中南林業(yè)科技大學測量平差課件第1章測量誤差理論

1、誤差理論與測量平差基礎(chǔ)誤差理論與測量平差基礎(chǔ)誤差理論與測量平差基礎(chǔ)誤差理論與測量平差基礎(chǔ)教師：教師： 張張 坤坤 TEL： Q： 512245013 Email: zk_ 測繪工程測繪工程 教研室教研室課程介紹課程介紹 一、課程安排一、課程安排 64學時 理論+2周 課程設計 二、使用的教材二、使用的教材回顧測量學基本知識。（包括：測量、目的、方法。）可以對本課程有一初步了解。課程介紹課程介紹三、教學內(nèi)容三、教學內(nèi)容三、教學內(nèi)容三、教學內(nèi)容例例1一附合水準路線一附合水準路線,已知已知A、B兩點的高程，觀測高兩點的高程，觀測高差以及路線長如圖，求待定點差以及路線長如圖，

2、求待定點P的高程的高程?課程介紹課程介紹三、教學內(nèi)容三、教學內(nèi)容我們已學過的方法是：我們已學過的方法是：(1)(1)先計算高差閉合差；先計算高差閉合差；(2)(2)然后將高差閉合差與距離然后將高差閉合差與距離( (或測站數(shù)或測站數(shù)) )成正比反號成正比反號分配給每一段觀測高差上分配給每一段觀測高差上( (即計算改正數(shù)即計算改正數(shù)) )；(3)(3)再計算各段改正后的高差；再計算各段改正后的高差；(4)(4)利用改正后的高差去求待定點的高程。利用改正后的高差去求待定點的高程。以上稱以上稱”近似平差近似平差”。而本課程介紹的是而本課程介紹的是“嚴密平差嚴密平差”, ,其平差過程是有明其平差過程是有

3、明顯不同的顯不同的! !課程介紹課程介紹三、教學內(nèi)容三、教學內(nèi)容例例2 2如下圖水準路線，已知如下圖水準路線，已知A A點的高程，觀測高差以點的高程，觀測高差以及路線長均為已知，求各待定點的高程？及路線長均為已知，求各待定點的高程？課程介紹課程介紹誤差理論與測量平差基礎(chǔ)誤差理論與測量平差基礎(chǔ)緒論緒論誤差分布與精度指標誤差分布與精度指標協(xié)方差傳播律與權(quán)協(xié)方差傳播律與權(quán)平差數(shù)學模型與最小二乘原理平差數(shù)學模型與最小二乘原理法方程式的解算方法法方程式的解算方法控制網(wǎng)平差控制網(wǎng)平差分組平差分組平差誤差橢圓誤差橢圓平差系統(tǒng)的統(tǒng)計假設檢驗平差系統(tǒng)的統(tǒng)計假設檢驗自由網(wǎng)平差自由網(wǎng)平差三、教學內(nèi)容三、教學內(nèi)容課程

4、介紹課程介紹課程介紹課程介紹 四、怎樣學好測量平差四、怎樣學好測量平差 要有扎實的數(shù)學基礎(chǔ)。 抓住重點。 及時復習。 寄語：寄語：每個同學都能掌握一定的測量數(shù)據(jù)處理的技能，我們共同愉快的度過11周的學習!1-1 1-1 觀觀 測測 誤誤 差差1-2 1-2 偶然誤差的統(tǒng)計特性偶然誤差的統(tǒng)計特性1-3 1-3 衡量精度的指標衡量精度的指標1-4 1-4 精度與準確度精度與準確度本章教學內(nèi)容本章教學內(nèi)容p重點、難點重點、難點: : 誤差分誤差分類類及其處理方法；衡量精度的指標以及精度和及其處理方法；衡量精度的指標以及精度和準確度的聯(lián)系與區(qū)別。準確度的聯(lián)系與區(qū)別。p本章學習的目的要求本章學習的目的要

5、求: : 明確觀測誤差產(chǎn)生的原因；明確觀測誤差產(chǎn)生的原因；掌握誤差分類及其處理方法；掌握誤差分類及其處理方法；熟悉衡量精度的絕對指標和相對指標；熟悉衡量精度的絕對指標和相對指標；了解測量平差的任務和內(nèi)容。了解測量平差的任務和內(nèi)容。 第第1 1章章 測量誤差理論測量誤差理論n測量（觀測）：測量（觀測）：觀測者借助儀器在特定環(huán)境下觀測者借助儀器在特定環(huán)境下獲取測量對象物理或者幾何信息的活動。獲取測量對象物理或者幾何信息的活動。n 觀測數(shù)據(jù)如觀測數(shù)據(jù)如：距離，角度，高差等。：距離，角度，高差等。n 測量儀器：測量儀器：經(jīng)緯儀，全站儀，經(jīng)緯儀，全站儀，GPS接收機等。接收機等。1.1 1.1 觀測誤差

6、觀測誤差1.1.1 1.1.1 觀測條件與觀測誤差觀測條件與觀測誤差u觀測數(shù)據(jù)總是不可避免地帶有誤差的：觀測數(shù)據(jù)總是不可避免地帶有誤差的： 同一人丈量同一段距離同一人丈量同一段距離N N次，結(jié)果均不同；次，結(jié)果均不同； 觀測結(jié)果不能滿足其理論關(guān)系。觀測結(jié)果不能滿足其理論關(guān)系。u觀測誤差定義：觀測誤差定義：u觀測誤差產(chǎn)生的原因很多，概括起來有以下三種：觀測誤差產(chǎn)生的原因很多，概括起來有以下三種： 測量儀器、觀測者、外界條件測量儀器、觀測者、外界條件, ,又稱為又稱為“觀測條件觀測條件”。LL 觀測值獲取離不開以下觀測條件：觀測值獲取離不開以下觀測條件：觀測條件觀測條件 觀測者觀測者 儀器儀器 外

7、界環(huán)境外界環(huán)境 感覺器官的感覺器官的局限、技術(shù)局限、技術(shù)水平、工作水平、工作態(tài)度態(tài)度 儀器分辨儀器分辨能力；具能力；具有一定限有一定限度的精密度的精密度度 溫度、濕度、溫度、濕度、風力風力 、大氣、大氣折光及變化折光及變化等等 結(jié)論結(jié)論1 1： 觀測條件對觀測成果產(chǎn)生影響，不可避免產(chǎn)生觀測誤差。觀測條件對觀測成果產(chǎn)生影響，不可避免產(chǎn)生觀測誤差。即：觀測誤差是不可避免的！即：觀測誤差是不可避免的！結(jié)論結(jié)論2 2： 觀測條件的好壞與觀測成果的質(zhì)量有著密切的聯(lián)系。觀測條件的好壞與觀測成果的質(zhì)量有著密切的聯(lián)系。觀測條件較好則觀測質(zhì)量較高；觀測條件較好則觀測質(zhì)量較高；觀測條件較差則觀測質(zhì)量較低；觀測條件

8、較差則觀測質(zhì)量較低；觀測條件相同則觀測質(zhì)量相同。觀測條件相同則觀測質(zhì)量相同。 1.1.2 1.1.2 觀測誤差產(chǎn)生的原因觀測誤差產(chǎn)生的原因 觀測誤差產(chǎn)生原因很多，概括起來，有以下三個方面的原因。觀測誤差產(chǎn)生原因很多，概括起來，有以下三個方面的原因。1 1、觀測者的原因、觀測者的原因 2 2、儀器的原因、儀器的原因3 3、外界條件的原因、外界條件的原因人的感覺器官的鑒別力不是很完善、準確。人的感覺器官的鑒別力不是很完善、準確。每一種儀器只具有一定的精密度。每一種儀器只具有一定的精密度。外界條件是不斷變化的。外界條件是不斷變化的。1.1.3 1.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其

9、處理方法nsg觀測誤差觀測誤差 粗粗 差差 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 偶然誤差偶然誤差 根據(jù)觀測誤差對測量結(jié)果的影響性質(zhì)，可分為以下三類：根據(jù)觀測誤差對測量結(jié)果的影響性質(zhì)，可分為以下三類：1 1、粗差、粗差產(chǎn)生的主要原因：產(chǎn)生的主要原因： 作業(yè)人員的疏忽大意、失職而引起的，如讀錯、記錯、瞄錯作業(yè)人員的疏忽大意、失職而引起的，如讀錯、記錯、瞄錯目標、計算機輸入數(shù)據(jù)錯誤、控制網(wǎng)起始數(shù)據(jù)錯誤等。目標、計算機輸入數(shù)據(jù)錯誤、控制網(wǎng)起始數(shù)據(jù)錯誤等。發(fā)現(xiàn)、剔除粗差的方法：發(fā)現(xiàn)、剔除粗差的方法： 進行必要的重復測量或多余觀測，采用必要而又嚴格的檢核、進行必要的重復測量或多余觀測，采用必要而又嚴格的檢核、驗算等，發(fā)現(xiàn)后

10、舍棄或重測驗算等，發(fā)現(xiàn)后舍棄或重測 。概念：概念： 粗差即粗大誤差，或者說是一種大量級的觀測誤差，是由于粗差即粗大誤差，或者說是一種大量級的觀測誤差，是由于測量過程中的差錯造成的。測量過程中的差錯造成的。2 2、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差概念：概念： 在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出一致性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為一常數(shù)，這種誤差一致性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為一常數(shù)，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差就稱為系統(tǒng)誤差。產(chǎn)生原因：產(chǎn)生原因： 由于儀器構(gòu)造有缺限或檢驗校正不嚴格而產(chǎn)生的，它的變化

11、有一定的規(guī)由于儀器構(gòu)造有缺限或檢驗校正不嚴格而產(chǎn)生的，它的變化有一定的規(guī)律。例如：鋼尺量距時，鋼尺尺長誤差引起的量距誤差與所測距離長度成律。例如：鋼尺量距時，鋼尺尺長誤差引起的量距誤差與所測距離長度成正比增加；水準測量的正比增加；水準測量的i角誤差等?？梢娫撜`差具有累積性！角誤差等?？梢娫撜`差具有累積性！消除或削弱的方法：消除或削弱的方法： 采取合理的操作程序（正、倒鏡，中間法，對向觀測等）；用公式改正，采取合理的操作程序（正、倒鏡，中間法，對向觀測等）；用公式改正，即加改正數(shù)。即加改正數(shù)。3 3、偶然誤差、偶然誤差概念：概念： 在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表在相

12、同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差,也叫隨機誤差。也叫隨機誤差。產(chǎn)生的原因：產(chǎn)生的原因： 偶然誤差產(chǎn)生的原因很多，往往難以預知和控制。如空氣不穩(wěn)定、被觀偶然誤差產(chǎn)生的原因很多，往往難以預知和控制。如空氣不穩(wěn)定、被觀測目標的亮度較差、儀器本身構(gòu)造不嚴密或無法完善；觀測者的感覺器官測目標的亮度較差、儀器本身構(gòu)造不嚴密或無法完善；觀測

13、者的感覺器官受一定的限制等等，均會使觀測值有時大于被觀測量的真值，有時又小于受一定的限制等等，均會使觀測值有時大于被觀測量的真值，有時又小于被觀測量的真值?？梢?，偶然誤差是不可避免的！被觀測量的真值。可見，偶然誤差是不可避免的！采取措施：采取措施： 處理帶有偶然誤差的觀測值，就是本課程的內(nèi)容，也叫做測量平差。處理帶有偶然誤差的觀測值，就是本課程的內(nèi)容，也叫做測量平差。1.1.4 1.1.4 測量平差的任務測量平差的任務n 測量平差兩大任務：測量平差兩大任務：1 1、削弱誤差的影響，消除由于誤差引起的觀測值之間的矛盾，、削弱誤差的影響，消除由于誤差引起的觀測值之間的矛盾，計算觀測值最佳估值；計算

14、觀測值最佳估值；2 2、對觀測值成果質(zhì)量進行評估。、對觀測值成果質(zhì)量進行評估。即測量平差兩大任務：求待定量的最佳估值和精度評定。即測量平差兩大任務：求待定量的最佳估值和精度評定。1.2 1.2 偶然誤差的統(tǒng)計特性偶然誤差的統(tǒng)計特性v 幾個概念：幾個概念： 真值：真值：任一觀測量，客觀上總是存在一個能代表其真正大小的數(shù)值，這一數(shù)值就稱為該觀測值真值真值，用 表示。 真誤差：真誤差：真值與觀測值之差（偶然誤差），即： 真誤差（）= 真值（ ） - 觀測值（ ）LLLp測量平差研究對象是偶然誤差,為此,有必要對偶然誤差的性質(zhì)作進一步的分析研究。真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形真值一般情況下

15、是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如：下，是可以知道的，如：1 1）三角形內(nèi)角和等于）三角形內(nèi)角和等于180180度；度；2 2）閉合水準路線高差閉合差等于零；）閉合水準路線高差閉合差等于零；3 3）往返測量一段距離，其差數(shù)的真值等于零。）往返測量一段距離，其差數(shù)的真值等于零。 當觀測值只含有偶然誤差時，其數(shù)學期望就等于真值，當觀測值只含有偶然誤差時，其數(shù)學期望就等于真值，即：即： 真誤差（真誤差（）= = 數(shù)學期望（數(shù)學期望（ ） - - 觀測值（觀測值（ ） 殘差（改正數(shù)）：殘差（改正數(shù)）： 改正數(shù)（改正數(shù)（V V）= = 平差值（平差值（ ） - - 觀測值（觀測值（ ）LL

16、( )E LLn大量實踐證明：大量偶然誤差的分布呈現(xiàn)出一大量實踐證明：大量偶然誤差的分布呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律。定的統(tǒng)計規(guī)律。 在相同觀測條件下，獨立觀測了在相同觀測條件下，獨立觀測了358358個三角形的全部內(nèi)角，三個三角形的全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的真誤差角形內(nèi)角和的真誤差 i i由下式計算：由下式計算： i i= 180= 1800 0 - -（ i i + + i i+ + i i）其結(jié)果按誤差區(qū)間其結(jié)果按誤差區(qū)間0.20.2秒間隔、數(shù)值大小及符號進行排列（見秒間隔、數(shù)值大小及符號進行排列（見表）。表）。據(jù)此，分析三角形內(nèi)角和的誤差據(jù)此，分析三角形內(nèi)角和的誤差 i的的規(guī)律。規(guī)律。1.2.1

17、 1.2.1 三角形閉合差的例子三角形閉合差的例子WWWWWWWWWWWWWW先按大小排列；先按大小排列；再以再以0.2秒?yún)^(qū)間分區(qū)，統(tǒng)計各區(qū)間個數(shù)；秒?yún)^(qū)間分區(qū)，統(tǒng)計各區(qū)間個數(shù)；計算該區(qū)間概率，并列表。計算該區(qū)間概率，并列表。表表1-2-11-2-1偶然誤差分布表偶然誤差分布表誤差區(qū)間誤差區(qū)間0.0000.400.600.600.800.801.001.0001.401.601.60以上以上 為負值為負值個數(shù)個數(shù) 頻率頻率45 0.12640 0.11233 0.09223 0.06417 0.04713 0.0366 0.0174 0.0110 0

18、181 0.505 為正值為正值個數(shù)個數(shù) 頻率頻率46 0.12841 0.11533 0.09221 0.05916 0.04513 0.0365 0.0142 0.0060 0177 0.495 誤差絕對值誤差絕對值個數(shù)個數(shù) 頻率頻率91 0.25481 0.22666 0.18444 0.12333 0.09226 0.07211 0.0316 0.0170 0358 1.000p從表中看出：從表中看出：絕對值最大不超過某一限值（絕對值最大不超過某一限值（1.61.6秒）；秒）；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的個數(shù)多；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的個數(shù)多；絕對值相等的正、負誤差

19、出現(xiàn)個數(shù)大致相等。絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)個數(shù)大致相等。p大量的測量實踐證明，在其它測量結(jié)果中，也都顯大量的測量實踐證明，在其它測量結(jié)果中，也都顯示出上述同樣的統(tǒng)計規(guī)律。示出上述同樣的統(tǒng)計規(guī)律。誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表表達，還可用直方表達，還可用直方圖圖來來表達。表達。v一定的觀測條件對應著一種確定的誤差分布。一定的觀測條件對應著一種確定的誤差分布。當誤差個數(shù)無限增大時，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成當誤差個數(shù)無限增大時，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的曲線：一條光滑的曲線：n該圖同樣可以說明觀測誤差特性，稱為該圖同樣可以說明觀測誤差特性，稱為“誤

20、差分布曲線誤差分布曲線”。v可見：可見： 當當不同時，曲線位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化不同時，曲線位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化。根據(jù)高斯推證，多數(shù)情況下偶然誤差是服從均值為零的正態(tài)分布的隨根據(jù)高斯推證，多數(shù)情況下偶然誤差是服從均值為零的正態(tài)分布的隨機變量，則其分布密度函數(shù)為：機變量，則其分布密度函數(shù)為：服從正態(tài)分布的誤差也稱高斯誤差，不同觀測條件，對應著不同誤差服從正態(tài)分布的誤差也稱高斯誤差，不同觀測條件，對應著不同誤差分布分布2221( )2fe lim0( )0 xEn 或1.2.2 1.2.2 偶然誤差的統(tǒng)計特性偶然誤差的統(tǒng)計特性p用概率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：用概

21、率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測條件下，誤差絕對值有一定限值（有限性）；、一定觀測條件下，誤差絕對值有一定限值（有限性）；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)概率大（漸、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)概率大（漸降性）；降性）；3、絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)概率相同（對稱性）；、絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)概率相同（對稱性）；4、偶然誤差的數(shù)學期望為零（抵償性）：、偶然誤差的數(shù)學期望為零（抵償性）：n以上分析可知：以上分析可知：1）觀測誤差呈現(xiàn)偶然性；）觀測誤差呈現(xiàn)偶然性；2）偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律）偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律；（均值為零的正態(tài)；（均值為零的正態(tài)隨機分變量）隨機分變量

22、）n測量平差任務之一：評定測量成果精度。測量平差任務之一：評定測量成果精度。 上一節(jié)內(nèi)容回顧：偶然誤差分布表偶然誤差分布表誤差區(qū)間誤差區(qū)間0.0000.400.600.600.800.801.001.0001.401.601.60以上以上 為負值為負值個數(shù)個數(shù) 頻率頻率45 0.12640 0.11233 0.09223 0.06417 0.04713 0.0366 0.0174 0.0110 0 181 0.505 為正值為正值個數(shù)個數(shù) 頻率頻率46 0.12841 0.11533 0.09221 0.05916 0.04513 0.0365 0.

23、0142 0.0060 0177 0.495 誤差絕對值誤差絕對值個數(shù)個數(shù) 頻率頻率91 0.25481 0.22666 0.18444 0.12333 0.09226 0.07211 0.0316 0.0170 0358 1.000 lim0( )0 xEn 或p用概率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：用概率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測條件下，誤差絕對值有一定限值（有限性）；、一定觀測條件下，誤差絕對值有一定限值（有限性）；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)概率大（漸、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)概率大（漸降性）；降性）；3、絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)概率相同（對稱

24、性）；、絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)概率相同（對稱性）；4、偶然誤差的數(shù)學期望為零（抵償性）：、偶然誤差的數(shù)學期望為零（抵償性）：誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表表達，還可用直方表達，還可用直方圖圖來來表達。表達。v一定的觀測條件對應著一種確定的誤差分布。一定的觀測條件對應著一種確定的誤差分布。n誤差分布曲線：誤差分布曲線：1.3 1.3 衡量精度的指標衡量精度的指標1.3.1 1.3.1 觀測條件與觀測精度觀測條件與觀測精度1 1、觀測條件、觀測條件：指測量過程中的觀測者、儀器、外界條件的綜合。：指測量過程中的觀測者、儀器、外界條件的綜合。 一定的觀測條件，對應著

25、一個確定的誤差分布；一定的觀測條件，對應著一個確定的誤差分布；p可見：可見： 分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測精度高些，也就是分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測精度高些，也就是觀測條件好；另一條說明誤差分布較為離散或者說它的離散度大，也即觀測觀測條件好；另一條說明誤差分布較為離散或者說它的離散度大，也即觀測條件差。條件差。2 2、觀測精度、觀測精度： 是指一組偶然誤差分布的是指一組偶然誤差分布的密集密集與與離散離散的程度，是觀測值的程度，是觀測值與其與其期望值期望值接近的程度，表征觀測結(jié)果偶然誤差大小的程度接近的程度，表征觀測結(jié)果偶然誤差大小的程度。密密 集集

26、離離 散散數(shù)學期望：反映隨機變量數(shù)學期望：反映隨機變量集中位置集中位置的數(shù)字特征；的數(shù)字特征；方差：反映隨機變量方差：反映隨機變量偏離偏離集中位置的離散程度；集中位置的離散程度；1 1、方差、方差 由數(shù)理統(tǒng)計學可知，隨機變量由數(shù)理統(tǒng)計學可知，隨機變量X X的方差定義為：的方差定義為：dxXfXEXXEXEX)()()(222觀測值觀測值L L和觀測誤差均為隨機變量，因此其方差為和觀測誤差均為隨機變量，因此其方差為22222( )()( )()LLDELE LEDEEEu當觀測值只含當觀測值只含偶然誤差偶然誤差時，任一時，任一觀測值觀測值的方差與的方差與觀測誤差觀測誤差的方的方差是相同的。差是相

27、同的。LLEE)(; 0)(1.3.2 1.3.2 衡量精度的指標衡量精度的指標nEDnlim)()(222()limnEn2nn和p可見：可見：中誤差不是代表中誤差不是代表個別誤差個別誤差的大小，而是代表誤差分布的離散的大小，而是代表誤差分布的離散度的大小；度的大??；中誤差越小，說明絕對值較小的誤差越多！中誤差越小，說明絕對值較小的誤差越多！由由數(shù)學期望定義，數(shù)學期望定義，方差（或標準差）又可表示為：方差（或標準差）又可表示為：和和實際工作中，由于觀測個數(shù)有限的，故可求得方差或標準實際工作中，由于觀測個數(shù)有限的，故可求得方差或標準差的差的估值估值：2 2、平均誤差、平均誤差 定義定義：在一定

28、的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的：在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數(shù)學期望，稱為平均誤差，并以數(shù)學期望，稱為平均誤差，并以表示，即表示，即()limnEn n245524平均誤差和中誤差的理論關(guān)系式平均誤差和中誤差的理論關(guān)系式n可見，不同大小的平均誤差，對應著不同的中誤差，也就對可見，不同大小的平均誤差，對應著不同的中誤差，也就對應著不同的誤差分布。即說明也可應用平均誤差作為衡量精度應著不同的誤差分布。即說明也可應用平均誤差作為衡量精度的指標。的指標。3 3、或然誤差、或然誤差 定義：定義：觀測誤差落入正、負或然誤差之間的概率恰好等于觀測誤差落入正、負或然誤差之間的概率恰

29、好等于1/21/2，即即1()2fd ( )f 1414CC12誤差的概率分布曲線：誤差的概率分布曲線：3 3、或然誤差、或然誤差或然誤差與中誤差的關(guān)系：或然誤差與中誤差的關(guān)系：20.6745331.48262實際或然誤差得到方法：實際或然誤差得到方法：1 1）將相同條件下得到一組誤差，排列，取中間或中間兩個的）將相同條件下得到一組誤差，排列，取中間或中間兩個的平均數(shù)；平均數(shù)；2 2）先求中誤差，然后用上述公式求得。）先求中誤差，然后用上述公式求得。例例1：設有一列等精度觀測真誤差，按絕對值遞增順序排列與設有一列等精度觀測真誤差，按絕對值遞增順序排列與下表。試計算其中誤差、平均誤差以及或然誤差

30、。下表。試計算其中誤差、平均誤差以及或然誤差。序號123456789真誤差（秒）-0.1+0.4+1.2 +1.2+1.8+1.9+2.6-4.7-5.1序號101112131415161718真誤差（秒）+5.6-7.2+8.9 +9.6-9.7+9.8+9.9-10.0-10.3解：解：26.725.5624.483nn p不難看出不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差中誤差作為精度指標。中誤差、平均誤差以及或然誤差都可以作為衡量精度的指標；中誤差、平均誤差以及或然誤差都可以作為衡量精度的指標；但當?shù)攏不大時，中誤差比平均誤差能更靈敏地反映大的真誤差不大時，中誤差比平均誤差能更

31、靈敏地反映大的真誤差的影響；或然誤差又可由中誤差求得；的影響；或然誤差又可由中誤差求得；計算時，精度指標通常取計算時，精度指標通常取2-3個有效數(shù)字，數(shù)值后面要寫上對個有效數(shù)字，數(shù)值后面要寫上對應單位！應單位！4 4、極限誤差、極限誤差定義：定義：通常將三倍（或兩倍）的中誤差作為極限誤通常將三倍（或兩倍）的中誤差作為極限誤差，即差，即23限限，或().().().PPP 68 32295 53399 7確定極限誤差依據(jù)：確定極限誤差依據(jù)：概率理論和大量實踐統(tǒng)計證明，大概率理論和大量實踐統(tǒng)計證明，大量同精度觀測的一組誤差中誤差落在各區(qū)間的概率為量同精度觀測的一組誤差中誤差落在各區(qū)間的概率為測量工

32、作中，極限誤差是保證工程質(zhì)量的一個重要的定量信息測量工作中，極限誤差是保證工程質(zhì)量的一個重要的定量信息！5 5、相對誤差、相對誤差 定義：定義：中誤差與觀測值之比，即中誤差與觀測值之比，即相對誤差是一個無名數(shù)，為方便計，通常將分子化為相對誤差是一個無名數(shù)，為方便計，通常將分子化為1 1，即，即 1/T 1/T 的形式。的形式。相對誤差是用來衡量長度精度的一種指標。相對誤差是用來衡量長度精度的一種指標。相對誤差又分為相對中誤差，相對真誤差，相對極限誤差相對誤差又分為相對中誤差，相對真誤差，相對極限誤差。1T中誤差觀測值例例2 2：用鋼卷尺丈量用鋼卷尺丈量200m200m和和40m40m兩段距離，

33、量距的中誤差都是兩段距離，量距的中誤差都是2cm2cm，問兩者的精度是否相同？，問兩者的精度是否相同？解：根據(jù)相對中誤差定義，得根據(jù)相對中誤差定義，得 前者的相對中誤差為：前者的相對中誤差為： 0 00202200 200 1 11000010000 后者相對中誤差則為：后者相對中誤差則為： 0 002024040l l20002000u故前者的量距精度高于后者。故前者的量距精度高于后者。思考：思考：1）對于相同中誤差但角值大小不等的情況，其精度又怎樣？對于相同中誤差但角值大小不等的情況，其精度又怎樣？2）導線測量中規(guī)范規(guī)定的相對閉合差不超過）導線測量中規(guī)范規(guī)定的相對閉合差不超過1/2000，

34、指的是何，指的是何種誤差？種誤差？衡量精度指標衡量精度指標中誤差中誤差平均誤差平均誤差或然誤差或然誤差極限誤差極限誤差相對誤差相對誤差絕對誤差絕對誤差為了工作方便，需要引入一個新的指標為了工作方便，需要引入一個新的指標-權(quán)。權(quán)。相對指標相對指標1.3.3 1.3.3 權(quán)與協(xié)因數(shù)權(quán)與協(xié)因數(shù)方差是表征精度的一個方差是表征精度的一個絕對絕對指標；指標；自然，方差之間的比例關(guān)系也可比較各觀測值之間自然，方差之間的比例關(guān)系也可比較各觀測值之間的精度；的精度；表示各觀測值方差之間表示各觀測值方差之間比例關(guān)系比例關(guān)系的數(shù)字特征稱之為的數(shù)字特征稱之為權(quán)權(quán)，故權(quán)是表征精度的，故權(quán)是表征精度的相對的數(shù)字指標相對的

35、數(shù)字指標。1 1、權(quán)、權(quán)定義：定義：設有觀測值設有觀測值L Li i（i=1i=1，22，n n）的方差為）的方差為i i2 2，如選任一常數(shù)如選任一常數(shù)C C，則定義：，則定義： 并稱并稱P Pi i為觀測值為觀測值L Li i的權(quán)。的權(quán)。2iiCPp不難看出不難看出權(quán)與方差成反比；權(quán)與方差成反比；權(quán)是表征觀測值之間的相對精度指標（權(quán)是不唯一權(quán)是表征觀測值之間的相對精度指標（權(quán)是不唯一的，的，單個權(quán)單個權(quán)沒意義的）；沒意義的）；對同一問題中，為使權(quán)能起到比較精度高低的作用，對同一問題中，為使權(quán)能起到比較精度高低的作用，C C應取同一定值應取同一定值（否則就破壞了權(quán)間的比例關(guān)系）。（否則就破壞

36、了權(quán)間的比例關(guān)系）?！皢挝粰?quán)單位權(quán)”的定義：的定義：等于等于1 1的權(quán)為的權(quán)為單位權(quán)單位權(quán)。對應的觀測值為對應的觀測值為單位權(quán)觀測值。單位權(quán)觀測值。對應觀測值的中誤差稱為對應觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差。u可見：可見：權(quán)定義中，權(quán)定義中，C C稱為單位權(quán)方差稱為單位權(quán)方差, ,記為記為0 02 2。（該值一經(jīng)。（該值一經(jīng)選定，就有具體含義了）選定，就有具體含義了）u幾個概念：幾個概念：例例3 3：已知兩個觀測值的中誤差為已知兩個觀測值的中誤差為1 1=2cm=2cm、2 2=4cm=4cm，試確定它們的權(quán)。，試確定它們的權(quán)。解：（1）設0=2cm， 則： p1=02/12=1 p

37、2=02/22=1/4。 （2）設0=1cm，則 p1=02/12=1/4 p2=02/22=1/16。u思考：思考：兩種解法，得出怎樣結(jié)論？兩種解法，得出怎樣結(jié)論？例例4 4：在邊角網(wǎng)中，已知測角中誤差為在邊角網(wǎng)中，已知測角中誤差為1.01.0，測邊的中誤，測邊的中誤差為差為2.02.0厘米，試確定它們的權(quán)。厘米，試確定它們的權(quán)。解：設解：設0 0= = =1.0=1.0 則由權(quán)定義得：則由權(quán)定義得： 2022220221(1 )0.25( /)(2)ssppcmcmv說明了權(quán)有時是有量綱的。說明了權(quán)有時是有量綱的。2 2、協(xié)因數(shù)、協(xié)因數(shù) 定義：定義：協(xié)因數(shù)就是權(quán)倒數(shù)，用協(xié)因數(shù)就是權(quán)倒數(shù)，用

38、Q Qiiii表示。表示。即：2201iiiiiQp2200iiiiiiQQ表明：表明： 任一觀測值的方差總是等于單位權(quán)方差與該觀測值協(xié)因數(shù)任一觀測值的方差總是等于單位權(quán)方差與該觀測值協(xié)因數(shù)（權(quán)倒數(shù)）的乘積。（權(quán)倒數(shù)）的乘積?；颍夯颍簎歸納上述：對單個觀測量精度，可用方差描述；對單個觀測量精度，可用方差描述；對由若干觀測量構(gòu)成對由若干觀測量構(gòu)成向量向量，又該怎樣表示其精度，又該怎樣表示其精度呢？呢？1 1、協(xié)方差陣、協(xié)方差陣 設有設有n n維隨機變量維隨機變量 ，描述其精度的方差陣，描述其精度的方差陣的定義為的定義為121TnnXXXX( )( ) nnnnnTnnxx xx xx xxx x

39、x xx xxEXE XXE XXXD11212 122122221.3.4 1.3.4 方差方差- -協(xié)方差陣、協(xié)因數(shù)陣與權(quán)陣協(xié)方差陣、協(xié)因數(shù)陣與權(quán)陣( )( ) TnnEXE XXE XXXD()()()()()()nnnnxE xxE xExE xxE xxE xxE x11221122()() ()()()()()() ()()()()()() ()()()()nnnnnnnnnnnnxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE xxE x111111221122112222221122nnnnnx

40、x xx xx xxx xx xx xx11212 12212222可以得到：可以得到：p不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個特點不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個特點： D DXXXX是一個是一個n n* *n n的對稱的方陣；的對稱的方陣； D DXX XX 中的主對角線上的各元素中的主對角線上的各元素xixi2 2 為為 X Xi i 的方差；非主的方差；非主對角線中的元素對角線中的元素 xi xjxi xj為為 X Xi i 關(guān)于關(guān)于 X Xj j 的的協(xié)方差協(xié)方差，是描，是描述述 X Xi i 與與 X Xj j 之間相關(guān)性的量；之間相關(guān)性的量； 協(xié)方差估值計算公式：協(xié)方差估值計算公式： 方差

41、陣方差陣 D DXX XX 也稱方差也稱方差協(xié)方差陣，簡稱為協(xié)方差陣，簡稱為方差陣方差陣或或協(xié)方協(xié)方差陣差陣； D DXXXX是描述觀測是描述觀測向量向量的精度指標。它不僅給出了各觀測值的精度指標。它不僅給出了各觀測值的方差，而且還給出了其中兩兩觀測值之間的協(xié)方差即的方差，而且還給出了其中兩兩觀測值之間的協(xié)方差即相關(guān)程度。相關(guān)程度。ijijn 當當 時，表示兩個隨機變量互不相關(guān)。當時，表示兩個隨機變量互不相關(guān)。當x xi i、x xj j均為正態(tài)隨機變量時，表示兩個隨機變量互相均為正態(tài)隨機變量時，表示兩個隨機變量互相獨立。獨立。0 xxji當當n n維隨機向量中任意兩個隨機變量均為互不相關(guān)時維

42、隨機向量中任意兩個隨機變量均為互不相關(guān)時, ,則則ijij=0 (ij)=0 (ij)。此時方差陣。此時方差陣DxDx即變?yōu)閷顷嚰醋優(yōu)閷顷? : 22221.00.0.00.0nxD 互協(xié)方差陣定義互協(xié)方差陣定義：如果有兩組觀測向量：如果有兩組觀測向量 和和 ，并記，并記 則則Z Z的方差陣為的方差陣為 其中其中D DXXXX和和D DYYYY分別為分別為X X和和Y Y的協(xié)方差陣、而的協(xié)方差陣、而D DXYXY為為X X關(guān)于關(guān)于Y Y的的互協(xié)互協(xié)方差陣方差陣 且有且有rY1()nrXZY 1() ()xxXYn nn rzznrnrYXYYr nr rDDDDDrrnnnrx yx yx

43、 yx yxyxyXYx yx yx yD1 11212121222( )( ) TTXYYXDEXE XYE YDnX1 互互協(xié)方差陣中的元素均為協(xié)方差陣中的元素均為協(xié)方差協(xié)方差；互協(xié)方差陣互協(xié)方差陣D DXYXY于于D DYXYX互為互為轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置；若若D DXYXY=0=0，則稱，則稱X X與與Y Y是相互獨立的觀測是相互獨立的觀測向量向量；互協(xié)方差陣是表征兩組觀測向量間兩兩觀測值相關(guān)互協(xié)方差陣是表征兩組觀測向量間兩兩觀測值相關(guān)程度的指標；互協(xié)方差陣一般程度的指標；互協(xié)方差陣一般不是方陣不是方陣；當當X X和和Y Y的維數(shù)的維數(shù)n=r=1n=r=1時，互協(xié)方差陣就是時，互協(xié)方差陣就是X X

44、關(guān)于關(guān)于Y Y的協(xié)的協(xié)方差。方差。p關(guān)于互協(xié)方差陣的說明：關(guān)于互協(xié)方差陣的說明：例題4：在測站在測站D上，用方向法觀測了上，用方向法觀測了A,B,C三個方向，得三個方向，得10個測回方向值，試求方向觀測值的方差和協(xié)方差。個測回方向值，試求方向觀測值的方差和協(xié)方差。 a b c000000000000000000002 8 4 7 2 94 7 1 8 1 96 9 5 0 3 42 8 4 7 3 44 7 1 8 2 06 9 5 0 3 52 8 4 7 2 84 7 1 8 1 86 9 5 0 3 32 8 4 7 3 34 7 1 8 1 76 9 5 0 3 52 8 4 7 3

45、54 7 1 8 2 46 9 5 0 3 12 8 4 7 3 54 7 1 8 1 86 9 5 0 3 02 8 4 7 3 14 7 1 8 1 600000000006 9 5 0 2 92 8 4 7 2 94 7 1 8 2 56 9 5 0 3 22 8 4 7 2 74 7 1 8 1 96 9 5 0 3 22 8 4 7 3 24 7 1 8 1 86 9 5 0 3 72.2.協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣 互協(xié)因數(shù)（相關(guān)權(quán)倒數(shù)）互協(xié)因數(shù)（相關(guān)權(quán)倒數(shù)）對于兩個隨機變量之間的互協(xié)因數(shù)，可表示為對于兩個隨機變量之間的互協(xié)因數(shù)，可表示為 ： 協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣Q QXXXX 將將t t維隨機

46、向量維隨機向量X X的方差陣的方差陣D DXXXX，乘以一個純量因子，乘以一個純量因子1/ 1/ 0 02 2，則，則得協(xié)因數(shù)陣得協(xié)因數(shù)陣Q QXXXX，即：，即：20ijijQ21112222000111212222222200202201ttttXXtttQQQQQQDQ對對稱稱p關(guān)于協(xié)因數(shù)陣的幾點說明關(guān)于協(xié)因數(shù)陣的幾點說明協(xié)因數(shù)陣同協(xié)方差陣一樣，是一個協(xié)因數(shù)陣同協(xié)方差陣一樣，是一個對稱方陣對稱方陣；主對角線元素主對角線元素Q Qiiii為隨機變量為隨機變量XiXi的的協(xié)因數(shù)協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒數(shù)；，即權(quán)倒數(shù)；非主對角線元素非主對角線元素Q Qijij(ij(ij）則為）則為XiXi關(guān)于關(guān)于Xj

47、Xj的的互協(xié)因數(shù)互協(xié)因數(shù)，是比較觀測值之間相關(guān)程度的一種指標。是比較觀測值之間相關(guān)程度的一種指標?；f(xié)因數(shù)陣定義：互協(xié)因數(shù)陣定義：對于對于則有協(xié)因數(shù)陣則有協(xié)因數(shù)陣1() 11tt rrXZYXXXYYXYYQQQQZZ Qv其中非主對角線元素稱其中非主對角線元素稱X X關(guān)于關(guān)于Y Y的互協(xié)因數(shù)陣的互協(xié)因數(shù)陣。例例5 5：已知觀測向量已知觀測向量L L的協(xié)因數(shù)陣為：的協(xié)因數(shù)陣為：試求觀測向量試求觀測向量L L的權(quán)陣的權(quán)陣P P及觀測值及觀測值L L1 1、L L2 2的權(quán)的權(quán)。4 4、權(quán)陣、權(quán)陣定義：定義：協(xié)因數(shù)陣的逆陣為權(quán)陣。協(xié)因數(shù)陣的逆陣為權(quán)陣。 即即 2112LLQ1XXPQ解：解：由權(quán)陣

48、定義得由權(quán)陣定義得又由又由 得觀測值的權(quán)為：得觀測值的權(quán)為：112121112123LLLLPQ1211221111,22PPQQ1iiiiQpp可見：可見：1 1）觀測值的權(quán)與權(quán)陣中的兩個主對角線元素并不一定）觀測值的權(quán)與權(quán)陣中的兩個主對角線元素并不一定相等！相等！2 2）這時權(quán)陣中的各個元素不具有權(quán)的意義?。┻@時權(quán)陣中的各個元素不具有權(quán)的意義！例例6 6：已知觀測向量已知觀測向量L L的權(quán)陣為：的權(quán)陣為： 求觀測值求觀測值L L1 1、L L2 2、L L3 3的權(quán)。的權(quán)。321242123Lp1132121012421214123012LQPQQQ11223321421232LLLPPP解：解：p可以看出：可以看出： 當當Q QXXXX是非對角陣時，不可從權(quán)