截面模量為325cm 3 ，所以可選用 22b號工字鋼。例 11.6 例 11.5 中的 18 號工字鋼懸臂梁，按正應(yīng)力的強(qiáng)度計算，在自由端可承受的集中荷載 F=26.2KN 。已知鋼材的抗剪許用應(yīng)力 =100Mpa 。試按剪應(yīng)力校核梁的強(qiáng)度， 繪出沿著工字鋼腹板高度的剪應(yīng)力分布圖， 并計算腹板所擔(dān)負(fù)的剪力 FQ1。解（ 1）按剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核。截面上的剪力 FQ =26.2kN 。由附錄查得 18 號工字鋼截面的幾個主要尺寸如圖 11.19(a) 所示，又由表查得Iz=1660 ×10 4 mm 4 , Iz154mmS

34、z由公式 (5 17), 得腹板上的最大剪應(yīng)力-可編輯 -精品FQ26.2 10362)maxI z26.210 ( N / m)d(154 10 3 )(6.5 10 3 )(Sz26.2MPa100MPa可見工字鋼的剪應(yīng)力強(qiáng)度是足夠的。（2）沿腹板高度剪應(yīng)力的計算。將工字鋼截面簡化如圖11.19(b) 所示，圖中h 1=180 2×10.7=158.6(mm)b 1=d=6.5mm由公式 (11.14) 得腹板上最大剪應(yīng)力的近似值為maxFQ26.2 103h1b1 (158.6 10 3 )(6.5 10 3 )25.4 106 N / m225.4MPa這個近似值與上面所得2

35、6.2Mpa 比較，略偏小，誤差為 3.9% 。腹板上的最小剪應(yīng)力在腹板與翼緣的連接處，翼緣面積對中性軸的靜矩為SZ (94 10 3 )(10.7 10 3 ) (1806.5) 10 32287.310 4 (m3 )由公式 (11.8)得腹板上的最小剪應(yīng)力為-可編輯 -精品FQSZ21.2106 N / m221.2MPaminI Zb1得出了max 和min值可作出沿著腹板高度的剪應(yīng)力分布圖如圖11.19(c) 所示。（3）腹板所擔(dān)負(fù)剪力的計算。腹板所擔(dān)負(fù)的剪力FQ1 等于圖 11.19(c) 所示剪力分布圖的面積A 1 乘以腹板厚度 b 1 。剪力分布圖面積可以用圖11.19(c)

36、中虛線將面積分為矩形和拋物線弓形兩部分，得A1( 21.210 6 )(158.610 3)2 (158.610 3)3(26.2 21.2) 1063890103 (N / m)由此得FQ1A1b125.3 103 ( N )25.3kN可見，腹板所擔(dān)歲的剪力占整個截面剪力FQ 的 96.6% 。11.5提高梁強(qiáng)度的措施前面已指出， 在橫力彎曲中， 控制梁強(qiáng)度的主要因素是梁的最大正應(yīng)力，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件M maxmaxW為設(shè)計梁的主要依據(jù)， 由這個條件可看出， 對于一定長度的梁， 在承受一定荷載的情況下，應(yīng)設(shè)法適當(dāng)?shù)匕才帕核艿牧?，使梁最大的彎矩絕對值降低，同時選用合理的截面形狀和尺寸，使

37、抗彎截面模量W 值增大，以達(dá)到設(shè)計出的梁滿足節(jié)約材料和安全適用的要求。 關(guān)于提高梁的抗彎強(qiáng)度問題， 分別作以下幾方面討論。-可編輯 -精品11.5.1合理安排梁的受力情況在工程實(shí)際容許的情況下， 提高梁強(qiáng)度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如，圖11.20(a) 所示簡以梁，承受均布載荷q 作用，如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動少許，例如移動 0.2l ，如圖 11.20(b) ，則后者的最大彎矩僅為前者的 1/5 。又如，圖 11.21(a) 所示簡支梁 AB ，在跨度中點(diǎn)承受集中荷載P 作用，如果在梁的中部設(shè)置一長為1/2 的輔助梁 CD 如圖 11.21(b) ，這時，梁 AB

38、內(nèi)的最大彎矩將減小一半。上述實(shí)例說明，合理安排支座和加載方式，將顯著減小梁內(nèi)的最大彎矩。-可編輯 -精品11.5.2 選用合理的截面形狀從彎曲強(qiáng)度考慮， 比較合理的截面形狀， 是使用較小的截面面積， 卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。 截面形狀和放置位置不同W z/A 比值不同， 因此，可用比值 W z/A 來衡量截面的合理性和經(jīng)濟(jì)性，比值愈大，所采用的截面就愈經(jīng)濟(jì)合理?，F(xiàn)將跨中受集中力作用的簡支梁為例，其截面形狀分別為圓形、 矩形和工字形三種情況作一粗略比較。 設(shè)三種梁的面積、 跨度和材料都相同， 容許正應(yīng)力為 170MPa 。其抗彎截面系數(shù) W z 和最大承載力比較見表 11.1 。表 11

39、.1 幾種常見截面形狀的 W z 和最大承載力比較截面形狀尺寸W z最大承載力 .d 365.5103mm3圓形32 .bh 2100103 mm36 .矩形工字鋼 .×從表中可以看出，矩形截面比圓形截面好，工字形截面比矩形截面好得多。從正應(yīng)力分布規(guī)律分析， 正應(yīng)力沿截面高度線性分布， 當(dāng)離中性軸最遠(yuǎn)各點(diǎn)處的正應(yīng)力，達(dá)到許用應(yīng)力值時，中性軸附近各點(diǎn)處的正應(yīng)力仍很小。因此，在離中性軸較遠(yuǎn)的位置，配置較多的材料，將提高材料的應(yīng)用率。-可編輯 -精品根據(jù)上述原則， 對于抗拉與抗壓強(qiáng)度相同的塑性材料梁，宜采用對中性軸對稱的截面，如工字形截面等。 而對于抗拉強(qiáng)度低于抗壓強(qiáng)度的脆性材料梁，則最好采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，便如T 字形和