數學三角函數公式大全

1、1.與三角函數0°w v 360終邊相同的角的集合角與角 的終邊重合：y終邊在x軸上的角的集合:k 180 ,k Z4cosx終邊在y軸上的角的集合:18090 , k Z3si nx1cosx2si nxsi nx2終邊在坐標軸上的角的集合:90 , k Zcosx1cosx4 sinx|3終邊在y=x軸上的角的集合:18045 ,k ZSIN COS三角函數值大小關系圖360 ,k Z終邊在yx軸上的角的集合：| k18045 ,k Z假設角與角 的終邊關于x軸對稱，那么角與角的關系：360 k假設角與角的終邊關于y軸對稱，那么角與角的關系：360 k 180假設角與角的終邊在一

2、條直線上，那么角與角的關系：180 k角與角的終邊互相垂直，那么角與角的關系：360 k902.角度與弧度的互換關系：360 °2180 °1 ° =0.01745 1=57.30° =57° 18負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零注意：正角的弧度數為正數,1、2、3、4表示第一、 四象限一半所在區(qū)域三、弧度與角度互換公式:1rad= 180 ° 57.30° =57° 18'.0.01745 rad1803、弧長公式:1扇形面積公式：s扇形 -lr2| r24、三角函數:個任意角，在設曰 疋的終邊上任取

3、異于正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線：AT.7.三角函數的定義域:三角函數定義域f(x) si nxx | x Rf (x) cosxx | x Rf(x) tanxx |x R且x k 丄，k Z2f (x) cotxx |x RMx k , k Zf (x) secxx |x RMx k 丄，k Z2f (x) cscxx |x RMx k , k Z三角函數的公式：一根本關系公式組一sin x.2 2sinx cscx=1tanx=sin x+cos x=1cosxcosx , 2 2cosx secx=1L ：x=1+tan x =sec xsin x2 2tanx cotx=1

4、1+cot x=csc x公式組二sin (2kx)si nxcos(2kx)cosxtan(2kx)tanxcot(2kx)cotx公式組三sin( x)si nxcos( x)cosxtan( x)tanxcot( x)cotx8、冋角三角函數的根本關系式：sintancoscossintan cot 1 csc sin1seccos1.2 2,2sincos1 sectan212 csccot29、誘導公式：k把k的三角函數化為2的三角函數，概括為：“奇變偶不變，符號看象限cot16.幾個重要結論:(3)假設 o<x< 2,那么sin x<x<ta nxsin(x

5、)si nxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx公式組四sin (2x)sin xcos(2x)cosxtan(2x)tan xcot(2x)cot x公式組五sin(x)si nxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx公式組六cos()cos cossinsinsin 22 si ncoscos()cos cossinsincos22 cos2 sin2cos2211 2sin2二角與角之間的互換公式組一公式組sin()sin cos cos sintan2sin()sin cos cos sinsin2tan(tan tan1 tan tanc

6、os22ta n1 tan21 cos, 21 cos；2tan(tan tan1 tan tantan 2公式組四1 cossin1 cos；1 cos1 cossinsin2ta n 2sin1 tan2 2cos1 tan2 2coscossin1 tan2 2sin公式組三1 .cos sinsin21 sin sinsin21cos coscos21sincoscos2sin 2 sin cos2 21 cos(21sin(-tan(丄2cos(-2公式組五)sin)cos)cot) sin2ta n sintan22cos1 tan -2cossin 156cos756,tan 1

7、54sin 75 cos15sin2 cossin22cos2 cos-cos22cos2si nsin 22cot 7523,.tan 75 cot1523tan(12sin) cot)cos10.正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質:3/y sin xy cosxy tanxy cotxyAsin xA、 > 0定義域RRx| xRMx k 1，k Zxx RMx k ,k ZR值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函數偶函數奇函數奇函數當0,非奇非偶當0,奇函數2k 1 ,k,k 1上為減函7 2k ,2k kk2 2數k Z2k2(A),2k 上為增函上為增函數2

8、數k Z2k1上為增函2k ,2/ A(A)數；2k 1 單調性上為減函上為增函數；【2 2k ,數2k3k Z2(A),2k 22k3上為減函2數k Z(A)上為減函數k Z注意：ysinx與y sinx的單調性正好相反；反一般地，假設y f(x)在a,b上遞增減，那么cosx與y cosx的單調性也同樣相 f (x)在a, b上遞減增sin x與y cosx的周期是y sin( x )或 y cos( xo的周期tan -2的周期為2 TT n，如圖,n-翻折無效,1o!y sin( x )的對稱軸方程是Z，對稱中心k ,0； y cos(對稱軸方程是xk Z丨，對稱中心,o； ytan(

9、 x)的對稱中心y cos2x原點對稱cos( 2x) cos2x當tanta n1,2(k Z)；tantan1,k 2(k Z).cosx 與 ysin2k是同一函數，而y ( x)是偶函數，那么cos( x).x ) sin(函數y tanx在R上為增函數.x只能在某個單調區(qū)間單調遞增假設在整個定義域,y tan x為增函數，同樣也是錯誤的.曰心是定定義域關于原點對稱是 f (x)具有奇偶性的必要不充分條件 奇偶性的兩個條件:義域關于原點對稱奇偶都要，二是滿足奇偶性條件，偶函數：f( x) f(x)，奇函數：f( x) f(x)奇偶性的單調性：奇同偶反 例如：y tanx是奇函數，y t

10、an(x -)是非奇非偶定義域不關于原點對稱奇函數特有性質：假設 0 x的定義域，那么f (x) 一定有f (0) o. 0 x的定義域，那么無此性質y sinx不是周期函數;y |sinx為周期函數Ty= cos|x| 圖象y=|cos2x+1/21 圖象y COSX是周期函數如圖；y COSX為周期函數T 丨；y cos2x 1的周期為如圖，并非所有周期函數都有最小正周期，例如:2y f(x) 5 f (x k),k R. y a cos bsin .a2 b2 sin( ) cos b 有，a2 b2y .a三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.函數y= Asin3 x +

11、如的振幅|A| ,周期T 2-,頻率f丄LJ ,相位 X ；初相I IT 2即當x = 0時的相位.當A >0,3> 0時以上公式可去絕對值符號，由y = sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變， 縱坐標伸長當|A|> 1或縮短當Ov |A| v 1到原來的|A|倍，得到y(tǒng)= Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.用y/A 替換y由y = sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長0v|3 |v 1或縮短3 |> 1到原來的 山倍，得到y(tǒng) = sin 3 x的圖象，叫做 周期變換 或叫做沿x軸的伸縮變換.(用3 x替換x)由y= sinx的圖象上所有的

12、點向左 當$> 0或向右當(f)v 0平行移動丨$丨個單位， 得到y(tǒng)= sinx +如的圖象，叫做 相位變換或叫做沿x軸方向的平移.(用x+ $替換x)由y = sinx的圖象上所有的點向上 當b> 0或向下當bv 0平行移動丨b丨個單位， 得到y(tǒng)= sinx + b的圖象叫做沿y軸方向的平移.用y+(-b)替換y由y = sinx的圖象利用圖象變換作函數y = As in3 x+Q A > 0,w> 0 x R的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。高中數學三角函數常見習題類型及解法1. 三角函數恒等變形的根本策略。1常值

13、代換：特別是用“ 1 的代換，如 仁cos2 0 +sin 2 9 =tanx cotx=tan45 ° 等。2 項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin x+2 cos x=(s in x+cos x)+cos x=1+cos x ；酉己湊角：a =a + B一B, B =223降次與升次。4化弦切法。4引入輔助角。asin 0 +bcos 0 . a2 b2 sin( 0 + )，這里輔助角 所 在象限由a、b的符號確定，角的值由tan =b確定。a2. 證明三角等式的思路和方法。1思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化 為同一形式。2證明方法：綜合法、分析法、

14、比擬法、代換法、相消法、數學歸納法。3. 證明三角不等式的方法：比擬法、配方法、反證法、分析法，利用函數的 單調性，利用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。4. 解答三角高考題的策略。1發(fā)現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析2尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系。3合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。四、例題分析例 1. tan, 2，求1Si ;2sin2 sin .cos 2cos2的值.cossin1sin2解:cos sin1cos sincos1tan13 2 2 ;1sin1tan12cos(2)2 sinsin cos2 co

15、s22 sinsincos22 cossin2cos22sinsin2f運2coscos2 2242sin/2 1 cos2 13 .說明：利用齊次式的結構特點如果不具備，通過構造的方法得到，進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。例 2.求函數 y 1 sinx cosx (sin x cosx)2 的值域。解：設t sinx cosx 血sin(x n)血，那么原函數可化為4y t2 t 1 (t 丄)2 3，因為 t .2,2，所以2 4當t 2時，丫皿玄乂 32，當t 1時，ymin 3，24所以，函數的值域為y 3,3.2。4例 3.函數 f(x) 4sin2x 2sin 2x 2, x

16、 R。1求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此時x的集合；2證明：函數f(x)的圖像關于直線x 丄對稱。8解：f(x) 4si n2x 2si n 2x 2 2si nx 2(1 2si n2x)2sin2x 2cos2x 2.2 sin(2x n)(1)所以f(x)的最小正周期T n因為x R，所以，當2x n 2k4n n, 即x kn 歹時,f(x)最大值為2. 2 ;(2)證明：欲證明函數f(x)的圖像關于直線xn評稱，只要證明對任意x R,有f( n因為f (x)x)f(X)所以f(X)f( 82 2sin2(nx)n2、2sin(-2x)22cos2x ,8422、2si

17、n2(nx)-2、2sin(n2x)2、2cos2x ,842f( n x)成立，從而函數f(x)的圖像關于直線8x)成立,x -對稱。8例4.函數 y=cos2x+sinx cosx+1x R,2 21當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；2該函數的圖像可由y=sinx(x R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得 到？解：1y=cos2x+Msinx cosx+1 = 1 (2cos 2x 1)+ 丄+山2sinx -cosx22444+11 .,3515二一 cos2x+sin2x+二一(cos2x sin +sin2x cos )+44426641 .5=sin( 2x+)+ 2 64所

18、以y取最大值時，只需2x+=+2kn ,k Z，即x= +kn ,k乙。6 2 6所以當函數y取最大值時，自變量x的集合為x|x= +kn ,k Z62將函數y=sinx依次進行如下變換：i把函數y=sinx的圖像向左平移一，得到函數y=sin(x+)的圖像；6 61ii :把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的-倍縱坐標不變，得到2函數y=sin(2x+)的圖像；61iii 把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的 丄倍橫坐標不變，得到21函數y= sin(2x+)的圖像；2 6515iv丨把得到的圖像向上平移-個單位長度，得到函數y=-sin(2x+ )+上4264的圖像。綜上得到y(tǒng)=1 cos

19、2x+上3 sinxcosx+1的圖像。2 2說明：此題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數的圖像和性質。這類題一般有兩種解法：一是化成關于sinx,cosx的齊次式，降 幕后最終化成y= . a2 b2 sin ( 3 x+ )+k的形式，二是化成某一個三角函數的 二次三項式。此題1還可以解法如下：當cosx=0時，y=1 ；當cosx工0時,123.13丄cos x sinxcosxtan xy=22+1= 2+12 2 2sin x cos x1 tan x化簡得：2(y 1)tan 2x 3 tanx+2y 3=03 7 tanx & =3 8(y 1)(

20、2y 3) > 0,解之得：3 < y< 上4 4二ymax=-，此時對應自變量x的值集為x|x=k n +,k Z46例 5.函數 f(x) sin 仝 cos. 3cos2 .333I將f(x)寫成Asi n( x)的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；U如果 ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x 的范圍及此時函數f(x)的值域.32x3.2x.3cossin()232332人3k1z)得xk z解：1 . 2x 3“ 2X1 . 2x解：f (x) sin(1 cos ) sin -2 3232333332I由 si n(空一)=0 即空一k

21、(k即對稱中心的橫坐標為 也，k z2U由b2=accosx2 a2 cb22 a2 cac2ac ac12ac2ac2ac211,0 x2x5cosx3， 2333952xl2x3 si n(3|32|，sin3sin (二-)1，-)1 -933332即f (x)的值域為(：3,13.2綜上所述，x (0,，f(x)值域為O'3,1 .3 2說明：此題綜合運用了三角函數、余弦定理、根本不等式等知識，還需要利用數 形結合的思想來解決函數值域的問題，有利于培養(yǎng)學生的運算能力，對知識進行 整合的能力。3a c例6.在擊ABC中，a、b、c分別是角A B、C的對邊，且罰 (1)求sin B

22、的值;(2)假設b 4 2，且a=c,求§ABC的面積。cosC 3a c 亠 cosC 3sin A sinC 解：(1)由正弦定理及，有cosB bcosB sin B即 sin BcosC3sinAcosB sin CcosB，所以 sin(B C)3sin AcosB，又因為ABCn, si n(B C) si nA，所以 sin A3sin AcosB，因為 sin A1所以cosB 3，又0 Bn，所以 sin B . 1 cos2 B在占ABC中，由余弦定理可得a2 c2 |ac 32，又a c， 所以有4a232,即a224，所以£ ABC的面積為31 1

23、2fSacsin B a sin B 8 2。2 2三角函數一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分)1. 點P tana, cos a在第三象限，那么角a的終邊在A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限k n n,k n2. 集合 M = xX= 1 ± 4，k Z與 N = x|x= -，k Z之間的關系是A.MNB.NMC.M = ND.MAN =3 . 假設將分針撥慢十分鐘，那么分針所轉過的角度是 A.60 °B. 60°C.30°D. 30°4 .以下各角1787 °，(2) 957 °，(3) 28

24、9 °，(4)1711 :其中在第一象限的角()A. 1 2B. 2 3C. 1 35.設a< 0，角a的終邊經過點 P 3a, 4a，那么sin a+ 2cosa的值等于2D. 2 42B. 516.假設 cos( n+ a= 2n< a< 2 n,那么 sin(2 n a)等于3A. 27 假設a是第四象限角，A.第一象限角C.第三象限角&弧度數為2的圓心角所對的弦長也是1c. 2B.第二象限角D.第四象限角2,那么這個圓心角所對的弧長是A.22B. sin1C.2si n1D.si n2A 219. 如果sinx+ cosx= 5，且0v x<

25、n,那么cotx的值是a. - 3B.- 4 或-4C.- 4D. 4 或310 .假設實數 x 滿足 Iog2x = 2 + sin 0 ,貝|x + 1| +|x 10|的值等B.9 2xA.2x 9二、填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分)11. tan300 ° cot765 的值是.sin a+ cos a12. 假設 =2,貝U sin acosa 的值是sin a cos a13. 不等式|g20) 2cosx> 1 , (x (0, R)的解集為 _C.11D.914假設1B滿足cos 0> 2，那么角B的取值集合是15假設16.cos130 = a

26、,貝U tan50 =.1 xn，假設 a(2 , n,貝y f(cosa + f( cosa可化簡為f(x)=三、解答題本大題共 5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 本小題總分值12分設一扇形的周長為 C(C> 0)，當扇形中心角為多大時，它有最大 面積？最大面積是多少？P X,. 5 )，且 cos a18. (本小題總分值14分設90 °< a< 180 °角a的終邊上一點為承求sin a與tan a的值.19.(本小題總分值14分)n w艮n sin吐，4 2mcos0=亦，求m的值.20.(本小題總分值 15 分) 0

27、°< av 45° 且 lg(tan a) lg(sin a)= lg(cos a) lg(cot a) + 2lg332 lg2，求 cos3 a sin3 a 的值.21.(本小題總分值 15分)sin(5 n o)=2 cos(2 n+ ®和 3 cos( o)= 2 COS(n+ ®,且0< a< n 0< 3< n求a和B的值.三角函數一、選擇題本大題共 10小題，每題5分，共50分xB.y= cos21 坦 n2xD.y= 1 + tan2xB.它是偶函數1 以下函數中，最小正周期為 n的偶函數是A. y= si

28、n2xC.y= sin 2x+ cos2x 2.設函數 y= cos(sinx),那么A.它的定義域是1, 1C.它的值域是C0S1, C0S1D.它不是周期函數3.把函數y= cosx的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標擴大到原來的兩n倍，然后把圖象向左平移4個單位.那么所得圖象表示的函數的解析式為A. y= 2si n2xB.y= 2si n2xnC.y= 2cos(2x+ 4 )x nD.y= 2cosg + 4)4.函數ny= 2sin(3x 4 )圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是A.2 nB. 23-sin a+ cos a= m,且一 2 wmv1，那么a角所在象限是B.第二象限 D.第四象限5 假設A.第一象限C.第三象限6.3 n函數 y= |cotx| s-inx 0v xw 3 且 xn的圖象是設 ycos2x1 + sinxA. y有最大值也有最小值C.y有最小值但無最大值n函數 y= sin 43n A. k n- gnc. k 冗一 g ,9.A.2a + 1C. n4 nD 4no-下結論中正確D的選項是2x)的單調增區(qū)間是k H 3n : (k Z)1且一v av 0,那么函數B.2a 1B.y有最大值但無最小值D.y既無最大值又無最小值5 n k tH- g(k Z)(k Z)f(x) = cos2x 2asi