數(shù)學(xué)三角函數(shù)公式大全

1、1.與三角函數(shù)0°w v 360終邊相同的角的集合角與角 的終邊重合：y終邊在x軸上的角的集合:k 180 ,k Z4cosx終邊在y軸上的角的集合:18090 , k Z3si nx1cosx2si nxsi nx2終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合:90 , k Zcosx1cosx4 sinx|3終邊在y=x軸上的角的集合:18045 ,k ZSIN COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖360 ,k Z終邊在yx軸上的角的集合：| k18045 ,k Z假設(shè)角與角 的終邊關(guān)于x軸對稱，那么角與角的關(guān)系：360 k假設(shè)角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，那么角與角的關(guān)系：360 k 180假設(shè)角與角的終邊在一

2、條直線上，那么角與角的關(guān)系：180 k角與角的終邊互相垂直，那么角與角的關(guān)系：360 k902.角度與弧度的互換關(guān)系：360 °2180 °1 ° =0.01745 1=57.30° =57° 18負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù),1、2、3、4表示第一、 四象限一半所在區(qū)域三、弧度與角度互換公式:1rad= 180 ° 57.30° =57° 18'.0.01745 rad1803、弧長公式:1扇形面積公式：s扇形 -lr2| r24、三角函數(shù):個(gè)任意角，在設(shè)曰 疋的終邊上任取

3、異于正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線：AT.7.三角函數(shù)的定義域:三角函數(shù)定義域f(x) si nxx | x Rf (x) cosxx | x Rf(x) tanxx |x R且x k 丄，k Z2f (x) cotxx |x RMx k , k Zf (x) secxx |x RMx k 丄，k Z2f (x) cscxx |x RMx k , k Z三角函數(shù)的公式：一根本關(guān)系公式組一sin x.2 2sinx cscx=1tanx=sin x+cos x=1cosxcosx , 2 2cosx secx=1L ：x=1+tan x =sec xsin x2 2tanx cotx=1

4、1+cot x=csc x公式組二sin (2kx)si nxcos(2kx)cosxtan(2kx)tanxcot(2kx)cotx公式組三sin( x)si nxcos( x)cosxtan( x)tanxcot( x)cotx8、冋角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：sintancoscossintan cot 1 csc sin1seccos1.2 2,2sincos1 sectan212 csccot29、誘導(dǎo)公式：k把k的三角函數(shù)化為2的三角函數(shù)，概括為：“奇變偶不變，符號看象限cot16.幾個(gè)重要結(jié)論:(3)假設(shè) o<x< 2,那么sin x<x<ta nxsin(x

5、)si nxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx公式組四sin (2x)sin xcos(2x)cosxtan(2x)tan xcot(2x)cot x公式組五sin(x)si nxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx公式組六cos()cos cossinsinsin 22 si ncoscos()cos cossinsincos22 cos2 sin2cos2211 2sin2二角與角之間的互換公式組一公式組sin()sin cos cos sintan2sin()sin cos cos sinsin2tan(tan tan1 tan tanc

6、os22ta n1 tan21 cos, 21 cos；2tan(tan tan1 tan tantan 2公式組四1 cossin1 cos；1 cos1 cossinsin2ta n 2sin1 tan2 2cos1 tan2 2coscossin1 tan2 2sin公式組三1 .cos sinsin21 sin sinsin21cos coscos21sincoscos2sin 2 sin cos2 21 cos(21sin(-tan(丄2cos(-2公式組五)sin)cos)cot) sin2ta n sintan22cos1 tan -2cossin 156cos756,tan 1

7、54sin 75 cos15sin2 cossin22cos2 cos-cos22cos2si nsin 22cot 7523,.tan 75 cot1523tan(12sin) cot)cos10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):3/y sin xy cosxy tanxy cotxyAsin xA、 > 0定義域RRx| xRMx k 1，k Zxx RMx k ,k ZR值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)2k 1 ,k,k 1上為減函7 2k ,2k kk2 2數(shù)k Z2k2(A),2k 上為增函上為增函數(shù)2

8、數(shù)k Z2k1上為增函2k ,2/ A(A)數(shù)；2k 1 單調(diào)性上為減函上為增函數(shù)；【2 2k ,數(shù)2k3k Z2(A),2k 22k3上為減函2數(shù)k Z(A)上為減函數(shù)k Z注意：ysinx與y sinx的單調(diào)性正好相反；反一般地，假設(shè)y f(x)在a,b上遞增減，那么cosx與y cosx的單調(diào)性也同樣相 f (x)在a, b上遞減增sin x與y cosx的周期是y sin( x )或 y cos( xo的周期tan -2的周期為2 TT n，如圖,n-翻折無效,1o!y sin( x )的對稱軸方程是Z，對稱中心k ,0； y cos(對稱軸方程是xk Z丨，對稱中心,o； ytan(

9、 x)的對稱中心y cos2x原點(diǎn)對稱cos( 2x) cos2x當(dāng)tanta n1,2(k Z)；tantan1,k 2(k Z).cosx 與 ysin2k是同一函數(shù)，而y ( x)是偶函數(shù)，那么cos( x).x ) sin(函數(shù)y tanx在R上為增函數(shù).x只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增假設(shè)在整個(gè)定義域,y tan x為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的.曰心是定定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是 f (x)具有奇偶性的必要不充分條件 奇偶性的兩個(gè)條件:義域關(guān)于原點(diǎn)對稱奇偶都要，二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f( x) f(x)，奇函數(shù)：f( x) f(x)奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反 例如：y tanx是奇函數(shù)，y t

10、an(x -)是非奇非偶定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱奇函數(shù)特有性質(zhì)：假設(shè) 0 x的定義域，那么f (x) 一定有f (0) o. 0 x的定義域，那么無此性質(zhì)y sinx不是周期函數(shù);y |sinx為周期函數(shù)Ty= cos|x| 圖象y=|cos2x+1/21 圖象y COSX是周期函數(shù)如圖；y COSX為周期函數(shù)T 丨；y cos2x 1的周期為如圖，并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如:2y f(x) 5 f (x k),k R. y a cos bsin .a2 b2 sin( ) cos b 有，a2 b2y .a三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.函數(shù)y= Asin3 x +

11、如的振幅|A| ,周期T 2-,頻率f丄LJ ,相位 X ；初相I IT 2即當(dāng)x = 0時(shí)的相位.當(dāng)A >0,3> 0時(shí)以上公式可去絕對值符號，由y = sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變， 縱坐標(biāo)伸長當(dāng)|A|> 1或縮短當(dāng)Ov |A| v 1到原來的|A|倍，得到y(tǒng)= Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.用y/A 替換y由y = sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長0v|3 |v 1或縮短3 |> 1到原來的 山倍，得到y(tǒng) = sin 3 x的圖象，叫做 周期變換 或叫做沿x軸的伸縮變換.(用3 x替換x)由y= sinx的圖象上所有的

12、點(diǎn)向左 當(dāng)$> 0或向右當(dāng)(f)v 0平行移動(dòng)丨$丨個(gè)單位， 得到y(tǒng)= sinx +如的圖象，叫做 相位變換或叫做沿x軸方向的平移.(用x+ $替換x)由y = sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上 當(dāng)b> 0或向下當(dāng)bv 0平行移動(dòng)丨b丨個(gè)單位， 得到y(tǒng)= sinx + b的圖象叫做沿y軸方向的平移.用y+(-b)替換y由y = sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y = As in3 x+Q A > 0,w> 0 x R的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法1. 三角函數(shù)恒等變形的根本策略。1常值

13、代換：特別是用“ 1 的代換，如 仁cos2 0 +sin 2 9 =tanx cotx=tan45 ° 等。2 項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin x+2 cos x=(s in x+cos x)+cos x=1+cos x ；酉己湊角：a =a + B一B, B =223降次與升次。4化弦切法。4引入輔助角。asin 0 +bcos 0 . a2 b2 sin( 0 + )，這里輔助角 所 在象限由a、b的符號確定，角的值由tan =b確定。a2. 證明三角等式的思路和方法。1思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化 為同一形式。2證明方法：綜合法、分析法、

14、比擬法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3. 證明三角不等式的方法：比擬法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的 單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4. 解答三角高考題的策略。1發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析2尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。3合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。四、例題分析例 1. tan, 2，求1Si ;2sin2 sin .cos 2cos2的值.cossin1sin2解:cos sin1cos sincos1tan13 2 2 ;1sin1tan12cos(2)2 sinsin cos2 co

15、s22 sinsincos22 cossin2cos22sinsin2f運(yùn)2coscos2 2242sin/2 1 cos2 13 .說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)如果不具備，通過構(gòu)造的方法得到，進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡化。例 2.求函數(shù) y 1 sinx cosx (sin x cosx)2 的值域。解：設(shè)t sinx cosx 血sin(x n)血，那么原函數(shù)可化為4y t2 t 1 (t 丄)2 3，因?yàn)?t .2,2，所以2 4當(dāng)t 2時(shí)，丫皿玄乂 32，當(dāng)t 1時(shí)，ymin 3，24所以，函數(shù)的值域?yàn)閥 3,3.2。4例 3.函數(shù) f(x) 4sin2x 2sin 2x 2, x

16、 R。1求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此時(shí)x的集合；2證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x 丄對稱。8解：f(x) 4si n2x 2si n 2x 2 2si nx 2(1 2si n2x)2sin2x 2cos2x 2.2 sin(2x n)(1)所以f(x)的最小正周期T n因?yàn)閤 R，所以，當(dāng)2x n 2k4n n, 即x kn 歹時(shí),f(x)最大值為2. 2 ;(2)證明：欲證明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線xn評稱，只要證明對任意x R,有f( n因?yàn)閒 (x)x)f(X)所以f(X)f( 82 2sin2(nx)n2、2sin(-2x)22cos2x ,8422、2si

17、n2(nx)-2、2sin(n2x)2、2cos2x ,842f( n x)成立，從而函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線8x)成立,x -對稱。8例4.函數(shù) y=cos2x+sinx cosx+1x R,2 21當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；2該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得 到？解：1y=cos2x+Msinx cosx+1 = 1 (2cos 2x 1)+ 丄+山2sinx -cosx22444+11 .,3515二一 cos2x+sin2x+二一(cos2x sin +sin2x cos )+44426641 .5=sin( 2x+)+ 2 64所

18、以y取最大值時(shí)，只需2x+=+2kn ,k Z，即x= +kn ,k乙。6 2 6所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為x|x= +kn ,k Z62將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：i把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移一，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；6 61ii :把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的-倍縱坐標(biāo)不變，得到2函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；61iii 把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的 丄倍橫坐標(biāo)不變，得到21函數(shù)y= sin(2x+)的圖像；2 6515iv丨把得到的圖像向上平移-個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=-sin(2x+ )+上4264的圖像。綜上得到y(tǒng)=1 cos

19、2x+上3 sinxcosx+1的圖像。2 2說明：此題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降 幕后最終化成y= . a2 b2 sin ( 3 x+ )+k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的 二次三項(xiàng)式。此題1還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時(shí)，y=1 ；當(dāng)cosx工0時(shí),123.13丄cos x sinxcosxtan xy=22+1= 2+12 2 2sin x cos x1 tan x化簡得：2(y 1)tan 2x 3 tanx+2y 3=03 7 tanx & =3 8(y 1)(

20、2y 3) > 0,解之得：3 < y< 上4 4二ymax=-，此時(shí)對應(yīng)自變量x的值集為x|x=k n +,k Z46例 5.函數(shù) f(x) sin 仝 cos. 3cos2 .333I將f(x)寫成Asi n( x)的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；U如果 ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x 的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.32x3.2x.3cossin()232332人3k1z)得xk z解：1 . 2x 3“ 2X1 . 2x解：f (x) sin(1 cos ) sin -2 3232333332I由 si n(空一)=0 即空一k

21、(k即對稱中心的橫坐標(biāo)為 也，k z2U由b2=accosx2 a2 cb22 a2 cac2ac ac12ac2ac2ac211,0 x2x5cosx3， 2333952xl2x3 si n(3|32|，sin3sin (二-)1，-)1 -933332即f (x)的值域?yàn)?：3,13.2綜上所述，x (0,，f(x)值域?yàn)镺'3,1 .3 2說明：此題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、根本不等式等知識，還需要利用數(shù) 形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對知識進(jìn)行 整合的能力。3a c例6.在擊ABC中，a、b、c分別是角A B、C的對邊，且罰 (1)求sin B

22、的值;(2)假設(shè)b 4 2，且a=c,求§ABC的面積。cosC 3a c 亠 cosC 3sin A sinC 解：(1)由正弦定理及，有cosB bcosB sin B即 sin BcosC3sinAcosB sin CcosB，所以 sin(B C)3sin AcosB，又因?yàn)锳BCn, si n(B C) si nA，所以 sin A3sin AcosB，因?yàn)?sin A1所以cosB 3，又0 Bn，所以 sin B . 1 cos2 B在占ABC中，由余弦定理可得a2 c2 |ac 32，又a c， 所以有4a232,即a224，所以£ ABC的面積為31 1

23、2fSacsin B a sin B 8 2。2 2三角函數(shù)一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分)1. 點(diǎn)P tana, cos a在第三象限，那么角a的終邊在A.第一象限B.第二象限C第三象限D(zhuǎn).第四象限k n n,k n2. 集合 M = xX= 1 ± 4，k Z與 N = x|x= -，k Z之間的關(guān)系是A.MNB.NMC.M = ND.MAN =3 . 假設(shè)將分針撥慢十分鐘，那么分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是 A.60 °B. 60°C.30°D. 30°4 .以下各角1787 °，(2) 957 °，(3) 28

24、9 °，(4)1711 :其中在第一象限的角()A. 1 2B. 2 3C. 1 35.設(shè)a< 0，角a的終邊經(jīng)過點(diǎn) P 3a, 4a，那么sin a+ 2cosa的值等于2D. 2 42B. 516.假設(shè) cos( n+ a= 2n< a< 2 n,那么 sin(2 n a)等于3A. 27 假設(shè)a是第四象限角，A.第一象限角C.第三象限角&弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是1c. 2B.第二象限角D.第四象限角2,那么這個(gè)圓心角所對的弧長是A.22B. sin1C.2si n1D.si n2A 219. 如果sinx+ cosx= 5，且0v x<

25、n,那么cotx的值是a. - 3B.- 4 或-4C.- 4D. 4 或310 .假設(shè)實(shí)數(shù) x 滿足 Iog2x = 2 + sin 0 ,貝|x + 1| +|x 10|的值等B.9 2xA.2x 9二、填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分)11. tan300 ° cot765 的值是.sin a+ cos a12. 假設(shè) =2,貝U sin acosa 的值是sin a cos a13. 不等式|g20) 2cosx> 1 , (x (0, R)的解集為 _C.11D.914假設(shè)1B滿足cos 0> 2，那么角B的取值集合是15假設(shè)16.cos130 = a

26、,貝U tan50 =.1 xn，假設(shè) a(2 , n,貝y f(cosa + f( cosa可化簡為f(x)=三、解答題本大題共 5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 本小題總分值12分設(shè)一扇形的周長為 C(C> 0)，當(dāng)扇形中心角為多大時(shí)，它有最大 面積？最大面積是多少？P X,. 5 )，且 cos a18. (本小題總分值14分設(shè)90 °< a< 180 °角a的終邊上一點(diǎn)為承求sin a與tan a的值.19.(本小題總分值14分)n w艮n sin吐，4 2mcos0=亦，求m的值.20.(本小題總分值 15 分) 0

27、°< av 45° 且 lg(tan a) lg(sin a)= lg(cos a) lg(cot a) + 2lg332 lg2，求 cos3 a sin3 a 的值.21.(本小題總分值 15分)sin(5 n o)=2 cos(2 n+ ®和 3 cos( o)= 2 COS(n+ ®,且0< a< n 0< 3< n求a和B的值.三角函數(shù)一、選擇題本大題共 10小題，每題5分，共50分xB.y= cos21 坦 n2xD.y= 1 + tan2xB.它是偶函數(shù)1 以下函數(shù)中，最小正周期為 n的偶函數(shù)是A. y= si

28、n2xC.y= sin 2x+ cos2x 2.設(shè)函數(shù) y= cos(sinx),那么A.它的定義域是1, 1C.它的值域是C0S1, C0S1D.它不是周期函數(shù)3.把函數(shù)y= cosx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩n倍，然后把圖象向左平移4個(gè)單位.那么所得圖象表示的函數(shù)的解析式為A. y= 2si n2xB.y= 2si n2xnC.y= 2cos(2x+ 4 )x nD.y= 2cosg + 4)4.函數(shù)ny= 2sin(3x 4 )圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是A.2 nB. 23-sin a+ cos a= m,且一 2 wmv1，那么a角所在象限是B.第二象限 D.第四象限5 假設(shè)A.第一象限C.第三象限6.3 n函數(shù) y= |cotx| s-inx 0v xw 3 且 xn的圖象是設(shè) ycos2x1 + sinxA. y有最大值也有最小值C.y有最小值但無最大值n函數(shù) y= sin 43n A. k n- gnc. k 冗一 g ,9.A.2a + 1C. n4 nD 4no-下結(jié)論中正確D的選項(xiàng)是2x)的單調(diào)增區(qū)間是k H 3n : (k Z)1且一v av 0,那么函數(shù)B.2a 1B.y有最大值但無最小值D.y既無最大值又無最小值5 n k tH- g(k Z)(k Z)f(x) = cos2x 2asi